• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Równania Hamiltona

    Przeczytaj także...
    Współrzędne uogólnione – jest to układ współrzędnych, używany w mechanice klasycznej i mechanice kwantowej do przedstawienia innego układu współrzędnych, w uproszczony sposób.Kwantowy oscylator harmoniczny – układ fizyczny rozmiarów atomowych lub subatomowych (np. jon w sieci krystalicznej lub w cząsteczka gazu) wykonujący ruch drgający (oscylacyjny) pod wpływem siły proporcjonalnej do wychylenia od położenia równowagi. Właściwy opis ruchu wymaga zastosowania mechaniki kwantowej, co sprowadza się do znalezienia rozwiązań równania Schrödingera. Dowodem eksperymentalnym konieczności zastosowania mechaniki kwantowej do opisu właściwości mikroskopowych układów drgających jest np. nieciągłe widmo promieniowania emitowane przez drgające cząsteczki. Makroskopowym odpowiednikiem oscylatora kwantowego jest klasyczny oscylator harmoniczny, którym jest ciało makroskopowe o stosunkowo dużej masie, zawieszone np. na sprężynie i wykonujące drgania; do opisu jego ruchu wystarczająca jest mechanika klasyczna. Pojęcie oscylatora ma duże zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki klasycznej i kwantowej.
    Gradient – w analizie matematycznej, a dokładniej rachunku wektorowym, pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach, przy czym moduł (długość) każdej wartości wektorowej jest równy szybkości wzrostu. Wektor przeciwny do gradientu nazywa się często antygradientem.

    Równania Hamiltonaukład równań opisujących zmianę w czasie współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego przy pomocy funkcji Hamiltona

    gdzie:

    Ściśliwość w termodynamice i mechanice płynów jest miarą względnej zmiany objętości cieczy lub ciała stałego w odpowiedzi na zmianę ciśnienia (lub naprężenia).Tor ruchu (trajektoria) – w kinematyce krzywa zakreślana w przestrzeni przez poruszające się ciało. Jeżeli wypadkowa siła działająca na ciało wynosi 0, wówczas z I zasady dynamiki Newtona wynika, że ciało porusza się po torze prostoliniowym. Jeżeli na poruszające się ciało działa niezrównoważona siła, której kierunek nie jest styczny do toru ruchu, wówczas tor ruchu jest krzywoliniowy.

    - i-ty pęd uogólniony,

    - i-ta współrzędna uogólniona,

    s - liczba stopni swobody układu równa liczbie pędów uogólnionych lub liczbie współrzędnych uogólnionych.

    Funkcja Wignera - w mechanice kwantowej funkcja skonstruowana z funkcji falowej dająca informacje na temat rozkładu pędu i położenia stanu kwantowego w przestrzeni fazowej i umożliwiająca bezpośrednie porównanie rozwiązań równania Schrödingera w reprezentacji położeniowej z rozwiązaniami równań Hamiltona w sensie rozkładu statystycznego gęstości prawdopodobieństwa warunków początkowych. W tym sensie wyraża ona ewolucje czasową zbioru trajektorii klasycznych odpowiadających stanowi kwantowemu zaburzonych przez mechanike kwantową jeśli tylko jest wszędzie dodatnia. Jednak w odróznieniu od klasycznego rozkładu prawdopodobieństwa warunków początkowych w przestrzeni fazowej istnieją stany dla których przyjmuje ona ujemne wartości tzn. nie mają one jasnego odpowiednika w klasycznym rozkładzie warunków początkowych (pojawia się ujemne prawdopodobieństwo).Potencjał wektorowy pola wektorowego – pojęcie w analizie wektorowej sformułowane w analogii do pojęcia potencjału skalarnego. Przykładem potencjału wektorowego jest potencjał magnetyczny w elektrodynamice klasycznej.

    Równania Hamiltona stanowią układ 2s równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu

    Przy zapisie z użyciem nawiasów Poissona układ ten wygląda bardziej symetrycznie

    Dywergencja (albo rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem. Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego nazywane czasem twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.Oscylator harmoniczny – układ drgający, poddany działaniu sił sprężystych tj. sił proporcjonalnych do przemieszczenia r {displaystyle r} układu od położenia równowagi:

    Zbiór funkcji spełniających powyższy układ równań dla zadanych warunków początkowych (lub brzegowych) nazywa się trajektorią układu w przestrzeni fazowej.

    Tensor metryczny jest to symetryczny tensor drugiego rzędu (dwuwymiarowy) opisujący związek danego układu współrzędnych z układem kartezjańskim. Jest on podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej (oraz elektrodynamiki, teorii względności i innych teorii których językiem jest geometria różniczkowa), jego podstawowym zastosowaniem jest występowanie w iloczynie skalarnym dwóch wektorów (obowiązuje konwencja sumacyjna):Układ fizyczny - układ (wyodrębniony, realnie lub jedynie myślowo, fragment rzeczywistości), w postaci obiektu fizycznego lub zbioru takich obiektów. Może on być oddzielony od otoczenia wyraźnymi granicami, które są powierzchniami nieciągłości określonych wielkości fizycznych, charakteryzujących układ. W znaczeniu używanym w mechanice klasycznej to przede wszystkim zbiór ciał.

    Równania Hamiltona są jedną z alternatywnych postaci zapisu równań ruchu, obok równań ruchu mechaniki Newtona oraz równań Eulera-Lagrange'a mechaniki w ujęciu Lagrange'a.

    Jak można udowodnić równania Hamiltona np. dla układu z potencjałem skalarnym tzn. wtedy kiedy pęd jest proporcjonalny do prędkości w przestrzeni konfiguracyjnej są równoważne stwierdzeniu że ciecz której równania ruchu cząstek z których się składa w przestrzeni fazowej opisują równania Hamiltona jest nieściśliwa tzn. jej super-prędkość ma znikajacą dywergencję:

    Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – w klasycznej mechanice teoretycznej funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisującą układ fizyczny.

    Zakładając na wzór elektrodynamiki istnienie skalarnego potencjału "wektorowego" którego odpowiednik rotacji jak permutacja gradientu z sygnaturą ( jeden z wektorów prostopadłych do wektora całkowitego gradientu Hamiltonianu) zagwarantuje znikanie dywergencji podobnie jak w 3 wymiarach dla pól elektromagnetycznych tzn. takiego że

    otrzymujemy z twierdzenia Schwartza o przemienności pochodnych cząstkowych

    Jak widać także

    jeśli zapiszemy równania Hamiltona symbolicznie w sposób skrócony:

    co wyraża prostopadłość wektora prawej strony równań do gradientu Hamiltoniamu .

    Przykład - oscylator harmoniczny[]

    Hamiltonian jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o jednostkowej masie i częstości dany jest przez:

    Przestrzeń fazowa jest więc dwuwymiarowa tzn. jest płaszczyzną.

    Równania Hamiltona są więc:

    Różniczkując drugie równanie po czasie i wstawiając do niego pierwsze otrzymujemy równanie Newtona:

    z rozwiązaniem specjalnym

    tzn.

    Ogólne rozwiązanie na fizyczne rzeczywiste jest więc dane przez

    a więc

    Ponieważ

    rozwiązanie to wyraża ruch punktu w przestrzeni fazowej po okręgu z częstoscią obiegu równą częstości oscylatora.

    Jeśli teraz rozważymy zbiór wielu punktów o różnych w przestrzeni fazowej odpowiadajacy cieczy składajacej się z cząstek wypełniających przestrzeń fazową z jakąś gęstoscia początkowa i skoncentrujemy na jednym z nich to jeśli wszystkie punkty poruszają się po jakimś okregu z taką sama częstościa kołowa wtedy w otoczeniu wybranego punktu liczba innych punktow pozostanie stała co definiuje pierwotnie ciecz nieściśliwa (masa małego otoczenia sledzącego przepływ w małej stałej objętosci a tu w dwóch wymiarach na małej powierzchni jest stała).

    Znaczy to także że tzw. funkcja Wignera która wyraża gęstość pędu i położenia dla stanu kwantowego w przypadku każdego stanu kwantowego oscylatora harmonicznego propagującego w czasie jedynie obraca się zachowując kształt.




    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama