• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Przestrzeń euklidesowa



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6] [7]
    Przeczytaj także...
    Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo Parser nie mógł rozpoznać (Nie można zapisać obrazu z wzorem w systemie plików.): 5Lotnictwo – ogół zagadnień związanych z wszelkiego rodzaju statkami powietrznymi, pojazdami zdolnymi do samodzielnego lotu w powietrzu.

    Spis treści

  • 1 Podejście klasyczne do geometrii
  • 2 Grupa przekształceń obiektów geometrycznych
  • 3 Współczesna definicja płaszczyzny euklidesowej
  • 4 Definicja przestrzeni euklidesowej wymiaru n
  • 5 Definicja metryki euklidesowej
  • 6 Przestrzeń współrzędnych rzeczywistych
  • 6.1 Dodawanie wektorów, mnożenie przez skalar
  • 6.2 Dodawanie wektora do punktu
  • 6.3 Baza przestrzeni liniowej
  • 6.4 Wybór punktu początkowego przestrzeni
  • 7 Konstrukcja przestrzeni euklidesowej
  • 7.1 Definicja iloczynu skalarnego w
  • 7.2 Definicja długości wektora w
  • 7.3 Definicja kąta w
  • 7.4 Definicja metryki w
  • 7.5 Przestrzeń kartezjańska
  • 8 Przykłady
  • 9 Własności topologiczne
  • 10 Uogólnienia
  • 10.1 Rozmaitość różniczkowa
  • 10.2 Rozmaitość riemannowska
  • 10.3 Rozmaitość pseudoriemannowska
  • 11 Geometria różniczkowa
  • 12 Przestrzeń euklidesowa a przestrzeń fizyczna
  • 13 Bibliografia
  • 14 Zobacz też
  • 15 Przypisy
  • Przestrzeń euklidesowaprzestrzeń opisywana przez geometrię euklidesową. Model ten stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznej, jeśli za jej pomocą opisuje się odległości makroskopowe.

    Zero (zapisywane jako 0) – element neutralny dodawania; najmniejsza nieujemna liczba. To, czy zero jest uznawane za liczbę naturalną, jest kwestią umowy – czasem włącza się, a czasem wyklucza się je z tego zbioru. Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).

    Nie nadaje się do opisu przestrzeni fizycznej w odległościach bardzo małych, atomowych, gdy rolę zaczynają odgrywać efekty kwantowe lub w pobliżu masywnych obiektów astronomicznych, jak Słońce, czarne dziury - gdy rolę zaczynają grać efekty zakrzywienia przestrzeni i geometria staje się nieeuklidesowa.

    Jednowymiarową przestrzeń euklidesową nazywa się prostą euklidesową, a dwuwymiarową – płaszczyzną euklidesową.

    Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).Prostopadłość – cecha geometryczna dwóch prostych lub płaszczyzn (albo prostej i płaszczyzny), które tworzą przystające kąty przyległe.

    Przestrzenie euklidesowe nazywa się również afinicznymi przestrzeniami euklidesowymi, w odróżnieniu od liniowych przestrzeni euklidesowych, nazywanych też przestrzeniami unitarnymi.

    Kluczową własnością przestrzeni euklidesowych jest ich „płaskość”. W geometrii wyróżnia się inne przestrzenie, które nie są euklidesowe. Np. sfera jest przestrzenią nieeuklidesową, gdyż kąty trójkąta na sferze sumują się do wartości większej niż 180 stopni, inaczej iż na płaszczyźnie euklidesowej.

    Geometria rozważa przestrzenie wielowymiarowe. Dla danej liczby naturalnej n istnieje dokładnie jedna przestrzeń euklidesowa o wymiarze n, zaś przestrzeni nieeuklidesowych wymiaru n jest nieskończenie wiele. Te ostatnie można konstruować np. poprzez deformację przestrzeni euklidesowej.

    Przestrzeń ośrodkowa to przestrzeń topologiczna, która zawiera przeliczalny podzbiór gęsty (czasem zwany ośrodkiem).Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

    Podejście klasyczne do geometrii[]

     Osobny artykuł: geometria euklidesowa.

    Ok. 300 p.n.e. grecki matematyk Euklides badał własności geometryczne na płaszczyźnie (wyidealizowanej powierzchni) i w przestrzeni i stworzył podwaliny pod geometrię dwu- i trójwymiarową. Geometrie te nazwano z czasem geometriami euklidesowymi.

    Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.Półprosta - figura geometryczna składająca się z punktów prostej leżących po jednej stronie punktu prostej, który jest nazywany początkiem półprostej. Bardzo często do tak określonej półprostej dołącza się początek półprostej i mówimy o półprostej domkniętej (z początkiem). W przeciwnym wypadku mówimy o półprostej otwartej (bez początku) .

    Euklides sformułował geometrię następującoː

    (1) Niektóre pojęcia przyjął bez definicji, odwołując się do intuicji (są to tzw. pojęcia pierwotne geometrii)ː

  • punktu, prostej, płaszczyzny,
  • należenia punktu do prostej (zob. incydencja), należenia prostej do płaszczyzny itd.
  • (2) Wszystkie inne pojęcia, takie jak kąt, odcinek, półprosta, okrąg itp., zdefiniował odwołując się do pojęć pierwotnych i aksjomatów.

    Euklides przyjął, że punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń mają wymiar równy kolejno: zero, jeden, dwa, trzy. Geometrię można rozszerzać wprowadzając nowe pojęcia pierwotne (obok pojęć punktu, prostej i płaszczyzny) oraz wprowadzając relacje należenia obiektów „mniejszych” w „większych”, przy czym miarą jest tu wymiar obiektu.

    Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.Geometria syntetyczna - czyli geometria czysta - dział geometrii, w którym nie używa się metod algebraicznych i obliczeniowych do dowodzenia twierdzeń i rozwiązywania problemów. Wybitnymi znawcami geometrii syntetycznej byli między innymi Euklides, Apoloniusz z Pergi, Michel Chasles i Jakob Steiner.

    Rozwijanie geometrii w powyżej omówiony sposób czasem okazuje się problematyczne - gdyż niekiedy trudno jest spójnie definiować kolejne pojęcia pierwotne i zależności między nimi. Z tego powodu dziś zamiast odwoływać się do niezupełnego systemu Euklidesa korzysta się z algebry i analizy (zobacz geometria syntetyczna, geometria analityczna).

    Liczba przeciwna do danej liczby a , {displaystyle a,;} to taka liczba − a , {displaystyle -a,;} że zachodzi:Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6] [7]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.
    Przestrzeń Hilberta – w analizie funkcjonalnej rzeczywista lub zespolona przestrzeń unitarna (tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym), zupełna ze względu na indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego tej przestrzeni metrykę. Jako unormowana i zupełna, każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, a przez to przestrzenią Frécheta, a stąd lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie te noszą nazwisko Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku; są one podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).
    Baza kanoniczna – pojęcie matematyczne oznaczające bazę pewnej struktury algebraicznej, która jest kanoniczna w ścisłym sensie zależącym od kontekstu:
    Nawigacja – dział wiedzy zajmujący się określaniem bieżącego położenia oraz optymalnej drogi do celu dla ludzi, statków, pojazdów lądowych i innych przemieszczających się obiektów.
    Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi (obliczeniowymi) i algebraicznymi. Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań, które opisują badane figury. Przedmiotem badań geometrii analitycznej jest zasadniczo przestrzeń euklidesowa i własności jej podzbiorów, choć wiele wyników można uogólnić na dowolne, skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe.
    Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.
    Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.

    Reklama