• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Przestrzeń Banacha



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).

    Przestrzeń Banachaprzestrzeń unormowana X (z normą ||·||), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka d dana wzorem

    jest zupełna. Zupełność metryki oznacza, że każdy ciąg Cauchy'ego elementów przestrzeni X jest zbieżny (do pewnego elementu przestrzeni X).

    Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo Parser nie mógł rozpoznać (Nie można zapisać obrazu z wzorem w systemie plików.): 5Operator słabo zwarty - operator liniowy T: X → Y pomiędzy przestrzeniami unormowanymi X i Y o tej własności, że domknięcie obrazu kuli jednostkowej B przestrzeni X jest słabo zwartym podzbiorem przestrzeni Y. Każdy operator słabo zwarty jest ograniczony (a więc ciągły). Pojęcie operatora słabo zwartego definiowane jest czasami dla szerszych klas przestrzeni liniowo-topologicznych.

    Idea przestrzeni unormowanej zupełnej przewijała się wielokrotnie w pracach takich matematyków jak Erik Ivar Fredholm, David Hilbert, Frigyes Riesz i innych. Badając równania różniczkowe i całkowe stykali się oni z konkretnymi przestrzeniami funkcyjnymi jak np. przestrzeń funkcji ciągłych czy funkcji całkowalnych w p-tej potędze dla p ≥ 1. Norbert Wiener i Stefan Banach zdefiniowali to pojęcie niezależnie od siebie. Określenia przestrzenie Banacha (fr. les espaces de S. Banach) jako pierwszy użył Maurice Fréchet honorując w ten sposób polskiego matematyka za wkład w badanie tego rodzaju przestrzeni. Sam Banach nazywał je w swoich pracach przestrzeniami typu B. Pojęcie przestrzeni Banacha stało się fundamentalne dla rozwoju ówczesnej analizy funkcjonalnej i matematyki w ogóle.

    Równanie całkowe – równanie funkcyjne, w którym występuje całka niewiadomej funkcji. Równania te, w zależności od tego, czy funkcja niewiadoma pojawia się ponadto sama, dzielą się na jednorodne i niejednorodne. Wyróżnia się ponadto kilka ich rodzajów na podstawie typu występujących w nim całek (ściślej granic tych całek). Funkcję szukaną często oznacza się ϕ ( x ) . {displaystyle phi (x).} Zadaniem jest znalezienie postaci funkcji na przedziale [ a , b ] . {displaystyle [a,b].} Przestrzeń ośrodkowa to przestrzeń topologiczna, która zawiera przeliczalny podzbiór gęsty (czasem zwany ośrodkiem).

    Przestrzenie Banacha zaliczają się do klasy przestrzeni liniowo-topologicznych. W szczególności, każda przestrzeń Banacha jest przestrzenią Frécheta. Z ogólnego faktu teorii przestrzeni metrycznych wynika, że podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha sama jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona domknięta.

    Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

    Spis treści

  • 1 Przykłady
  • 1.1 Ciała liczbowe i przestrzenie skończenie wymiarowe
  • 1.2 Przestrzenie funkcji ciągłych i przestrzenie funkcji ograniczonych
  • 1.3 Przestrzenie ℓ∞, c i c0
  • 1.3.1 Przestrzeń c00
  • 1.4 Przestrzenie Lp, przestrzenie Lorentza
  • 2 Operatory liniowe ograniczone
  • 3 Przestrzeń sprzężona. Przestrzenie refleksywne
  • 4 Szeregi i bazy w przestrzeniach Banacha
  • 4.1 Baza przestrzeni Banacha
  • 4.2 Baza Schaudera
  • 4.3 Wymiar Hamela
  • 5 Zobacz też
  • 6 Przypisy
  • 7 Bibliografia
  • Przestrzeń Hilberta – w analizie funkcjonalnej rzeczywista lub zespolona przestrzeń unitarna (tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym), zupełna ze względu na indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego tej przestrzeni metrykę. Jako unormowana i zupełna, każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, a przez to przestrzenią Frécheta, a stąd lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie te noszą nazwisko Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku; są one podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).Liniowa niezależność – w algebrze liniowej własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.

    Przykłady[]

    W dalszym ciągu symbol K oznaczać będzie ciało liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

    Ciała liczbowe i przestrzenie skończenie wymiarowe[]

    Ciało K, traktowane jako przestrzeń liniowa nad samym sobą, jest jednowymiarową przestrzenią Banacha z normą wartości bezwzględnej (modułu). Jest to jeden z podstawowych faktów klasycznej analizy matematycznej. W przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne oraz każda norma jest zupełna. Dokładniej, w każdej przestrzeni skończenie wymiarowej istnieje dokładnie jedna liniowa topologia, która jest normowalna. W przestrzeniach współrzędnych K najczęściej używa się normy euklidesowej, będącej uogólnieniem wartości bezwzględnej. Dla elementów postaci

    Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi istnieje izometria (są izometryczne) nazywne są przystającymi.Frigyes Riesz (czyt. fridjesz riis) (ur. 22 stycznia 1880, zm. 28 lutego 1956) – matematyk węgierski, członek Węgierskiej Akademii Nauk, profesor węgierskich uniwersytetów w Kluż, Segedynie i Budapeszcie; podstawowe jego prace dotyczą topologii i analizy funkcjonalnej. Imieniem tego matematyka nazwano m.in. przestrzenie Riesza (przestrzenie liniowe z określonym częściowym porządkiem kraty - obiekty studiowane głównie w teorii miary).

    norma ta dana jest wzorem

    Funkcja „na” a. surjekcja pisane też czasami jako suriekcja – funkcja przyjmująca jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny, tj. której obraz jest równy przeciwdziedzinie.Język francuski (fr. langue française lub français) – język pochodzenia indoeuropejskiego z grupy języków romańskich. Jako językiem ojczystym posługuje się nim ok. 80 mln ludzi: ok. 65 mln Francuzów, ok. 4,5 mln Belgów (czyli 42%), ok. 1,5 mln Szwajcarów (czyli 20%), a także ok. 8 mln mieszkańców kanadyjskich prowincji Québec, Ontario i Nowy Brunszwik. Ok. 201 milionów osób na całym świecie używa francuskiego jako języka głównego (oszacowanie z 2009 r. według Organisation mondiale de la Francophonie), a 72 miliony jako drugiego języka codziennego (w tym krajach Maghrebu). Wiele z tych osób mieszka w krajach, w których francuski jest jednym z języków urzędowych, bądź powszechnie używanych (54 kraje). Paradoksalnie, w Algierii, Maroku, i Tunezji, gdzie nie ma statusu języka urzędowego, jest bardziej rozpowszechniony niż w wielu krajach Czarnej Afryki, w których jest jedynym językiem urzędowym.
    .

    Gdy rozważana przestrzeń współrzędnych jest rzeczywista, to w powyższym wzorze można opuścić symbole wartości bezwzględnej. Inną (równoważną jej) normą jest np. tzw. norma maksimum, dana wzorem

    Przestrzeń refleksywna - w analizie funkcjonalnej, przestrzeń unormowana X, która jest izomorficzna ze swoją drugą przestrzenią sprzężoną poprzez odwzorowanieTopologia porządkowa - topologia wyznaczona przez porządek liniowy w pewnym zbiorze. Naturalnym przykładem topologii porządkowej jest prosta rzeczywista z topologią generowaną przez przedziały otwarte.
    .

    Wśród przestrzeni Banacha przestrzenie skończenie wymiarowe wyróżniają następujące własności (niezachodzące w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych):

    Przestrzeń liniowo-topologiczna – przestrzeń liniowa, w której istnieje taka topologia (dla której dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania), że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.
  • Każdy funkcjonał liniowy, a nawet ogólniej każde przekształcenie liniowe w przestrzeń unormowaną, przestrzeni skończenie wymiarowej jest ciągłe.
  • Domknięta kula jednostkowa oraz ogólniej dowolny domknięty i ograniczony podzbiór przestrzeni skończenie wymiarowej jest zbiorem zwartym.
  • Przestrzenie funkcji ciągłych i przestrzenie funkcji ograniczonych[]

    Przestrzeń C(Ω), wszystkich skalarnych funkcji ciągłych określonych na zwartej (niekoniecznie metryzowalnej) przestrzeni Hausdorffa Ω z działaniami określonymi punktowo, jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

    Przestrzeń metryzowalna – w topologii przestrzeń topologiczna, w której można określić strukturę metryczną, czyli wprowadzić metrykę wyznaczającą topologię tej przestrzeni. Przestrzenie metryzowalne mają te same własności topologiczne co przestrzenie metryczne; w szczególności każda przestrzeń metryzowalna (metryczna) jest parazwartą przestrzenią Hausdorffa (a więc również normalna), a także spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.Stefan Banach (ur. 30 marca 1892 w Krakowie, zm. 31 sierpnia 1945 we Lwowie) – polski matematyk, jeden z przedstawicieli lwowskiej szkoły matematycznej.

    Ważnymi przykładami takich przestrzeni są C[0,1] (przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku jednostkowym) czy C[0, ω1] (przestrzeń funkcji ciągłych na liczbie porządkowej [0, ω1] = ω1 + 1 z topologią porządkową).

    Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki. W dalszej części pojęcie to będzie omawiane głównie w kontekście przestrzeni liniowych nad ciałem z uogólnieniami na końcu artykułu.Przestrzeń ℓ1 - przestrzeń Banacha ℓp przy p = 1; przestrzeń ciągów bezwzględnie sumowalnych, tj. przestrzeń wszystkich ciągów liczbowych (xn) dla których

    Powyższą konstrukcję można uogólnić. Niech (Y, ||·||) będzie przestrzenią Banacha. Wówczas przestrzeń C(Ω, Y) wszystkich funkcji ciągłych f: Ω → Y z normą

    jest przestrzenią Banacha.

    Julian Musielak (ur. 7 listopada 1928 w Poznaniu) - polski matematyk, profesor zwyczajny. Zajmuje się przestrzeniami funkcyjnymi (od m.in. jego nazwiska pochodzi nazwa przestrzeni Musielaka-Orlicza) oraz teorią całki dla funkcji o wartościach wektorowych. Autor monografii Orlicz Spaces and Modular Spaces, Springer Lecture Notes in Mathematics, 1983 oraz podręcznika akademickiego do analizy funkcjonalnej Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN 1989 (wydanie drugie zmienione).Baza Schaudera - w analizie funkcjonalnej - ciąg (xn) elementów przestrzeni Banacha X o tej własności, że dla każdego elementu x przestrzeni X istnieje dokładnie jeden taki ciąg skalarów (an), że

    Przestrzenie ℓ∞, c i c0[]

     Osobny artykuł: przestrzeń c0.

    Przestrzeń zwartą Ω powyżej można zastąpić dowolnym zbiorem A wymagając dodatkowo by rozważane funkcje były ograniczone (nie zakłada się ciągłości, gdyż zbiór A nie ma wybranej żadnej topologii. Tak zdefiniowaną przestrzeń ograniczonych funkcji f: A → Y oznacza się symbolem ℓ∞(A, Y). Jest to również przestrzeń Banacha. Gdy Y jest ciałem skalarów, to oznacza się tę przestrzeń krótko przez ℓ∞(A) bądź nawet ℓ∞, gdy A jest zbiorem liczb naturalnych.

    Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.Twierdzenie Banacha-Steinhausa (zasada jednostajnej ograniczoności) – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, w swym klasycznym sformułowaniu, że granica punktowa ciągu operatorów liniowych i jednakowo ciągłych między przestrzeniami Banacha jest ciągłym operatorem liniowym. Twierdzenie Banacha-Steinhausa można sforumułować ogólniej, aby uwypuklić istotność założeń wersji klasycznej.

    Przestrzeń ℓ∞ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią C(βN) funkcji ciągłych na βN, tj. na uzwarceniu Čecha-Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną.

    Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony zatem podprzestrzenie c i c0 ciągów liczbowych, odpowiednio, zbieżnych i zbieżnych do zera są podprzestrzeniami przestrzeni ℓ∞. Podprzestrzenie te są domknięte, a więc są również przestrzeniami Banacha. Nie każda podprzestrzeń przestrzeni ℓ∞ jest jednak domknięta:

    Przestrzeń c00[]

    Niech

    Uzwarcenie Čecha-Stone’a – maksymalne (w pewnym, zdefiniowanym niżej sensie) uzwarcenie przestrzeni całkowicie regularnej spełniającej aksjomat oddzielania T1. Badania nad tego rodzaju uzwarceniami zostały zainicjowane (z odmiennych punktów widzenia) niezależnie przez czeskiego matematyka Eduarda Čecha i amerykańskiego matematyka Marshalla H. Stone’a w 1937.Zbiór nieprzeliczalny – zbiór, który nie jest przeliczalny. Inaczej: zbiór nieskończony, który nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (zatem ma większą moc). Pojęcie zbioru nieprzeliczalnego pochodzi od Georga Cantora.

    tzn. ek jest takim ciągiem, który na k-tym miejscu ma jedynkę, a wszystkie inne jego wyrazy są zerowe, to symbolem c00 oznacza się zbiór wszystkich skończonych kombinacji liniowych ciągów ek. Innymi słowy elementami przestrzeni c00 są wszystkie ciągi liczbowe, których tylko skończona liczba wyrazów jest różna od zera. Przestrzeń c00 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni , ponieważ suma dwóch ciągów o skończenie wielu wyrazach niezerowych ma nadal skończenie wiele wyrazów niezerowych. Ciąg

    Forma liniowa albo funkcjonał liniowy (kowektor) – w algebrze liniowej przekształcenie liniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli funkcjonał, który jest liniowy, tj. addytywny i jednorodny. Pojęcie to uogólnia się bez zmian na przypadek modułów nad pierścieniami.Algebra Banacha – przestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych oraz spełnia warunek

    jest ciągiem Cauchy'ego punktów (ciągów) z przestrzeni c00, który jest zbieżny w przestrzeni c0 do ciągu

    Operator liniowy ograniczony T to taki operator liniowy pomiędzy unormowanymi przestrzeniami X i Y, że istnieje pewna liczba nieujemna C, która dla każdego x należącego do X spełniaPrzestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.
    ,

    a zatem przestrzeń c00 nie jest przestrzenią Banacha.

    Język polski (polszczyzna) – język naturalny należący do grupy zachodniosłowiańskich (do których należą również czeski, słowacki, kaszubski, dolnołużycki, górnołużycki i wymarły połabski), stanowiących część rodziny indoeuropejskiej.Przestrzeń dyskretna – w topologii przykład przestrzeni topologicznej lub podobnej struktury, w której punkty są w pewnym sensie od siebie „oddzielone”.

    Przestrzenie Lp, przestrzenie Lorentza[]

    Dla ustalonego p ≥ 1 oraz dowolnej przestrzeni z miarą (Ω, μ) przestrzeń Lp(μ) funkcji całkowalnych w p-tej potędze na Ω jest przestrzenią Banacha. Szczególną klasą przestrzeni tego typu są przestrzenie ℓp(Γ) ciągów sumowalnych w p-tej potędze na zbiorze Γ. Ogólniej, przestrzenie Lorentza Lp,q i przestrzenie Orlicza są przestrzeniami Banacha.

    Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – niepusty podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni.Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Przestrzeń Hausdorffa – wprowadzony przez Feliksa Hausdorffa rodzaj przestrzeni topologicznej o porządnych właściwościach. Ta naturalna własność była początkowo postulowana w definicji przestrzeni topologicznej, jednak wraz z rozwojem teorii wydzielono ją jako jeden z możliwych „aksjomatów oddzielania” nakładanych na abstrakcyjną przestrzeń topologiczną (zob. Przykłady). Z tego powodu o przestrzeniach Hausdorffa mówi się też, iż spełniają aksjomat „ T 2 {displaystyle scriptstyle T_{2}} ” bądź, według innej klasyfikacji, aksjomat „ R 1 {displaystyle scriptstyle R_{1}} ”; dla zwięzłości określa się je również jako „przestrzenie T 2 {displaystyle scriptstyle T_{2}} ” (bądź „ R 1 {displaystyle scriptstyle R_{1}} ”).
    Analiza funkcjonalna – dział analizy matematycznej zajmujący się głównie badaniem własności przestrzeni funkcyjnych. Rozwinął się w trakcie studiów nad odwzorowaniami zwanymi transformacjami lub operatorami (przede wszystkim nad transformacją Fouriera) oraz równaniami różniczkowymi i całkowymi.
    Słaba topologia – alternatywna (w stosunku do wyjściowej) topologia na danej przestrzeni liniowo-topologicznej, będąca uogólnieniem idei zbieżności po współrzędnych (w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych słaba topologia pokrywa się z wyjściową topologią).
    Przestrzenie Lorentza - klasa (quasi-)przestrzeni Banacha uogólniająca przestrzenie Lp. Konstrukcja przestrzeni pochodzi od G. Lorentza.
    Operator zwarty (operator pełnociągły) – operator liniowy między przestrzeniami Banacha przeprowadzający ograniczone podzbiory dziedziny na warunkowo zwarte podzbiory przeciwdziedziny. Innymi słowy, operator zwarty to operator mający tę własność, że domknięcie obrazu zbioru ograniczonego jest zwarte. Każdy operator zwarty jest automatycznie ograniczony.
    Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu; precyzyjniej: wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.
    Norbert Wiener (ur. 26 listopada 1894 r. w Columbii - zm. 18 marca 1964 r. w Sztokholmie) — amerykański matematyk pochodzenia polsko-żydowskiego, twórca cybernetyki.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.055 sek.