Przystawanie (geometria)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przystawanie (kongruencja) – relacja równoważności figur zdefiniowana poprzez izometrię rozumianą intuicyjnie jako identyczność kształtu i wielkości figury: dwie figury uważa się za przystające (kongruentne), jeśli istnieje izometria między nimi.

Prostopadłość – cecha geometryczna dwóch prostych lub płaszczyzn (albo prostej i płaszczyzny), które tworzą przystające kąty przyległe.Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

Każda izometria jest złożeniem skończonej liczby symetrii, obrotów i przesunięć; w szczególności rozkładowi na symetrie podlegają same obroty i przesunięcia. W związku z tym dane dwie figury są przystające, gdy istnieje ciąg symetrii przekształcający jedną z nich na drugą.

Pojęcie przystawania ma zasadnicze znaczenie w geometrii euklidesowej – jest ona odpowiednikiem równości liczb w arytmetyce. W geometrii analitycznej przystawanie można intuicyjnie zdefiniować w następujący sposób: dwa przekształcenia figur do wspólnego układu współrzędnych kartezjańskich są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych dwóch punktów w pierwszym odwzorowaniu ich odległość euklidesowa jest równa odległości euklidesowej między odpowiadającym im punktom w drugim przekształceniu.

Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.Figura geometryczna – w geometrii inna nazwa podzbioru danej przestrzeni, zwykle przestrzeni euklidesowej, afinicznej lub rzutowej.

Cechy przystawania[ | edytuj kod]

Cechy przystawania trójkątów.
Cechy przystawania wielokątów.

Zgodnie z powyższymi definicjami dowolne dwa punkty są przystające; dwa odcinki uważa się za przystające, jeśli są równej długości; dwa kąty uznaje się za przystające, jeśli mają równą miarę. Dwa okręgi (i dwa koła) są przystające, jeśli mają równe promienie. Ponieważ w trójkątach można wyróżnić boki jak i kąty, to istnieje dla nich kilka równoważnych cech przystawania:

Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) – jedna z geometrii nieeuklidesowych.
  • cecha bok-bok-bok (BBB) – przystawanie odpowiednich boków,
  • cecha bok-kąt-bok (BKB) – przystawanie dwóch boków i kąta między nimi,
  • cecha kąt-bok-kąt (KBK) – przystawanie dwóch kątów i boku będącego ramionami kątów,
  • cecha bok-bok-kąt (BBK) – przystawanie dwóch boków i kąta naprzeciw dłuższego z nich
  • cecha bok-kąt-kąt (BKK) – przystawanie dwóch kątów i boku leżącego naprzeciw wskazanego spośród nich.
  • Z powodu wygody najczęściej korzysta się z pierwszych trzech cech przystawania trójkątów.

    Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi (obliczeniowymi) i algebraicznymi. Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań, które opisują badane figury. Przedmiotem badań geometrii analitycznej jest zasadniczo przestrzeń euklidesowa i własności jej podzbiorów, choć wiele wyników można uogólnić na dowolne, skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe.Geometria uporządkowania – geometria, której jedynymi pojęciami pierwotnymi są punkty A, B, C, ... oraz trzyargumentowa relacja leżenia między [ABC], która zachodzi wtedy, gdy punkt B leży między punktami A i C. W geometrii tej, podobnie jak w geometrii rzutowej, pomija się pojęcie odległości (metryki). Geometria uporządkowania jest bazą dla geometrii absolutnej i geometrii afinicznej (ale nie dla geometrii rzutowej).

    Powyższe cechy dotyczą zarówno geometrii euklidesowej (parabolicznej) jak również eliptycznej i hiperbolicznej. Ostatnia z możliwych kombinacji

  • cecha kąt-kąt-kąt (KKK) – przystawanie trzech kątów,
  • zachodzi jedynie w geometriach eliptycznej i hiperbolicznej; w geometrii euklidesowej jest to warunek podobieństwa trójkątów (pojęcie nieobecne w pozostałych dwóch geometriach).

    Przystawanie wielokątów można sprowadzić do przystawania trójkątów po triangulacji. Wśród cech przystawania n-kątów można wymienić

    Równość – relacja, która jest relacją równoważności. Jest to zatem relacja zwrotna, przechodnia i symetryczna. Ważną cechą relacji równości a = b {displaystyle a=b} jest to, że dla dowolnej funkcji f {displaystyle f} zachodzi:Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.
  • cecha BKB…KB – przystawanie (n-1) boków i (n-2) kątów między nimi,
  • cecha KBK…BK – przystawanie (n-1) kątów i (n-2) boków między nimi.
  • Cechy przystawania samych boków (BBB…BB), czy samych kątów (KKK…KK) nie istnieją w żadnej z wyżej wymienionych geometrii.

    Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi istnieje izometria (są izometryczne) nazywne są przystającymi.Nierówność trójkąta – twierdzenie matematyczne mówiące, że dla dowolnego trójkąta miara jednego boku musi być mniejsza lub równa sumie miar dwóch pozostałych, ale większa lub równa od różnicy ich miar. W obu przypadkach równości zachodzą dla trójkątów zdegenerowanych, czyli mających postać odcinka: jeden kąt ma wówczas 180°, dwa pozostałe 0°.


    Podstrony: 1 [2] [3]




    Warto wiedzieć że... beta

    Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) – miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.
    Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).
    Postulat Euklidesa, postulat równoległości, piąty aksjomat Euklidesa – jeden z aksjomatów geometrii euklidesowej. Ma on postać:
    Symetria osiowa (symetria względem osi) - odwzorowanie geometryczne płaszczyzny lub przestrzeni, które dla ustalonej osi tj. prostej l każdemu punktowi P swojej dziedziny przyporządkowuje punkt Q taki, że punkty P i Q wyznaczają prostą przecinającą prostopadle oś l i leżą w równej odległości od osi l po jej przeciwnych stronach.
    Miara – rozważana w matematyce funkcja służąca określeniu „wielkości” zbiorów poprzez przypisanie im pewnej nieujemnej liczby.
    Pojęcie pierwotne – obiekt w teorii sformalizowanej, o którym mówi ona w swych aksjomatach, konstruując wypowiedzi (twierdzenia) zgodnie z przyjętymi w tej teorii regułami wnioskowania. Pojęcia pierwotnego nie definiuje się językiem teorii, tylko podaje się definicję znaczeniową; przez podanie informacji (lub wymagań) o relacjach, w których występuje.
    Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie, (wcześniej układ taki stosował, choć nie rozpropagował go, Pierre de Fermat).

    Reklama