• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Równania algebraiczne

    Przeczytaj także...
    Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebry – twierdzenie algebry i analizy zespolonej mówiące, że każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek (w ciele liczb zespolonych). Innymi słowy, ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Konsekwencją zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta jest następujące twierdzenie (często zwane również zasadniczym twierdzeniem algebry):
    Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

    Równanie algebraicznerównanie w postaci W(x) = 0, gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n jednej lub wielu zmiennych (n ≥ 0). Więc równanie algebraiczne jednej zmiennej to równanie w postaci

    gdzie n jest liczbą całkowitą nieujemną, a są elementami pewnego ciała, nazywanymi współczynnikami równania, zaś x niewiadomą, która jest poszukiwanym rozwiązaniem równania.

    Równanie sześcienne lub trzeciego stopnia – równanie algebraiczne postaci a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , {displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,} gdzie a ≠ 0. {displaystyle a eq 0.} Każde równanie sześcienne o współczynnikach rzeczywistych ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.Stopień jednomianu – suma wszystkich wykładników potęg przy zmiennych niezerowego jednomianu, np. jednomian x y = x 1 y 1 {displaystyle xy=x^{1}y^{1}} jest stopnia drugiego.

    Zakłada się, że współczynniki równania algebraicznego nie są wszystkie równe zero. Największą liczbę naturalną n, dla której nazywa się stopniem równania. Równanie pierwszego stopnia nazywa się równaniem liniowym, równanie drugiego stopnia – równaniem kwadratowym, Równanie trzeciego stopnia czasem nazywa się sześciennym. Równanie zerowego stopnia też można uważać liniowym. Wartości niewiadomej x, które spełniają równanie (to znaczy po podstawieniu ich w miejsce x zamieniają równanie w tożsamość), nazywa się pierwiastkami lub rozwiązaniami równania; są one jednocześnie pierwiastkami wielomianu W(x).

    Twierdzenie Abela-Ruffiniego – głosi, że pierwiastki równania algebraicznego stopnia wyższego niż 4 nie dają się wyrazić w ogólnej postaci za pomocą czterech działań algebraicznych i pierwiastkowania poprzez współczynniki równania w skończonej liczbie kroków (czyli poprzez tak zwane pierwiastniki).Odejmowanie – jedno z czterech podstawowych działań arytmetycznych, działanie odwrotne do dodawania. Odejmowane obiekty to odpowiednio odjemna i odjemnik, wynik zaś nazywany jest różnicą.

    Rozwiązać równanie algebraiczne w ciele T, to znaczy znaleźć wszystkie jego pierwiastki będące elementami ciała T. Zazwyczaj bierze się takie T, które zawiera wszystkie współczynniki równania. Na przykład jeżeli wszystkie współczynniki są rzeczywiste, to można rozwiązywać równanie w ciele liczb rzeczywistych, a można też w ciele liczb zespolonych (ponieważ każda liczba rzeczywista jest również liczbą zespoloną).

    Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.Metody numeryczne – metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane tą drogą wyniki są na ogół przybliżone, jednak dokładność obliczeń może być z góry określona i dobiera się ją zależnie od potrzeb.

    Każde równanie algebraiczne z zespolonymi współczynnikami (z wyjątkiem równania ze stałą częścią lewą) ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony (zob. zasadnicze twierdzenie algebry).

    Równanie stopnia nie wyższego niż czwarty zawsze można rozwiązać, stosując jedną z wiadomych metod, jakie można tłumaczyć jako podające pierwiastki w postaci skończonych wyrażeń matematycznych zawierających współczynniki danego równania; te wyrażenia zawsze zawierają tylko następujące operacje: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie. Zaś dla równań stopnia wyższego niż czwarty w przypadku ogólnym takie metody nie mogą istnieć; udowodnił ten fakt Niels Abel (zob. twierdzenie Abela-Ruffiniego). Dlatego dla rozwiązywania równań stopnia wyższego niż czwarty często są potrzebne metody numeryczne.

    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Układ równań liniowych – koniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej) równań liniowych, czyli równań pierwszego rzędu.

    Zobacz też[]

  • równanie
  • równanie liniowe
  • równanie kwadratowe
  • Równanie trzeciego stopnia
  • równanie czwartego stopnia
  • układ równań
  • układ równań liniowych



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Potęgowanie – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.
    Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.
    Pierwiastkowanie – w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane działaniem; często można jednak ograniczyć dziedzinę działania potęgowania tak, by możliwe było jego odwrócenie (dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).
    Niels Henrik Abel (ur. 5 sierpnia 1802 w Findö koło Stavanger, zm. 6 kwietnia 1829 w Frolandsvark pod Arendal), matematyk norweski. Udowodnił niemożliwość rozwiązania równania algebraicznego stopnia wyższego niż cztery przez pierwiastniki, prowadził badania w dziedzinie teorii szeregów i całek eliptycznych.
    Równanie kwadratowe – równanie algebraiczne z jedną niewiadomą w drugiej potędze i opcjonalnie niższych. Innymi słowy równanie wielomianowe drugiego stopnia, czyli równanie postaci

    Reklama