• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Prosta Sorgenfreya

    Przeczytaj także...
    Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).Przestrzeń ośrodkowa to przestrzeń topologiczna, która zawiera przeliczalny podzbiór gęsty (czasem zwany ośrodkiem).
    Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.

    Prosta Sorgenfreya, prosta z topologią Sorgenfreya, prosta z topologią strzałki, strzałka Niemyckiegozbiór liczb rzeczywistych z topologią wprowadzoną przez bazę:

    Stany Zjednoczone, Stany Zjednoczone Ameryki (ang. United States, US, United States of America, USA) – federacyjne państwo w Ameryce Północnej graniczące z Kanadą od północy, Meksykiem od południa, Oceanem Spokojnym od zachodu, Oceanem Arktycznym od północnego zachodu i Oceanem Atlantyckim od wschodu.Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – jeden z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Obiektem jej badań są te własności figur geometrycznych i brył, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu tych figur (a więc np. położenie i sąsiedztwo). Własności takie nazywa się własnościami topologicznymi figury.

    Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka amerykańskiego, Roberta Sorgenfreya. Przestrzeń ta, podobnie jak płaszczyzna Niemyckiego czy zbiór Cantora, jest często wykorzystywanym kontrprzykładem w topologii ogólnej.

    Ryszard Engelking, prof. (ur. 1935 w Sosnowcu) – polski matematyk specjalizujący się w topologii, szczególnie w teorii wymiaru. Autor wielu książek i publikacji z tego zakresu, w tym Topologii ogólnej (przetłumaczonej na angielski), która jest klasyczną pozycją literatury przedmiotu. Ponadto tłumacz literatury francuskiej.Przestrzeń parazwarta – przestrzeń Hausdorffa o tej własności, że w każde jej pokrycie otwarte można wpisać pokrycie lokalnie skończone (tzn. takie, że dla każdego punktu x {displaystyle x} przestrzeni X {displaystyle X} istnieje takie otoczenie otwarte U x {displaystyle U_{x}} , że U x {displaystyle U_{x}} ma niepusty przekrój ze skończoną liczbą elementów tego pokrycia). Słowa "wpisać" w definicji nie można zastąpić słowem "wybrać". Niektórzy autorzy (na przykład Kenneth Kunen) pomijają założenie bycia przestrzenią Hausdorffa w definicji parazwartości. Pojęcie przestrzeni parazwartej zostało po raz pierwszy wprowadzone przez Jeana Dieudonné w 1944 roku.

    Własności[ | edytuj kod]

  • Topologia strzałki jest mocniejsza od naturalnej topologii (euklidesowej) na prostej. Wynika to stąd, że każdy przedział otwarty można przedstawić jako nieskończoną sumę przedziałów jednostronnie otwartych.
  • Dla dowolnych liczb rzeczywistych przedział jest zbiorem otwarto-domkniętym w topologii Sorgenfreya. Ponadto, dla dowolnego zbiory
  • są również otwarto-domknięte. Oznacza to, że prosta Sorgenfreya jest całkowicie niespójna.
  • Prosta Sorgenfreya jest przestrzenią doskonale normalną.
  • Topologia strzałki spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności i jest ośrodkowa (na przykład, zbiór liczb wymiernych jest gęsty w w topologii Sorgenfreya), ale nie spełnia ona drugiego aksjomatu przeliczalności. Wobec tego nie jest metryzowalna (ponieważ wszystkie ośrodkowe przestrzenie metryczne spełniają drugi aksjomat przeliczalności).
  • Prosta Sorgenfreya jest przestrzenią Baire’a.
  • Dowód. Podzbiór jest gęsty w w topologii Sorgenfreya wtedy i tylko wtedy, gdy jest gęsty w w zwykłej topologii euklidesowej. Niech będzie ciągiem zbiorów otwartych i gęstych w w topologii Sorgenfreya. Dla każdego niech oznacza wnętrze zbioru w sensie topologii euklidesowej. Wówczas każdy ze zbiorów jest również jest gęsty w w zwykłej topologii euklidesowej. Ponieważ z topologią euklidesową jest przestrzenią Baire’a, część wspólna wszystkich zbiorów jest niepusta. W szczególności, część wspólna wszystkich zbiorów jest niepusta, co kończy dowód. □
  • Prosta Sorgenfreya jest Lindelöfa, parazwarta, ale nie jest lokalnie zwarta ani σ-zwarta.
  • Nie istnieje spójne uzwarcenie prostej Sorgenfreya.
  • Przypisy[ | edytuj kod]

    1. Adam Emeryk, Władysław Kulpa. The Sorgenfrey line has no connected compactification. „Comm. Math. Univ. Carolinae 18”, s. 483–487, 1977. 

    Bibliografia[ | edytuj kod]

  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976.
  • Arthur Steen Lynn, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. New York: Springer-Verlag, 1978, s. 75–76.
  • Wnętrze zbioru (figury, bryły) F – pojęcie w geometrii lub topologii, zbiór tych punktów przestrzeni, które należą do zbioru F wraz z pewnym swoim otoczeniem.Przestrzenie Lindelöfa - przestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie przeliczalne. Istnieją pewne rozbieżności co do stosowania nazwy przestrzeń Lindelöfa - niektórzy autorzy (np. Engelking) wymagają dodatkowo by przestrzeń była ponadto regularna. Nazwa pojęcia została wprowadzona w 1929 roku przez Aleksandrowa i Urysohna i pochodzi od nazwiska fińskiego matematyka, Ernsta Lindelöfa, który udowodnił 1903 roku, że przestrzenie euklidesowe mają opisaną wyżej własność.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Aksjomaty przeliczalności – w topologii ogólnej własności topologiczne służące klasyfikacji przestrzeni topologicznych względem rozmiarów ich charakteru i ciężaru. W tym przypadku nazwa „aksjomat” ma charakter wyłącznie historyczny, dlatego nie powinna być rozumiana w sensie dosłownym.
    Zbiór gęsty – zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny. W przestrzeni metrycznej ( X , d ) {displaystyle (X,d)} zbiór D ⊂ X {displaystyle Dsubset X} nazywamy gęstym jeśli dla każdego x ∈ X {displaystyle xin X} i liczby ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} istnieje element q ∈ D {displaystyle qin D} taki, że d ( x , q ) < ε {displaystyle d(x,q)<varepsilon } , tzn. dowolnie blisko każdego elementu x ∈ X {displaystyle xin X} znajduje się jakiś element z D {displaystyle D} .
    Płaszczyzna Niemyckiego - przykład przestrzeni topologicznej szeroko wykorzystywany jako kontrprzykład w wielu pytaniach dotyczących topologii ogólnej. Konstrukcja płaszczyzny Niemcykiego pojawiła się w książce Topologie I Pawła Aleksandrowa i Heinza Hopfa z roku 1935. Autorzy sam pomysł przykładu przypisują Wiktorowi Niemyckiemu.
    Baza przestrzeni topologicznej – dla danej przestrzeni topologicznej X, rodzina otwartych podzbiorów przestrzeni X o tej własności, że każdy zbiór otwarty w X można przedstawić w postaci sumy pewnej podrodziny zawartej w bazie. Każda przestrzeń topologiczna ma bazę – jeżeli τ jest topologią w zbiorze X, to jest ona również (trywialnie) jej bazą. Obrazowo, baza przestrzeni topologicznej to taka rodzina zbiorów otwartych, że każdy niepusty i otwarty podzbiór tej przestrzeni można wysumować przy pomocy pewnych (być może nieskończenie wielu) elementów bazy. W praktyce matematycznej związanej z badaniem własności konkretnych przestrzeni topologicznych, istotnym zagadnieniem jest pytanie o minimalną moc bazy przestrzeni (zob. ciężar przestrzeni poniżej). Tak zdefiniowane pojęcie nosi też czasem nazwę bazy otwartej (zob. też baza domknięta poniżej). Pojęcia pokrewne pojęciu bazy przestrzeni topologicznej to, na przykład, π-baza, podbaza czy pseudobaza.
    Kontrprzykład to zdanie falsyfikujące, z którego wynika negacja pewnego zdania ogólnego. Kontrprzykład jest koniunkcją dwóch zdań elementarnych (tzn. takich, że jest to zdanie atomowe lub negacja zdania atomowego).
    Przestrzeń lokalnie zwarta – przestrzeń topologiczna, która lokalnie wygląda jak przestrzeń zwarta. Ściśle mówiąc, przestrzeń topologiczna ( X , τ ) {displaystyle (X, au )} jest lokalnie zwarta jeśli każdy punkt x ∈ X {displaystyle xin X} ma bazę otoczeń złożoną ze zbiorów warunkowo zwartych.
    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.022 sek.