• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Przestrzeń euklidesowa



    Podstrony: [1] [2] [3] 4 [5] [6] [7]
    Przeczytaj także...
    Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo Parser nie mógł rozpoznać (Nie można zapisać obrazu z wzorem w systemie plików.): 5Lotnictwo – ogół zagadnień związanych z wszelkiego rodzaju statkami powietrznymi, pojazdami zdolnymi do samodzielnego lotu w powietrzu.
    Przykłady[]

    Do najprostszych przykładów zaliczają się opisane wyżej przestrzenie kartezjańskie, wśród nich

  • prosta euklidesowa, w których punkty i wektory utożsamia się z liczbami rzeczywistymi, kąt między dowolnymi dwoma wektorami o początku w zerze jest równy (punkty je wyznaczające leżą po jednej stronie zera) lub (punkty te leżą po przeciwnej stronie zera, tzw. liczby przeciwne), a norma wektora to wartość bezwzględna liczby, zaś metryka to bezwzględna różnica dwóch liczb;
  • płaszczyzna euklidesowa
  • postrzegana jako dwuwymiarowa przestrzeń afiniczna nad liczbami rzeczywistymi z określoną analogicznie strukturą euklidesową lub
  • płaszczyzna zespolona, gdzie punkty i wektory to liczby zespolone, kąt między nimi dany jest jako różnica ich argumentów, długość (norma) to moduł liczby zespolonej z naturalnie określoną metryką (jako moduł różnicy).
  • Oprócz przestrzeni kartezjańskich istnieją również inne przestrzenie euklidesowe, np. przestrzeń wielomianów stopnia nie większego niż dwa zmiennej rzeczywistej z iloczynem skalarnym

    Zero (zapisywane jako 0) – element neutralny dodawania; najmniejsza nieujemna liczba. To, czy zero jest uznawane za liczbę naturalną, jest kwestią umowy – czasem włącza się, a czasem wyklucza się je z tego zbioru. Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).

    Własności topologiczne[]

    Ponieważ przestrzeń ma strukturę metryczną, to jest ona przestrzenią topologiczną z topologią indukowaną przez metrykę euklidesową. Topologia ta nazywana jest topologią euklidesową. Topologia ta jest równoważna z topologią produktową kopii prostej rzeczywistej ze standardową (a więc euklidesową) topologią.

    Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).Prostopadłość – cecha geometryczna dwóch prostych lub płaszczyzn (albo prostej i płaszczyzny), które tworzą przystające kąty przyległe.

    Zbiór w jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera kulę otwartą wokół każdego swojego punktu. Rodzina wszystkich kul otwartych o wymiernych promieniach i środkach w punktach o wymiernych współrzędnych, tworzy bazę tej przestrzeni. Dlatego też jest przestrzenią o bazie przeliczalnej i ma ciężar

    Przestrzeń ośrodkowa to przestrzeń topologiczna, która zawiera przeliczalny podzbiór gęsty (czasem zwany ośrodkiem).Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

    Przestrzeń jest zupełna i ośrodkowa, rolę ośrodka (przeliczalnego podzbioru gęstego) może pełnić np. zbiór punktów o współrzędnych wymiernych. Dodatkowo istnieje prosta charakteryzacja zbiorów zwartych – są to zbiory domknięte i ograniczone w tej przestrzeni. Dowolny otwarty zbiór spójny tej przestrzeni jest łukowo spójny.

    Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.Półprosta - figura geometryczna składająca się z punktów prostej leżących po jednej stronie punktu prostej, który jest nazywany początkiem półprostej. Bardzo często do tak określonej półprostej dołącza się początek półprostej i mówimy o półprostej domkniętej (z początkiem). W przeciwnym wypadku mówimy o półprostej otwartej (bez początku) .

    Ważnym wynikiem dotyczącym topologii jest nietrywialne twierdzenie Brouwera o niezmienniczości obszaru: dowolny podzbiór (z topologią podprzestrzeni), który jest homeomorficzny z innym otwartym podzbiorem , jest otwarty. Konsekwencją tego jest, że przestrzeń nie jest homeomorficzna z o ile – jest to twierdzenie intuicyjnie „oczywiste”, jednak trudne do dowiedzenia w inny sposób.

    Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.Geometria syntetyczna - czyli geometria czysta - dział geometrii, w którym nie używa się metod algebraicznych i obliczeniowych do dowodzenia twierdzeń i rozwiązywania problemów. Wybitnymi znawcami geometrii syntetycznej byli między innymi Euklides, Apoloniusz z Pergi, Michel Chasles i Jakob Steiner.

    Wiele własności przestrzeni euklidesowych zależy od ich wymiaru, np. w przestrzeni nietrójwymiarowej każdy węzeł jest trywialny (tzn. homeomorficzny z okręgiem).

    Uogólnienia[]

    Rozmaitość różniczkowa[]

    Przestrzenie euklidesowe traktuje się we współczesnej matematyce jako prototypy bardziej skomplikowanych obiektów geometrycznych. Np. rozmaitość różniczkowa to przestrzeń topologiczna Hausdorffa, która jest lokalnie dyfeomorficzna z przestrzenią euklidesową. Dyfeomorfizmy nie zachowują odległości ani kątów, tak więc w rozmaitościach różniczkowych brak tych kluczowych pojęć geometrii euklidesowej.

    Liczba przeciwna do danej liczby a , {displaystyle a,;} to taka liczba − a , {displaystyle -a,;} że zachodzi:Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

    Rozmaitość riemannowska[]

    Jednak jeżeli dodatkowo zdefiniuje się na przestrzeni stycznej rozmaitości iloczyn skalarny, który zmienia się w sposób gładki, to uzyskaną przestrzeń nazywa się rozmaitością riemannowską. Rozmaitość riemannowską można otrzymać przez deformację i sklejanie fragmentów przestrzeni euklidesowej. Są więc tu obecne pojęcia odległości oraz kąta, choć przestrzeń ma zakrzywioną, nieeuklidesową naturę. Najprostsza rozmaitość riemannowska jest przestrzenią o stałym iloczynie skalarnym – czyli jest -wymiarową przestrzenią euklidesową.

    Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.Przestrzeń Hilberta – w analizie funkcjonalnej rzeczywista lub zespolona przestrzeń unitarna (tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym), zupełna ze względu na indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego tej przestrzeni metrykę. Jako unormowana i zupełna, każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, a przez to przestrzenią Frécheta, a stąd lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie te noszą nazwisko Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku; są one podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).

    Rozmaitość pseudoriemannowska[]

    1) Jeżeli przekształcić iloczyn skalarny przestrzeni euklidesowej tak, by mógł on być ujemny w jednym lub większej liczbie kierunków, to taką przestrzeń nazywa się przestrzenią pseudoeuklidesową.

    2) Rozmaitości różniczkowe homeomorficzne z takimi przestrzeniami nazywa się rozmaitościami pseudoriemannowskimi. Być może najsławniejsze ich zastosowanie jest w teoria względności: a) Pusta czasoprzestrzeń bez materii reprezentowana jest przez płaską przestrzeń pseudoeuklidesową, którą nazywa się przestrzenią Minkowskiego. b) Czasoprzestrzenie zawierające materię tworzą rozmaitości pseudoriemannowskie, mające lokalnie różne krzywizny (por. Przestrzeń euklidesowa a przestrzeń fizyczna poniżej).

    Baza kanoniczna – pojęcie matematyczne oznaczające bazę pewnej struktury algebraicznej, która jest kanoniczna w ścisłym sensie zależącym od kontekstu:Nawigacja – dział wiedzy zajmujący się określaniem bieżącego położenia oraz optymalnej drogi do celu dla ludzi, statków, pojazdów lądowych i innych przemieszczających się obiektów.


    Podstrony: [1] [2] [3] 4 [5] [6] [7]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi (obliczeniowymi) i algebraicznymi. Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań, które opisują badane figury. Przedmiotem badań geometrii analitycznej jest zasadniczo przestrzeń euklidesowa i własności jej podzbiorów, choć wiele wyników można uogólnić na dowolne, skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe.
    Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.
    Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
    Odległość Minkowskiego – w matematyce uogólniona miara odległości między punktami przestrzeni euklidesowej; niekiedy nazywa się także odległością Lm. Można o niej myśleć jako o uogólnieniu odległości euklidesowej (L2), miejskiej (L1, w teorii informacji znanej jako odległość Hamminga) oraz Czebyszewa (L∞, tzn. Lm w granicy przy m → ∞).
    Forma dwuliniowa albo funkcjonał dwuliniowy – w algebrze liniowej przekształcenie dwuliniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na oba parametry. Studiowanie form dwuliniowych sprowadza się do badania wyniku utożsamienia danej przestrzeni liniowej z przestrzenią dualną do niej; różne utożsamienia wprowadzają różne geometrie na rozpatrywanej przestrzeni liniowej: w szczególności przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym).
    Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.
    Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z przestrzenią trówymiarową umożliwia formalny zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina. Nazwę zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który opisał ją w 1907.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.05 sek.