• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Równanie Lotki-Volterry



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Reakcja chemiczna – każdy proces, w wyniku którego pierwotna substancja zwana substratem przemienia się w inną substancję zwaną produktem. Aby cząsteczka substratu zamieniła się w cząsteczkę produktu konieczne jest rozerwanie przynajmniej jednego z obecnych w niej wiązań chemicznych pomiędzy atomami, bądź też utworzenie się przynajmniej jednego nowego wiązania. Reakcje chemiczne przebiegają z reguły z wydzieleniem lub pochłonięciem energii cieplnej, promienistej (alfa lub beta) lub elektrycznej.MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).
    Obraz przestrzeni fazowej (portret fazowy czyli trajektoria fazowa rozwiązań) dla układu Lotki-Volterry
    Przebieg zmian liczby ofiar (prey) i drapieżników (predator) w czasie (wykres czasowy)
    przebieg czasowy

    Równanie Lotki-Volterry (model Lotki-Volterry, model drapieżnik-ofiara) – nieliniowy układ równań różniczkowych pierwszego stopnia.

    Vito Volterra (ur. 3 maja 1860 w Ankonie, zm. 11 października 1940 w Rzymie) – włoski matematyk i fizyk, profesor Uniwersytetów w Pizie, Turynie i Rzymie, znany z jego wkładu w opracowanie matematycznych modeli zastosowanych w biologii.Nieliniowość – cecha układu polegająca na tym, że wartość wyjściowa nie jest wprost proporcjonalna do danych wejściowych.

    Poniższy model został zaproponowany w 1926 przez Vito Volterrę do opisu populacji ryb odławianych w Morzu Adriatyckim. Niezależnie od Volterry równoważne równania do opisu oscylacji stężeń substancji w hipotetycznej reakcji chemicznej otrzymał Alfred James Lotka w 1920 roku.

    Równanie Lotki-Voltery stanowi model układów dynamicznych występujących w ekosystemach (np. w symulacji zachowania populacji ofiar i drapieżników).

    Ekosystem (gr. oikos – dom, mieszkanie, gospodarstwo; gr. systēmatikós – zestawiony od sýstēma – zestawienie, połączenie od synistánai – zestawiać) – dynamiczny układ ekologiczny, na który składa się zespół organizmów (biocenoza) połączonych relacjami troficznymi (tworzących sieć troficzną) wraz ze środowiskiem przezeń zajmowanym, czyli biotopem, w którym zachodzi przepływ energii i obieg materii. W skrócie zatem ekosystem to biocenoza wraz z biotopem. Ekosystemy wyodrębniane są na podstawie istnienia silniejszych powiązań w ich obrębie niżeli między ich składowymi a otoczeniem (biologicznie ważne pierwiastki chemiczne krążą intensywniej w obrębie poszczególnych ekosystemów niż pomiędzy nimi).Stężenie (ang. concentration) – miara ilości substancji (pierwiastka, związku chemicznego, jonu bądź innego indywiduum chemicznego) w mieszaninie. Pojęcie to stosowane jest najczęściej w przypadku roztworów. Według definicji Międzynarodowej Unii Chemii Czystej i Stosowanej (IUPAC) terminem tym określa się jedynie cztery sposoby wyrażenia ilości substancji, w których odnosi się ją do objętości mieszaniny (są to stężenia masowe, molowe, objętościowe i liczbowe). W praktyce stosowanych jest jednak wiele innych rodzajów stężeń, włączając w to sposoby pośrednie (np. poprzez odniesienie zawartości substancji do gęstości mieszaniny).

    Spis treści

  • 1 Podstawowy model
  • 2 Uogólniony model Lotki-Volterry
  • 3 Realistyczny model drapieżnik-ofiara
  • 4 Modyfikacje modelu Lotki-Volterry
  • 5 Literatura
  • 6 Przypisy
  • 7 Linki zewnętrzne
  • Podstawowy model[]

    Układ równań zaproponowany przez autorów ma postać:

    gdzie: x(t) - populacja czyli liczba ofiar (ang. prey, np. zające), y(t) - liczba drapieżców (ang. predators, np. rysie), t - reprezentuje rozwój tych dwóch populacji w czasie natomiast stałe (a,b,c,d > 0, dodatnie parametry) oznaczają:

    Przestrzeń fazowa – w matematyce i fizyce, przestrzeń wszystkich możliwych stanów w jakich może znajdować się badany układ. Każdy stan układu jest jednym punktem tej przestrzeni.Drapieżnictwo – sposób odżywiania się organizmów, polegający na wykorzystaniu jako pokarm ciała innego zwierzęcia i w odróżnieniu od pasożytnictwa prowadzący do śmierci ofiary. Jest jedną z form oddziaływań antagonistycznych, korzystną dla drapieżnika, a niekorzystną dla ofiary; może mieć charakter międzygatunkowy lub wewnątrzgatunkowy (kanibalizm).

    a - częstość narodzin ofiar lub współczynnik przyrostu ofiar,

    b - częstość umierania ofiar na skutek drapieżnictwa,

    c - częstość narodzin drapieżników lub współczynnik przyrostu drapieżników,

    d - częstość umierania drapieżników lub współczynnik ubywania drapieżników,

    Bardzo często do dalszej analizy własności tych równań przeprowadza się ich ubezwymiarowienie za pomocą następujących podstawień:
    , , ,
    Powyższe podstawienie prowadzi do następującego układu równań, który zależy już tylko od jednego parametru :

    Punkt siodłowy - w geometrii analitycznej punkt na krzywej, powierzchni lub ogólnie hiperpowierzchni, o tej właściwości, że w dowolnym jego otoczeniu znajdują się punkty leżące po obydwu stronach stycznej (prostej stycznej, płaszczyzny lub hiperpłaszczyzny) w tym punkcie.Wydawnictwo Naukowe PWN SA – wydawnictwo z siedzibą w Warszawie, założone w 1951, w obecnej formie prawnej działające od 1997. Wydawnictwo Naukowe PWN SA stanowi jednostkę dominującą Grupy kapitałowej PWN, w skład której wchodzi kilkanaście przedsiębiorstw, głównie wydawnictw.

    Punkty krytyczne tego układu to oraz . Dalsza liniowa analiza prowadzi do wniosku, że punkt jest punktem siodłowym, zaś to centrum stabilne w sensie Lapunowa.

    Morze Adriatyckie (alb. Det(i) Adriatik, serb. i chorw. Jadransko more, Jadran, słoweń. Jadransko morje, Jadran, wł. Mare Adriatico) – północne odgałęzienie Morza Śródziemnego. Morze Adriatyckie rozdziela Półwysep Apeniński od Bałkańskiego.Warszawa; miasto stołeczne Warszawa, w skrócie m.st. Warszawa – stolica i największe miasto Polski, położone w środkowo-wschodniej części kraju, na Nizinie Środkowomazowieckiej, na Mazowszu, nad Wisłą. Od 2002 r. miasto stołeczne Warszawa jest gminą miejską mającą status miasta na prawach powiatu.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Układ dynamiczny – model matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym równaniem różniczkowym (czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych), zwanym równaniem stanu. Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie rozmaitych konkretnych zjawisk, m.in. w teorii sterowania. Układy złożone są najczęściej symulowane komputerowo.
    Ryś, ryś euroazjatycki (Lynx lynx) – gatunek lądowego ssaka drapieżnego z rodziny kotowatych, największy z rysi (Lynx). Występuje w Europie i Azji. Poza kotem domowym, ryś i żbik są jedynymi występującymi w Polsce przedstawicielami kotowatych. Ryś jest też jednym z największych drapieżników Europy. Został opisany naukowo przez Karola Linneusza w 1758 roku pod nazwą Felis lynx. W Polsce jest gatunkiem rzadkim i chronionym. Badaniem populacji rysia w Polsce zajmuje się Instytut Biologii Ssaków Polskiej Akademii Nauk i Instytut Ochrony Przyrody PAN.
    Alfred James Lotka (ur. 2 marca 1880 we Lwowie, wówczas Galicja Wschodnia, zm. 5 grudnia 1949 w Red Bank, stan New Jersey) – amerykański matematyk, chemik (chemia fizyczna, biofizyka), ekonomista, statystyk i demograf, specjalista w zakresie dynamiki i energetyki populacji, twórca modelu oddziaływań międzygatunkowych drapieżnik-ofiara, znanego jako równanie Lotki-Volterry (A.J. Lotka i V. Volterra opracowali model niezależnie od siebie).

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.033 sek.