• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Przestrzeń topologiczna



    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5] [6] [7]
    Przeczytaj także...
    Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.
    Aksjomaty przestrzeni topologicznej[]
    Cztery przykłady i dwa kontrprzykłady topologii utworzonych na zbiorze o trzech elementach {1,2,3}. U dołu pokazano zbiory podzbiorów, które nie są topologiami: z lewej brakuje sumy podzbiorów {2} i {3} [tj. {2,3}], z prawej zaś brakuje części wspólnej podzbiorów {1,2} i {2,3} [tj. {2}].

    Niech dany będzie zbiór i niech będzie rodziną podzbiorów zawartych w spełniającą następujące warunki:

    Przestrzeń ośrodkowa to przestrzeń topologiczna, która zawiera przeliczalny podzbiór gęsty (czasem zwany ośrodkiem).Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.
  • zbiór X oraz zbiór pusty należą do τ
  • ,
  • część wspólna dowolnych dwóch zbiorów należących do τ także należy do τ:
  • ,
  • suma dowolnej rodziny zbiorów należących do τ także należy do τ
  • .

    Rodzina nazywana jest topologią na zbiorze X lub rodziną zbiorów otwartych.

    Topologia ilorazowa – dla danej przestrzeni topologicznej oraz relacji równoważności na niej określonej, najsłabsza (mająca możliwie najmniej zbiorów otwartych) topologia na przestrzeni ilorazowej względem której odwzorowanie, przyporządkowujące danemu punktowi przestrzeni jego klasę abstrakcji, jest ciągłe. Szczególne przypadki topologii ilorazowych badali po raz pierwszy Robert Lee Moore oraz Paweł Aleksandrow.Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

    Elementy rodziny τ nazywane są zbiorami otwartymi, ich dopełnienia do zbioru X nazywane są zbiorami domkniętymi. Zbiory, które są jednocześnie otwarte i domknięte, nazywane są zbiorami otwarto-domkniętymi, takim zbiorami są np. zbiór X oraz zbiór pusty.

    Parę uporządkowaną (X, τ) składającą się ze zbioru X oraz topologii τ nań określonej nazywa się przestrzenią topologiczną.


    Uwaga

    Kazimierz Kuratowski (ur. 2 lutego 1896 w Warszawie, zm. 18 czerwca 1980 w Warszawie), polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.

    Drugi warunek definiujący rodzinę można przez indukcję uogólnić na iloczyn dowolnej skończonej liczby zbiorów należących do .

    Jednak uogólnienie drugiego warunku na nieskończone iloczyny zbiorów rodziny spowoduje zmianę teorii. Efektem będzie to, że rodzina będzie zbyt "duża". Jeśli przyjmiemy, że do należą np. dowolne przedziały „bez końców” (a,b), to tym samym zagwarantujemy, że do będą należeć także np. zbiory

    Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.Ryszard Engelking, prof. (ur. 1935 w Sosnowcu) – polski matematyk specjalizujący się w topologii, szczególnie w teorii wymiaru. Autor wielu książek i publikacji z tego zakresu, w tym Topologii ogólnej (przetłumaczonej na angielski), która jest klasyczną pozycją literatury przedmiotu. Ponadto tłumacz literatury francuskiej.
    .

    Oczywiście z należenia do przedziałów „z końcami” [a,b] wynika należenie do np. przedziałów , bo to gwarantuje trzeci warunek z nieskończonym dodawaniem. Ostatecznie oznaczałoby to, że przy takiej zmodyfikowanej aksjomatyce przedziały byłyby nieodróżnialne. A taka aksjomatyka byłaby zupełnie nieprzydatna z punktu widzenia topologii.

    Relacja równoważności – zwrotna, symetryczna i przechodnia relacja dwuargumentowa określona na pewnym zbiorze utożsamiająca ze sobą w pewien sposób jego elementy, co ustanawia podział tego zbioru na rozłączne podzbiory według tej relacji. Podobnie każdy podział zbioru niesie ze sobą informację o pewnej relacji równoważności.Miotełka Knastera-Kuratowskiego (lub miotełka Kuratowskiego) – przykład punktokształtnej spójnej przestrzeni topologicznej, która po usunięciu pewnego punktu jest (jako podprzestrzeń) dziedzicznie niespójna, ale nie całkowicie niespójna. Przestrzeń ta została skonstruowana w 1921 przez Kazimierza Kuratowskiego i Bronisława Knastera.

    Z drugiej strony ograniczenie obu warunków na skończone operacje uniemożliwiłoby np. poprawne zdefiniowanie wnętrza i domknięcia zbioru.

    To razem pokazuje, że skuteczność aksjomatyki rodziny zbiorów otwartych wynika z pewnej „asymetrii” aksjomatów.

    Wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru[]

     Osobne artykuły: wnętrze, domknięciebrzeg.

    Niech dana będzie przestrzeń topologiczna . Niech oznacza dopełnienie zbioru

    Prostą Sorgenfreya (lub prosta z topologią strzałki) - zbiór liczb rzeczywistych z topologią, wprowadzoną przez bazę postaci:Dopełnienie zbioru – intuicyjnie, zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą. W niektórych pozycjach można spotkać się również z alternatywną nazwą uzupełnienie zbioru.

    Definicje[]

    1) Wnętrze zbioru jest to największy (w sensie zawierania) zbiór otwarty zawarty w , tzn. ( int jest skrótem od ang. interior = wnętrze ).

    2) Domknięcie zbioru jest to najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór domknięty zawierający zbiór , tzn.

    Przestrzeń antydyskretna – w topologii niepusta przestrzeń topologiczna wyposażona w topologię nazywaną antydyskretną bądź trywialną, tzn. zawierającą wyłącznie dwa podzbiory: zbiór pusty i całą przestrzeń; w ten sposób topologia trywialna zawiera najmniejszą możliwą liczbę zbiorów otwartych wymaganą przez definicję przestrzeni topologicznej: za jej przeciwieństwo można uważać przestrzeń dyskretną, w której dowolny zbiór jest otwarty.Alef zero - liczba kardynalna oznaczająca moc zbioru liczb naturalnych. Zwyczajowo oznacza się ją symbolem, jak na załączonej ikonie. Można wykazać, że alef 0 jest również mocą zbioru liczb wymiernych.
    ( cl jest skrótem od ang. closure = domknięcie ).

    3) Brzeg zbioru jest to różnica domknięcia i wnętrza tego zbioru, tzn.

    Baza otoczeń w punkcie i system otoczeń to terminy w topologii odnoszące się do specjalnych rodzin podzbiorów przestrzeni topologicznej.Leopold Vietoris (ur. 4 czerwca 1891 w Radkersburgu, zm. 9 kwietnia 2002 w Innsbrucku) - austriacki matematyk, znany również z długowieczności.
    ( bd, fr są skrótami od ang. border, frontier = brzeg ).

    Twierdzenia[]

    Twierdzenie 1: Operacje wnętrza, domknięcia i brzegu są idempotentne.

    Wnętrze zbioru (figury, bryły) F – pojęcie w geometrii lub topologii, zbiór tych punktów przestrzeni, które należą do zbioru F wraz z pewnym swoim otoczeniem.Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

    Twierdzenie 2: Operacje wnętrza i domknięcia są do siebie dualne w następującym sensie:   - dopełnienie domknięcia jest wnętrzem dopełnienia,   - dopełnienie wnętrza jest domknięciem dopełnienia.

    Twierdzenie 3.

    Topologia porządkowa - topologia wyznaczona przez porządek liniowy w pewnym zbiorze. Naturalnym przykładem topologii porządkowej jest prosta rzeczywista z topologią generowaną przez przedziały otwarte.Przestrzeń liniowo-topologiczna – przestrzeń liniowa, w której istnieje taka topologia (dla której dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania), że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.
    Zbiór A jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy int A = A.

    Twierdzenie 4. Zbiór A jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy cl A = A.

    Przykłady topologii[]

    W dowolnym zbiorze można wprowadzić wiele różnych topologii, np:

  • topologia antydyskretna, w której jedynymi zbiorami otwartymi są zbiór pusty i cała przestrzeń .
  • topologia dyskretna, w której wszystkie podzbiory zbioru są otwarte czyli topologią jest zbiór potęgowy zbioru .
  • niech jest zbiorem nieskończonym, niech oznacza moc zbioru , niech (czyt. alef zero) oznacza najmniejszą z mocy zbiorów nieskończonych (równą mocy zbioru liczb naturalnych); podane niżej rodziny podzbiorów zbioru są topologiami:
  • - topologia, w której zbiorami otwartymi są te zbiory, których dopełnienie jest skończone,
  • - topologia, w której zbiorami otwartymi są te zbiory, których dopełnienie jest przeliczalne,
  • - topologia zbiorów skończonych, do których nie należy wyróżniony punkt .
  • Topologie często używane jako kontrprzykłady na stawiane przez matematyków hipotezy to np.

    Aksjomaty oddzielania mówią o pewnych własnościach przestrzeni topologicznych. Nazwa aksjomat dla tych własności jest używana tylko z przyczyn historycznych, nie mają te własności żadnej specjalnej pozycji wśród innych własności (chociaż niektóre z aksjomatów oddzielania są bardzo często wymagane od rozważanych przestrzeni). Oddzielanie odnosi się do wspólnego charakteru tych własności: w pewnym sensie każdy z tych aksjomatów mówi o oddzielaniu różnych obiektów w przestrzeniach topologicznych przez zbiory otwarte lub przez funkcje ciągłe lub przy użyciu jeszcze innych metod.Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.
  • miotełka Kuratowskiego,
  • płaszczyzna Niemyckiego,
  • prosta Sorgenfreya,
  • przestrzeń Apperta,
  • rogata sfera Alexandera.
  • Opis nietypowych topologii można znaleźć w monografii Steena i Seebacha.

    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5] [6] [7]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Topologia produktowa – w topologii i związanych z nią działach matematyki naturalna topologia, w którą wyposażona jest przestrzeń produktowa, czyli iloczyn kartezjański rodziny przestrzeni topologicznych. Choć na przestrzeni produktowej można wprowadzić być może bardziej oczywistą topologię przedziałową, która pokrywa się z topologią produktową w przypadku produktu skończenie wielu przestrzeni, to topologię produktową uważa się jednak za „poprawniejszą” dlatego, iż czyni ona z przestrzeni produktowej teoriokategoryjny produkt jej czynników, podczas gdy topologia przedziałowa jest w ogólności zbyt uboga; w tym właśnie sensie topologia produktowa jest „naturalną” topologią przestrzeni produktowej.
    Przestrzeń metryzowalna – w topologii przestrzeń topologiczna, w której można określić strukturę metryczną, czyli wprowadzić metrykę wyznaczającą topologię tej przestrzeni. Przestrzenie metryzowalne mają te same własności topologiczne co przestrzenie metryczne; w szczególności każda przestrzeń metryzowalna (metryczna) jest parazwartą przestrzenią Hausdorffa (a więc również normalna), a także spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.
    Zbiór skończony − zbiór o skończonej liczbie elementów. Nieujemną liczbę naturalną określającą ilość elementów zbioru skończonego nazywa się mocą zbioru. Zbiór skończony ma moc skończoną. Najmniejszym zbiorem skończonym jest zbiór pusty  Ø.
    Miara – rozważana w matematyce funkcja służąca określeniu „wielkości” zbiorów poprzez przypisanie im pewnej nieujemnej liczby.
    Spektrum pierścienia - dla danego pierścienia przemiennego z jednością A, zbiór Spec(A) złożony ze wszystkich ideałów pierwszych w A wraz z tzw. topologią Zariskiego, tj. topologią, w której rodziną zbiorów domkniętych jest
    Geometria algebraiczna – dziedzina matematyki zajmująca się badaniem specyficznych obiektów geometrycznych, takich jak rozmaitości algebraiczne, metodami algebry. Zajmuje centralne miejsce we współczesnej matematyce; jest spoiwem łączącym tak odległe od siebie dziedziny, jak analizę zespoloną, topologię i teorię liczb. Przenikanie terminologii geometrii algebraicznej i jej definicji do innych gałęzi "królowej nauk" ma odbicie w jednym z najbardziej ambitnych programów unifikacji w matematyce, w programie Langlandsa.
    Niezmiennik topologiczny to wielkość, struktura lub cecha, która pozostaje niezmienna przy przekształceniach ciągłych. Przykładowo, jeśli rozważamy odwzorowanie okręgu w okrąg to okazuje się, że wszystkie możliwe odwzorowania można zaklasyfikować ze względu na liczbę nawinięć. Jest to liczba mówiąca ile razy należy obiec okrąg będący obrazem przekształcenia przy pojedynczym obiegu okręgu wyjściowego. Liczba ta jest stała i składając badane przekształcenie z dowolnym innym ciągłym przekształceniem nie można jej zmienić. Tym samym zbiór wszystkich ciągłych przekształceń okręgu rozpada się na rozłączne klasy przekształceń, które nawijają okrąg na siebie raz, dwa razy, trzy razy, itd. Struktura tego zbioru odpowiada zatem zbiorowi liczb naturalnych.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.083 sek.