• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Przestrzeń mierzalna



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).Teoria miary (zwana też teorią miary i całki) - dział analizy matematycznej zajmujący się własnościami ogólnie rozumianych miar zbiorów. Teoria miary bada σ-algebry, funkcje mierzalne oraz całki.

    Przestrzeń mierzalna – to dany zbiór wraz z rodziną jego podzbiorów (tzw. -ciałem, -algebrą zbiorów), zawierającą zbiór pusty, dopełnienia wszystkich jej elementów oraz sumę dowolnej przeliczalnej liczby jej elementów.

    Ideał – w teorii porządków częściowych, teorii mnogości i pokrewnych dziedzinach matematyki pojęcie dualne do pojęcia filtru.Dopełnienie zbioru – intuicyjnie, zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą. W niektórych pozycjach można spotkać się również z alternatywną nazwą uzupełnienie zbioru.

    Przestrzenie mierzalne są obiektami studiowanymi w matematyce, głównie w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa (w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami).

    Idea wprowadzenia σ-ciała[]

    We wczesnych latach rozwoju teorii miary i teorii mnogości zauważono, że aksjomat wyboru dopuszcza istnienie dziwnych zbiorów, zawartych w zbiorze liczb rzeczywistych , dla których nie można określić miary (wielkości), np. miary Lebesgue'a (przykładem jest zbiór Vitalego).

    Teoria mnogości lub inaczej: teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.

    Gdy odrzucono aksjomat wyboru, a zamiast niego przyjęto aksjomat determinacji, to okazało się, że tak ograniczone podzbiory zbioru są mierzalne (twierdzenie Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego). Podobnie mierzalne okazały się podzbiory liczb rzeczywistych spełniające zadość odpowiednim aksjomatom dużych liczb kardynalnych. Powyższe aksjomaty są jednak zbyt restrykcyjne.

    Przestrzeń probabilistyczna – struktura umożliwiająca modelowanie doświadczenia losowego poprzez wskazanie zdarzeń losowych i przypisanie im prawdopodobieństwa.Aksjomat wyboru (ozn. AC od ang. Axiom of Choice) – jeden z aksjomatów teorii mnogości mówiący o możliwości skonstruowania zbioru (nazywanego selektorem) zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do rodziny niepustych zbiorów rozłącznych.

    Z czasem okazało się, że istnienie miary jest gwarantowane dla tzw. dobrych zbiorów, czyli takich, które są zamknięte na podstawowe operacje: przekrój, sumę oraz dopełnienie. Udowodniono, że zbiór utworzony ze skończonej liczby dobrych zbiorów za pomocą powyższych operacji również jest dobry. Istotnym krokiem było zezwolenie na operacje nieskończone, choć przeliczalne, co doprowadziło do rozkwitu teorii miary zbiorów. Pojęcie -ciała może być uznane za abstrakcyjną definicję opisanej wyżej rodziny dobrych zbiorów.

    Paul Richard Halmos (ur. 3 marca 1916, zm. 2 października 2006 w Los Gatos, Kalifornia), matematyk amerykański węgierskiego pochodzenia. Jego prace dotyczą teorii prawdopodobieństwa, statystyki matematycznej, teorii operatorów, teorii ergodycznej, analizy funkcjonalnej (w szczególności teorii przestrzeni Hilberta) oraz logiki matematycznej.Miara – rozważana w matematyce funkcja służąca określeniu „wielkości” zbiorów poprzez przypisanie im pewnej nieujemnej liczby.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Różnica symetryczna zbiorów A {displaystyle A} i B {displaystyle B} to zbiór, do którego należą te elementy zbioru A {displaystyle A} , które nie należą do zbioru B {displaystyle B} oraz te, które należą do zbioru B {displaystyle B} , ale nie należą do zbioru A {displaystyle A} .
    Stanisław Łojasiewicz (ur. 9 października 1926 r. w Warszawie, zm. 14 listopada 2002 r. we Włoszech), profesor Uniwersytetu Jagiellońskiego.
    Element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy najmniejszym, jeśli jest on mniejszy (lub równy) od każdego elementu zbioru:
    Zbiór – pojęcie pierwotne teorii zbiorów (znanej szerzej jako teoria mnogości; za jej twórcę uważa się Georga Cantora) leżące u podstaw całej matematyki; intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.
    Zbiór borelowski – podzbiór przestrzeni topologicznej, który można uzyskać za pomocą przeliczalnych sum i przekrojów zbiorów domkniętych (bądź zwartych) tej przestrzeni. Klasa zbiorów uzyskanych za pomocą tych operacji tworzy σ-ciało nazywane σ-ciałem zbiorów borelowskich lub σ-ciałem borelowskim danej przestrzeni topologicznej. Nazwa została wprowadzona dla uhonorowania prac francuskiego matematyka Émile Borela, który pierwszy badał te zbiory i ich zastosowania.
    Duże liczby kardynalne (ang. large cardinals) – liczby kardynalne, których istnienia nie można udowodnić w ZFC i co więcej takie, dla których niesprzeczność istnienia nie wynika z niesprzeczności ZFC, a jednocześnie można wykazać niesprzeczność nieistnienia tych liczb.
    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.052 sek.