• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Przestrzeń liniowa



    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5] [6]
    Przeczytaj także...
    Mnożenie przez skalar − jedno z działań dwuargumentowych definiujących przestrzeń liniową w algebrze liniowej (lub ogólniej: moduł w algebrze ogólnej). Mnożenia wektora przez skalar dającego w wyniku wektor nie należy mylić z iloczynem skalarnym (nazywanym niekiedy iloczynem wewnętrznym) dwóch wektorów dającym w wyniku skalar.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.
    Podstawowe własności[]
    Suma wektorów. Wektor v jest dodany do wektora w.
    Mnożenie wektorów. Wektor v jest mnożony przez 2, a następnie dodany do w.

    Następujące własności można wyprowadzić wprost z aksjomatów przestrzeni liniowych:

  • wektor zerowy jest wyznaczony jednoznacznie, jeżeli są zerami w takimi, że oraz , to ,
  • mnożenie wektora zerowego przez skalar daje wektor zerowy, dla dowolnego jest ,
  • mnożenie skalarne wektora przez zero daje wektor zerowy, dla każdego zachodzi , gdzie jest elementem neutralnym dodawania w ,
  • żadne inne mnożenie przez skalar nie daje zera, wtedy i tylko wtedy, gdy lub ,
  • wektor odwrotny względem dodawania do jest wyznaczony jednoznacznie, niech będą odwrotnościami takimi, że oraz , wówczas . Wektor nazywamy przeciwnym do i definiujemy odejmowanie jako ,
  • mnożenie skalarne przez jednostkę ujemną daje wektor przeciwny, dla każdego mamy , gdzie oznacza element odwrotny względem mnożenia w .
  • ujemność jest całkowicie przemienna, dla każdego oraz zachodzi .
  • Podprzestrzeń liniowa i baza[]

    Niepusty podzbiór przestrzeni liniowej zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie skalarne nazywa się podprzestrzenią tej przestrzeni. Równoważnie: podzbiory przestrzeni, które same są przestrzeniami liniowymi nazywa się podprzestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem). Część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierających dany zbiór wektorów nazywa się jego powłoką (liniową) lub otoczką (liniową); mówi się również że zbiór ten rozpina pewną podprzestrzeń. Jeżeli żaden z wektorów nie może być z niej usunięty, to mówi się, że zbiór jest liniowo niezależny. Liniowo niezależny zbiór, który rozpina nazywany jest bazą .

    Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).

    Felix Hausdorff udowodnił, na gruncie ZFC, że każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu oparty jest na lemacie Kuratowskiego-Zorna. Ze słabszego od aksjomatu wyboru lematu o istnieniu ultrafiltrów w algebrach Boole'a (BPI) wynika, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne. Jeśli jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni i oznacza . Na przykład wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej , czyli , wynosi trzy, gdyż każdy element tej przestrzeni daje się przedstawić jako kombinacja wektorów należących np. do zbioru . Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie można wskazać żadnej bazy, ale przy założeniu aksjomatu wyboru wiadomo, że ona istnieje.

    Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).Lemat Kuratowskiego-Zorna – twierdzenie teorii mnogości, nazywane zwyczajowo lematem, dające pewien warunek dostateczny istnienia elementu maksymalnego w danym zbiorze częściowo uporządkowanym; znajduje ono wiele zastosowań w pozostałych działach matematyki, gdzie wykorzystywane jest w dowodach istnienia różnych obiektów (gdy szukany element, którego istnienie jest postulowane, jest maksymalnym w pewnym zbiorze z częściowym porządkiem).

    W 1984 roku Andreas Blass wykazał, że istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z aksjomatem wyboru.

    Przykłady[]



    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5] [6]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.
    Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.
    Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.
    Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.
    Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.
    Macierz przekształcenia liniowego – w algebrze liniowej macierz będąca wygodnym zapisem we współrzędnych przekształcenia liniowego dwóch skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem z ustalonymi bazami. Dzięki temu, że mnożeniu macierzy oraz domnażaniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze, teoria macierzy staje się wygodnym językiem opisu przekształceń (w tym endomorfizmów) liniowych wyżej opisanych przestrzeni; jeśli nie wskazano żadnych baz, to każdą macierz o elementach z ciała można traktować jako przekształcenie liniowe między dwoma przestrzeniami współrzędnych.
    Ten artykuł zawiera pewne przykłady przestrzeni liniowych. W artykule „przestrzeń liniowa” znajdują się definicje używanych tutaj pojęć. Zapoznaj się również z: wymiar, baza.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.094 sek.