• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Punkt stały

    Przeczytaj także...
    Ekonomia – nauka społeczna analizująca oraz opisująca produkcję, dystrybucję oraz konsumpcję dóbr. Słowo „ekonomia” wywodzi się z języka greckiego i tłumaczy się jako oikos, co znaczy dom i nomos, czyli prawo, reguła. Starożytni Grecy stosowali tę definicję do określania efektywnych zasad funkcjonowania gospodarstwa domowego.Teoria punktu stałego (ang. fixed point theory) – dział matematyki, zajmujący się równaniami postaci f(x)=x, gdzie f jest pewną funkcją.
    Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

    Punkt stały odwzorowania pewnego zbioru w siebie - punkt, w którym wartość odwzorowania na argumencie jest równa temu argumentowi.

    Definicja[]

    Niech będzie zbiorem będącym dziedziną i przeciwdziedziną odwzorowania .

    Punkt x należący do zbioru X

    Mówimy, że przestrzeń topologiczna X ma własność punktu stałego, jeśli każde odwzorowanie ciągłe f : X → X ma punkt stały, czyli f(x) = x dla pewnego x ∈ X. Definicję uogólnia się na kategorie konkretne. Mówimy wówczas, że obiekt ma własność punktu stałego, jeśli każdy jego endomorfizm ma punkt stały.Informatyka – dyscyplina nauki zaliczana do nauk ścisłych oraz techniki zajmująca się przetwarzaniem informacji, w tym również technologiami przetwarzania informacji oraz technologiami wytwarzania systemów przetwarzających informację. Początkowo stanowiła część matematyki, później rozwinęła się do odrębnej dyscypliny – pozostaje jednak nadal w ścisłej relacji z matematyką, która dostarcza informatyce podstaw teoretycznych.

    nazywamy punktem stałym odwzorowania , jeśli .

    Zbiór punktów stałych oznaczamy  :

    Zbiór – pojęcie pierwotne teorii zbiorów (znanej szerzej jako teoria mnogości; za jej twórcę uważa się Georga Cantora) leżące u podstaw całej matematyki; intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.
    .

    Zastosowania[]

    Dużą część zagadnień matematycznych można sprowadzić do poszukiwania punktu stałego pewnych odwzorowań. Należą do nich m.in.:

    Częściowy porządek (ang. partial order) – relacja zwrotna, przechodnia i antysymetryczna albo równoważnie antysymetryczny praporządek.Punktem okresowym odwzorowania pewnego zbioru w siebie - punkt stały pewnego złożenia odwzorowania ze sobą. Formalnie:
  • szukanie optymalnych rozwiązań w teorii gier (zastosowania w ekonomii),
  • istnienie rozwiązań pewnych równań różniczkowych,
  • szukanie punktów stałych odwzorowań zbiorów częściowo uporządkowanych (zastosowania w informatyce)
  • pewne zagadnienia teorii układów dynamicznych i teorii chaosu,
  • jak i wielu innych.

    Układ dynamiczny – model matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym równaniem różniczkowym (czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych), zwanym równaniem stanu. Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie rozmaitych konkretnych zjawisk, m.in. w teorii sterowania. Układy złożone są najczęściej symulowane komputerowo.

    Nawet szukanie rozwiązania układu równań (np. liczbowych) sprowadza się do szukania punktu stałego pewnego odwzorowania. Dokładniej, niech będzie przestrzenią liniową, (np. lub ) oraz . Punkt jest rozwiązaniem rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania .

    Zobacz też[]

  • punkt okresowy
  • własność punktu stałego
  • teoria punktu stałego
  • twierdzenia o punkcie stałym
  • Bibliografia[]

    1. Jerzy Jezierski, Wacław Marzantowicz: Homotopy Methods in Topological Fixed and Periodic Points Theory. Dordrecht: Springer, 2006.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.039 sek.