• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Przestrzeń jednospójna

    Przeczytaj także...
    Walec eliptyczny – walec prosty, którego podstawą jest elipsa. Jego szczególnym przypadkiem jest walec kołowy prosty mający w podstawie koło.Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).
    Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).
    Sfera jest jednospójna, gdyż każda pętla może być ściągnieta do punktu tak, że podczas ściągania pętla jest stale zawarta w sferze.
    Torus jest spójny, ale nie jest jednospójny, gdyż żadna z kolorowych pętli nie może być ściągnięta do punktu.

    Przestrzeń jednospójnałukowo spójna przestrzeń topologiczna o trywialnej grupie podstawowej.

    Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.Droga – w topologii, ciągłe przekształcenie z przedziału jednostkowego w przestrzeń topologiczną. Pętlą nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy czasem.

    Innymi słowy jest to przestrzeń topologiczna spełniająca następujące warunkiː

    1. dowolne dwa punkty można połączyć drogą ( jest łukowo spójna),
    2. dowolną taką krzywą można przekształcić w sposób ciągły, używając tylko punktów należących do tego obiektu, w dowolną inną krzywą łączącą te punkty (każde dwie drogi łączące oraz homotopijne).

    Zbiór jednospójny - to zbiór ze strukturą topologiczną, który potraktowany jako przestrzeń topologiczna jest przestrzenią jednospójną.

    Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.Przestrzeń ściągalna – przestrzeń topologiczna X o tej własności, że odwzorowanie identycznościowe idX na X jest homotopijne z przekształceniem stałym na X. Innymi słowy, przestrzeń topologiczna jest ściągalna gdy jest homotopijnie równoważna przestrzeni złożonej z jednego punktu.

    Twierdzenia[]

    Tw. 1 Przestrzeń topologiczna jest jednospójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest łukowo spójna i każdą zawartą w niej pętlę da się ściągnąć do punktu, przy czym podczas ściągania pętla musi być zawarta w przestrzeni.

    Tw. 2 Przestrzeń topologiczna jest jednospójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest łukowo spójna i posiada genus zero (tzn. nie ma otworów).

    Wstęga Möbiusa – dwuwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna istniejąca w przestrzeni trójwymiarowej, którą można uzyskać sklejając taśmę końcami "na odwrót". Jej najważniejszą cechą jest to, że ma tylko jedną stronę (jest tzw. powierzchnią jednostronną). Posiada również tylko jedną krawędź – "sklejenie" tej krawędzi (niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej) daje butelkę Kleina. Opisana przez niemieckiego matematyka Augusta Möbiusa i Johanna Benedicta Listinga w 1858 roku.Grupa podstawowa – rozważana w topologii grupa klas homotopii pętli w przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem (lub łukowo spójnej), pozwalająca na użycie względnie łatwych metod algebraicznych do dowodzenia skomplikowanych twierdzeń topologicznych.

    Zbiory z otworem lub otworami (np. torus, okrąg) nie są jednospójne właśnie ze względu na te otwory, które sprawiają, że np. równoleżnika w torusie nie można w sposób ciągły zmniejszyć do punktu.

    Przykłady[]

    Przestrzeń niejednospójna, ponieważ pętli okrążających dziury nie da się ściągnąć do punktu.

    Obiekty jednospójne:

  • W przestrzeni euklidesowej: odcinek, prosta, koło, kula, sfera n-wymiarowa S dla n ≥ 2 (np. sfera w przestrzeni trójwymiarowej).
  • Przestrzeń Euklidesowa R .
  • Gdy n > 2, to R bez dowolnej liczby punktów, np. bez punktu (0,0).
  • Każdy podzbiór wypukły zawarty w R.
  • Każda przestrzeń wektorowa, w tym przestrzenie Banacha i Hilberta.
  • Specjalna grupa unitarna SU(n).
  • Wszystkie przestrzenie ściągalne są jednospójne (ponieważ każde dwa przekształcenia w przestrzeń ściągalną są homotopijne), jednak nie odwrotnie - na przykład sfera dwuwymiarowa jest jednospójna, ale nie jest ściągalna.

    Genus - pojęcie występujące w topologii i topologii algebraicznej, niezmiennik topologiczny, liczba całkowita charakteryzująca rozmaitość topologiczną równa liczbie otworów w rozmaitości. Tak więc dla sfery jest to 0, dla torusa 1, dla precelka 3 itp.Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.

    Obiekty niejednospójne:

  • Okrąg, torus, butelka Kleina, walec eliptyczny, wstęga Möbiusa.
  • Przestrzeń Euklidesowa R bez np. punktu (0,0).
  • Dla n ≥ 2, specjalna grupa ortogonalna SO(n,R).
  • Przypisy

    Bibliografia[]

  • Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, s. 243. ISBN 83-7469-189-1.
  • Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii – Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994, s. 170. ISSN 0239-6432.
  • Koło – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu na tej płaszczyźnie (środka koła) nie przekracza pewnej wartości (promienia koła).Homotopia – ciągłe przejście między dwoma przekształceniami ciągłymi przestrzeni topologicznych, tj. takie, za pomocą którego można w jednostce czasu w wyniku ciągłej deformacji z jednego przekształcenia otrzymać drugie. Działem matematyki w którym się je rozważa jest teoria homotopii, gałąź topologii algebraicznej.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Butelka Kleina – jednostronna powierzchnia (nieorientowalna rozmaitość dwuwymiarowa) bez brzegu. Opisana w 1882 przez niemieckiego matematyka Felixa Kleina.
    Definicja intuicyjna: Kula to zbiór punktów oddalonych nie bardziej niż pewna zadana odległość (promień kuli) od wybranego punktu (środek kuli)
    Przestrzeń spójna – w topologii przestrzeń topologiczna oddająca intuicję „składania się z jednego kawałka”, tzn. niemożność jej rozłożenia na sumę dwóch niepustych, rozłącznych podzbiorów otwartych. Istnieje silniejsze pojęcie przestrzeni spójnej drogowo, w której dowolne dwa punkty dają się połączyć drogą.
    Punkt –  w najogólniejszym ujęciu – to element pewnego zbioru. Np. w zbiorze liczb punktem będzie liczba, w zbiorze samochodów - punktem będzie jakiś samochód. Punkt – rozważany w geometrii – to bezwymiarowy obiekt geometryczny; pojęcie punktu stanowi jedno z podstawowych pojęć geometrii; punkt ma zerowe rozmiary, dwa punkty mogą więc różnić się tylko położeniem. Punkty zaznacza się na rysunku jako × (krzyżyk), kółko lub kropkę i tradycyjnie oznacza wielkimi literami alfabetu łacińskiego (A, B, C).

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.02 sek.