• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Równanie Schrödingera



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, społecznych itp. Wykres funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą dzwonową.Mechanika klasyczna – dział mechaniki w fizyce opisujący ruch ciał (kinematyka), wpływ oddziaływań na ruch ciał (dynamika) oraz badaniem równowagi ciał materialnych (statyka). Mechanika klasyczna oparta jest na prawach ruchu (zasadach dynamiki) sformułowanych przez Isaaca Newtona, dlatego też jest ona nazywana „mechaniką Newtona” (Principia). Mechanika klasyczna wyjaśnia poprawnie zachowanie się większości ciał w naszym otoczeniu.
    Równanie jako element pomnika przed warszawskim Centrum Nowych Technologii Uniwersytetu Warszawskiego

    Równanie Schrödingera – jedno z podstawowych równań nierelatywistycznej mechaniki kwantowej (obok równania Heisenberga), sformułowane przez austriackiego fizyka Erwina Schrödingera w 1926 roku. Równanie to pozwala opisać ewolucję stanu układu kwantowego w czasie w sposób znacznie dokładniejszy, niż czyni to mechanika klasyczna.

    Model Debye’a – model fizyczny ciała stałego używany w termodynamice i fizyce ciała stałego, wprowadzony przez Petera Debye’a w 1912 r., pozwalający wyznaczyć ciepło właściwe w zależności od temperatury.Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.

    W nierelatywistycznej mechanice kwantowej równanie Schrödingera odgrywa rolę fundamentalną, analogiczną do roli zasad dynamiki Newtona w mechanice klasycznej.

    Spis treści

  • 1 Równanie Schrödingera zależne od czasu
  • 1.1 Reprezentacja położeniowa
  • 1.2 Reprezentacja spinowa
  • 2 Równanie Schrödingera niezależne od czasu
  • 3 Teoretyczne obliczenie dyskretnych energii
  • 4 Przykłady hamiltonianu
  • 4.1 Cząstka o masie m w polu potencjalnym
  • 4.2 Cząstka o masie m i ładunku q w polu elektromagnetycznym
  • 5 Rozwiązania
  • 6 Prąd prawdopodobieństwa
  • 7 Znaczenie równania
  • 8 Problem interpretacji mechaniki kwantowej
  • 9 Przypisy
  • 10 Bibliografia
  • Czas – skalarna (w klasycznym ujęciu) wielkość fizyczna określająca kolejność zdarzeń oraz odstępy między zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu. Pojęcie to było również przedmiotem rozważań filozoficznych.Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.

    Równanie Schrödingera zależne od czasu[]

    Trzy przykładowe stany oscylatora kwantowego obliczone z równania Schrödingera zależnego od czasu. Z lewej: Część rzeczywista (kolor niebieski) i część urojona (kolor czerwony) funkcji falowych . Z prawej: Rozkłady prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w zależności od położenia odpowiadające tym funkcjom falowym. Dwa górne rzędy pokazują stany stacjonarne - tworzą je funkcje falowe mające postać fal stojących, a odpowiadające im rozkłady prawdopodobieństwa są stałe w czasie; stany te są funkcjami własnymi hamiltonianu. Dolny rząd pokazuje stan niestacjonarny: jest on superpozycją dwu stanów własnych hamiltonianu; rozkład prawdopodobieństwa zmienia się w czasie.

    gdzie

    Kwantowy oscylator harmoniczny – układ fizyczny rozmiarów atomowych lub subatomowych (np. jon w sieci krystalicznej lub w cząsteczka gazu) wykonujący ruch drgający (oscylacyjny) pod wpływem siły proporcjonalnej do wychylenia od położenia równowagi. Właściwy opis ruchu wymaga zastosowania mechaniki kwantowej, co sprowadza się do znalezienia rozwiązań równania Schrödingera. Dowodem eksperymentalnym konieczności zastosowania mechaniki kwantowej do opisu właściwości mikroskopowych układów drgających jest np. nieciągłe widmo promieniowania emitowane przez drgające cząsteczki. Makroskopowym odpowiednikiem oscylatora kwantowego jest klasyczny oscylator harmoniczny, którym jest ciało makroskopowe o stosunkowo dużej masie, zawieszone np. na sprężynie i wykonujące drgania; do opisu jego ruchu wystarczająca jest mechanika klasyczna. Pojęcie oscylatora ma duże zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki klasycznej i kwantowej.Foton (gr. φως – światło, w dopełniaczu – φοτος, nazwa stworzona przez Gilberta N. Lewisa) jest cząstką elementarną, nie posiadającą ładunku elektrycznego ani momentu magnetycznego, o masie spoczynkowej równej zero (m0 = 0), liczbie spinowej s = 1 (fotony są zatem bozonami). Fotony są nośnikami oddziaływań elektromagnetycznych, a ponieważ wykazują dualizm korpuskularno-falowy, są równocześnie falą elektromagnetyczną.
  • - jednostka urojona,
  • , gdzie - stała Plancka
  • - operator Hamiltona (operator energii całkowitej układu, w skrócie nazywany hamiltonianem),
  • - wektor stanu układu.
  • Aby rozwiązać równanie Schrödingera dla danego układu kwantowego, należy znaleźć właściwą postać operatora Hamiltona oraz wyrazić wektor stanu w odpowiedniej reprezentacji. Poniżej omówiono dwie reprezentacje - położeniową i spinową.

    Przestrzeń Hilberta – w analizie funkcjonalnej rzeczywista lub zespolona przestrzeń unitarna (tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym), zupełna ze względu na indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego tej przestrzeni metrykę. Jako unormowana i zupełna, każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, a przez to przestrzenią Frécheta, a stąd lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie te noszą nazwisko Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku; są one podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).Równanie Heisenberga – fundamentalne równanie ruchu mechaniki kwantowej będące odpowiednikiem równania Schrödingera w obrazie Heisenberga. Determinuje ewolucję czasową obserwabli i ma postać:

    Reprezentacja położeniowa[]

    Reprezentację położeniową wybiera się, gdy trzeba rozwiązać problem ruchu cząstek w przestrzeni. W tej reprezentacji równanie Schrödingera przyjmuje postać:

    gdzie

    Pomiar układu fizycznego wprowadza niezbędne oddziaływanie między przyrządem pomiarowym a układem. Ponieważ materia z natury jest kwantowa, to nie jest możliwe dowolne zmniejszenie tego oddziaływania. Jeżeli np. chcemy zaobserwować jakiś obiekt, to najczulszym "przyrządem pomiarowym" do realizacji tego celu będzie jeden foton. Jeżeli liczba atomów badanego obiektu będzie rzędu 10, to odrzut spowodowany uderzeniem fotonu w obiekt będzie niezauważalny. Więc możemy przyjąć, że obiekt nie doznał żadnego zakłócenia wskutek pomiaru. Natomiast jeżeli w analogiczny sposób chcielibyśmy "zmierzyć" elektron, to rozpatrując standardowe jego rozmiary rzędu 10m wymagają użycia fotonu o długości fali mniejszej od rozmiarów elektronu. Foton o takiej długości fali posiada energię rzędu 108 MeV. Gdyby badany elektron był elektronem atomu wodoru (energia wiązania kilka eV), to zderzenie fotonu z elektronem spowodowałoby w konsekwencji nieograniczony odrzut elektronu. Nie można jednak użyć do pomiaru mniejszej części fotonu ze względu na kwantową naturę pola elektromagnetycznego.Wodór (H, łac. hydrogenium) – pierwiastek chemiczny o liczbie atomowej 1, niemetal z bloku s układu okresowego. Jego izotop, prot, jest najprostszym możliwym atomem, zbudowanym z jednego protonu i jednego elektronu.
  • - funkcja położenia i czasu zwana funkcją falową
  • - wektor położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej
  • W przypadku pojedynczej cząstki przestrzeń konfiguracyjna jest przestrzenią fizyczną . Gdy układ składa się z N cząstek, to wektor jest wektorem położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej , przy czym jest wektorem położenia k-tej cząstki w przestrzeni fizycznej .

    Ożywienie kwantowe funkcji falowej lub ożywienie kwantowe (ang. Quantum revival of the wave function lub Quantum revival) – w mechanice kwantowej periodyczne w czasie powtarzanie się funkcji falowej z jej stanu początkowego podczas ewolucji czasowej albo wiele razy w przestrzeni jako wielokrotnie symetrycznie występujące i przeskalowane części w kształcie funkcji początkowej (ożywienie ułamkowe) lub dokładnie albo w przybliżeniu do jej wartości na początku ewolucji czasowej (ożywienie pełne).Operator Hamiltona (hamiltonian, operator energii) – w mechanice kwantowej odpowiednik funkcji Hamiltona zwanej hamiltonianem. Jest to operator działający nad przestrzenią funkcji falowych stanów układu fizycznego (lub nad przestrzenią Hilberta wektorów stanu). Wartością własną operatora Hamiltona jest energia cząstki opisywanej daną funkcją własną, natomiast wartością średnią operatora Hamiltona jest energia cząstki w danym stanie kwantowym. Matematycznie, operator Hamiltona jest obserwablą, a więc jest operatorem samosprzężonym.

    Z rozwiązania równiania Schrödingera otrzymuje się funkcję falową . Kwadrat modułu funkcji falowej określa prawdopodobieństwo, że układ znajdzie się w chwili w stanie .

    Wektor Riemanna-Silbersteina - w elektrodynamice klasycznej, wektor zbudowany z wektorów pola elektrycznego i magnetycznego.Przestrzeń konfiguracyjna to formalna, matematyczna przestrzeń będąca zbiorem możliwych stanów danego układu fizycznego. W zależności od rodzaju i liczby wyróżnionych parametrów stanu przestrzenie konfiguracyjne mogą mieć wiele wymiarów. Stany prostych układów dynamicznych opisuje się najczęściej jako zbiory punktów przestrzeni pędów bądź prędkości: np. stan kwantowego gazu elektronowego opisuje się przy użyciu przestrzeni prędkości z wyróżnioną kulą Fermiego zaś dynamikę punktu materialnego w polu sił (np. pole grawitacyjne) zewnętrznych za pomocą przestrzeni pędów.

    Przykłady hamiltonianu w tej reprezentacji omówiono w rozdziale Przykłady hamiltonianu.

    Reprezentacja spinowa[]

    Gdy trzeba znaleźć zmiany czasowe stanów spinowych cząstek, to przyjmuje się reprezentację spinową; hamiltonian nie ma tu postaci pojedynczego operatora, ale jest operatorem o postaci macierzowej. Przykładowo, dla pojedynczej cząstki o spinie 1/2 hamiltonian ma postać macierzy 2x2

    Np. w przypadku elektronu znajdującym się w zewnętrznym polu magnetycznym hamiltonian ma postać

    Spin – moment własny pędu cząstki w układzie, w którym nie wykonuje ruchu postępowego. Własny oznacza tu taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma odpowiedni dla siebie spin. Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np. jądra atomów) mają również swój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych.Orbital – funkcja falowa będącą rozwiązaniem równania Schrödingera dla szczególnego przypadku układu jednego elektronu znajdującego się na jednej z powłok atomowych lub tworzących wiązanie chemiczne. Orbital jest funkcją falową jednego elektronu, której kwadrat modułu (zgodnie z interpretacją Maxa Borna) określa gęstość prawdopodobieństwa napotkania elektronu w danym punkcie przestrzeni.

    gdzie jest wektorem złożonym z macierzy Pauliego.

    Metoda Ritza – w mechanice kwantowej, jedna z metod rozwiązania równania Schrödingera. Nazwa metody pochodzi od nazwiska szwajcarskiego fizyka, Walthera Ritza.Paczka trojańska lub trojańska paczka falowa (ang. Trojan wave packet lub Trojan Wavepackets) – w mechanice kwantowej stan stacjonarny hamiltonianu Starka-Zeemana, który jest również pakietem falowym w układzie współrzędnych nie poruszającym się względem obserwatora. Źródło silnego promieniowania cyklotronowego o częstotliwości optycznej lub mikrofalowej.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Cząstka w pudle potencjału – zagadnienie z dziedziny mechaniki kwantowej opisujące zachowanie cząstki w obecności ograniczających jej ruch nieskończonych barier potencjału. Cząstka w pudle potencjału jest szczególnym przypadkiem szerszego problemu cząstki w studni potencjału.
    Interpretacja kopenhaska funkcji falowej jest interpretacją probabilistyczną. Mianowicie gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie jest równa kwadratowi modułu funkcji falowej (funkcji falowej pomnożonej przez jej sprzężenie) w tym punkcie.
    Energia potencjalna – energia jaką ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych, wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację ciał, wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się jej wartość równą zero. Konfigurację odniesienia dla danego układu fizycznego dobiera się zazwyczaj w ten sposób, aby układ miał w tej konfiguracji minimum energii potencjalnej. Podobnie jak pracę, energię potencjalną mierzy się w dżulach [J].
    Metoda WKB (Wentzla-Kramersa-Brillouina) lub przybliżenie WKB – w mechanice kwantowej przybliżona metoda rozwiązywania równania Schrödingera polegająca na założeniu, że funkcja falowa jest lokalnie falą płaską zniekształconą przez obecność potencjału.
    Metoda Cayleya - w mechanice kwantowej popularna metoda numerycznego rozwiązywania równania Schrödingera zależnego od czasu polegająca na przybliżeniu propagatora w czasie poprzez łatwiejszy do obliczenia niż dokładny operator unitarny tzn. tak aby operator przybliżony też nie zmieniał normy funkcji falowej.
    Physical Review (często używany skrót: Phys. Rev.) – czasopismo naukowe publikujące prace naukowe ze wszystkich gałęzi fizyki. Wydawane przez Amerykańskie Towarzystwo Fizyczne (American Physical Society, APS). Założony w roku 1893 Physical Review jest najstarszym wciąż wydawanym i jednym z najbardziej prestiżowych czasopism poświęconych fizyce.
    Seria Lymana, seria linii widmowych emitowanych przez atomy wodoru. Linie te powstają w wyniku emisji fotonów przez elektron w atomie wodoru przechodzący z wyższego orbitalu na orbital 1 (seria K).

    Reklama