• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Prosta



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Elementy (gr. Στοιχεῖα, Stoicheia) – pochodzący z IV wieku p.n.e. traktat arytmetyczny i geometryczny, obejmujący swym zakresem podstawowe zagadnienia obu tych nauk.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.

    Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

    W niektórych ujęciach, w tym w klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest tzw. pojęciem pierwotnym, niedefiniowanym formalnie w obrębie danej teorii. Można ją jednak interpretować za pomocą pojęć wykraczających poza geometrię, np. jako zbiór punktów o współrzędnych spełniających pewne równanie. Ten temat szerzej omówiony jest w artykule dotyczącym geometrii euklidesowej.

    Rzut równoległy na płaszczyznę – odwzorowanie przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej na daną płaszczyznę w ten sposób, że każdemu punktowi przestrzeni przypisany jest punkt przecięcia się prostej, równoległej do kierunku rzutowania, przechodzącej przez dany punkt, z płaszczyzną.Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).

    W matematyce rozważane są także inne geometrie, takie jak geometria powierzchni kuli. Pojęcie prostej można uogólnić także na tzw. geometrie nieeuklidesowe. Odpowiednikiem prostych są wówczas tzw. linie geodezyjne, czyli krzywe określające lokalnie najkrótsze drogi między punktami. Według najogólniejszej definicji zatem:

    Szerokość geograficzna (ang. latitude, symbol φ) – jedna ze współrzędnych geograficznych, kąt pomiędzy półprostą poprowadzoną ze środka kuli ziemskiej i przechodzącą przez dany punkt na jej powierzchni a płaszczyzną równika.Rząd macierzy (o elementach z pewnego ciała) - maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy.
    Prosta (geodezyjna) to nieposiadająca zakończeń krzywa o jednej gałęzi i zerowej krzywiźnie geodezyjnej w każdym punkcie (czyli zerowej pochodnej kowariantnej dla kierunku tej krzywej w każdym punkcie)

    W pewnym więc sensie proste w dowolnych przestrzeniach nadal są liniami niezakrzywionymi.

    Szczególna teoria względności (STW) – teoria fizyczna stworzona przez Alberta Einsteina w 1905 roku. Zmieniła ona sposób pojmowania czasu i przestrzeni opisane wcześniej w newtonowskiej mechanice klasycznej. Teoria pozwoliła usunąć trudności interpretacyjne i sprzeczności pojawiające się na styku mechaniki (zwanej obecnie klasyczną) i elektromagnetyzmu po ogłoszeniu przez Jamesa Clerka Maxwella teorii elektromagnetyzmu.Geometria eliptyczna albo sferyczna (również geometria powierzchni kuli, tj. sfery) – jeden z rodzajów geometrii nieeuklidesowej, szczególny przypadek geometrii Riemanna dla stałej i dodatniej krzywizny.

    Spis treści

  • 1 Geometria euklidesowa
  • 1.1 Definicja Euklidesa
  • 1.2 Własności
  • 1.3 Niektóre ważne proste
  • 1.4 Prosta na płaszczyźnie (afinicznej)
  • 1.4.1 Równanie ogólne
  • 1.4.2 Równanie normalne
  • 1.4.3 Równanie w postaci kierunkowej
  • 1.4.4 Równanie parametryczne
  • 1.4.5 Równanie kanoniczne
  • 1.4.6 Równanie prostej przechodzącej przez zadane punkty
  • 1.4.7 Równanie odcinkowe
  • 1.4.8 Postać biegunowa równania
  • 1.4.9 Odległość punktu od prostej
  • 1.4.10 Wzajemne położenie na płaszczyźnie
  • 1.4.11 Kąt między dwiema prostymi
  • 1.4.12 Trzy punkty na prostej
  • 1.4.13 Trzy proste przecinające się w jednym punkcie
  • 1.4.14 Pęki prostych
  • 1.5 Przestrzeń trójwymiarowa
  • 1.6 Przestrzeń wielowymiarowa
  • 1.6.1 Równanie parametryczne
  • 1.6.2 Równania ogólne
  • 1.6.3 Równania kanoniczne
  • 1.6.4 Równania prostej przechodzącej przez zadane punkty
  • 1.6.5 Kąt między prostymi w przestrzeni
  • 1.6.6 Kąt między prostą a płaszczyzną
  • 2 Geometrie nieeuklidesowe
  • 2.1 Geometria hiperboliczna (Łobaczewskiego)
  • 2.2 Geometria eliptyczna (sferyczna)
  • 2.3 Czasoprzestrzeń
  • 3 Inne przestrzenie i geometrie
  • 3.1 Przestrzeń liniowa (wektorowa)
  • 3.2 Przestrzeń metryczna
  • 3.3 Geometria rzutowa
  • 3.4 Geometria wykreślna
  • 4 Zobacz też
  • 5 Przypisy
  • 6 Bibliografia
  • 7 Linki zewnętrzne
  • Linia świata – w fizyce, zbiór punktów, z których każdy reprezentuje tzw. zdarzenie czasoprzestrzenne, określający kolejne położenia obiektu na diagramie czasoprzestrzennym Minkowskiego w wybranych składowych czasoprzestrzeni.Brzeg – pojęcie topologiczno-geometryczne oddające i formalizujące intuicję punktów „granicznych” danego zbioru, czy figury, czy też „ograniczających” je.

    Geometria euklidesowa[]

    Prosta, półprosta i odcinek. Oczywiście dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku. Wypełnione kółeczka (tzw. nulki) symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.

    Linia prosta w sensie potocznym różni się od tego, co pod tym pojęciem określa się w matematyce. Potocznie „prosta” oznacza „niezakrzywiona”. W geometrii euklidesowej „prosta” albo „linia prosta”, oprócz tego, że nie jest zakrzywiona, musi rozciągać się nieograniczenie w obydwie strony i mieć zerową „grubość”.

    Aksjomat Archimedesa - aksjomat geometrii głoszący, że każdy odcinek jest krótszy od pewnej wielokrotności długości każdego innego odcinka. Z niego wynika nieograniczoność prostej. Został on wbrew nazwie sformułowany po raz pierwszy przez Eudoksosa, a nazwany w ten sposób przez Otto Stoltza w 1883. Geometrie nie spełniające go zwane są niearchimedesowymi.Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).

    Jeśli niezakrzywiona linia o zerowej grubości rozciąga się nieograniczenie tylko w jedną stronę, a z drugiej strony ma zakończenie, to jest nazywana „półprostą”. Jeśli posiada zakończenia z obydwu stron, to nazywana jest „odcinkiem”.

    Definicja Euklidesa[]

     Zapoznaj się również z: Elementygeometria euklidesowa.

    Nazwa geometrii euklidesowej pochodzi od greckiego matematyka Euklidesa, który w III w. p.n.e. w swoim dziele Elementy po raz pierwszy zebrał i systematycznie udowodnił większość znanych podówczas twierdzeń geometrycznych.

    Euklides w Elementach podał 23 definicje różnych pojęć geometrycznych w tym punktu, linii (krzywej), prostej, kąta. Prostą definiował tak:

    Prostopadłość – cecha geometryczna dwóch prostych lub płaszczyzn (albo prostej i płaszczyzny), które tworzą przystające kąty przyległe.Półprosta - figura geometryczna składająca się z punktów prostej leżących po jednej stronie punktu prostej, który jest nazywany początkiem półprostej. Bardzo często do tak określonej półprostej dołącza się początek półprostej i mówimy o półprostej domkniętej (z początkiem). W przeciwnym wypadku mówimy o półprostej otwartej (bez początku) .
  • linia jest długością bez szerokości
  • linia jest prosta, jeśli jest położona między swoimi punktami w równym i jednostajnym kierunku
  • Definicja ta z punktu widzenia dzisiejszej matematyki pasuje raczej do odcinka niż do prostej, gdyż ta nie leży „między swoimi punktami”, lecz jest nieograniczona. Euklides odróżniał jednak proste od odcinków, pisząc o „liniach przedłużanych w nieskończoność”, np.

    Przestrzeń trójwymiarowa - potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o trzech wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Przymiotnik "trójwymiarowa" oznacza, że każdemu punktowi tej przestrzeni odpowiada trójka uporządkowana liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi. Każdej trójce liczb rzeczywistych także odpowiada punkt tej przestrzeni.Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.
    „Linie równoległe są to proste, które leżą na tej samej płaszczyźnie i przedłużone z obu stron w nieskończoność, z żadnej strony nie przetną się”.

    Było to spowodowane próbą ominięcia trudności związanych z nieskończonością aktualną (prosta jako całość jest „nieskończona”) poprzez wyrażenie jej jako nieskończoność potencjalną (możliwość nieograniczonego przedłużania odcinka).

    Figura geometryczna – w geometrii inna nazwa podzbioru danej przestrzeni, zwykle przestrzeni euklidesowej, afinicznej lub rzutowej.Kątem przecięcia się dwóch krzywych gładkich ( f(x) i g(x) ) nazywamy kąt ostry przecięcia się stycznych do danych krzywych w punkcie x0. Tangens tego kąta dla wykresów dwóch funkcji gładkich możemy obliczyć ze wzoru:
    Prosta jest częścią wspólną dowolnych dwóch nierównoległych płaszczyzn leżących w tej samej przestrzeni trójwymiarowej.

    Własności[]

  • Przez dwa nieidentyczne punkty przestrzeni przechodzi tylko jedna prosta.
  • Prosta przechodząca przez dwa różne punkty płaszczyzny zawiera się w tej płaszczyźnie.
  • Prosta na płaszczyźnie jest zbiorem punktów jednakowo oddalonych od dwóch ustalonych punktów.
  • Każdy punkt płaszczyzny lub przestrzeni należy do nieskończenie wielu prostych. Ich zbiór zwany jest pękiem prostych.
  • Każda prosta dzieli płaszczyznę, w której się zawiera, na dwa obszary (półpłaszczyzny) i jest brzegiem każdego z nich.
  • Każdy punkt na prostej dzieli ją na dwie części zwane półprostymi.
  • Najkrótsza droga pomiędzy dwoma dowolnymi punktami prowadzi po prostej.
  • Prosta jest częścią wspólną dowolnych dwóch nierównoległych płaszczyzn (zob. rysunek).
  • Promień krzywizny (dla większej liczby wymiarów – wszystkie promienie krzywizny) w każdym jej punkcie jest nieskończony.
  • Proste są jedynymi krzywymi gładkimi o zerowej krzywiźnie w każdym punkcie.
  • Każda prosta ma nieskończoną liczbę osi symetrii. Osią taką jest ona sama oraz każda prosta prostopadła do niej.
  • Niektóre ważne proste[]

  • asymptota – prosta, do której dąży dana krzywa (w szczególności wykres funkcji)
  • oś liczbowa – prosta skierowana z liczbą przyporządkowaną każdemu swojemu punktowi, używana np. jako oś współrzędnych
  • oś obrotu – prosta, wokół której obraca się dane ciało, albo względem której dokonujemy obrotu matematycznej bryły
  • oś symetrii – prosta, względem której można odbić daną figurę i otrzymać figurę identyczną
  • Prosta Eulera (czerwona) oraz symetralne (zielone), środkowe (pomarańczowe) i wysokości (niebieskie) w trójkącie
  • prosta Eulera
  • prosta potęgowa – zbiór punktów, które mają równe potęgi względem dwóch różnych okręgów
  • prosta Simsona
  • sieczna – prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach
  • styczna – potocznie i nieściśle: prosta "równoległa" do krzywej w danym punkcie i przechodząca przez ten punkt
  • normalna – prosta prostopadła do stycznej w danym punkcie krzywej
  • symetralna odcinka – prosta dzieląca odcinek na dwie równe części i prostopadła do niego
  • środkowa – prosta łącząca wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego jego boku
  • prosta Cevy – prosta przechodząca przez wierzchołek trójkąta i przeciwległy bok
  • Prosta na płaszczyźnie (afinicznej)[]

    Prosta jest jednowymiarową podprzestrzenią afiniczną płaszczyzny dwuwymiarowej (i ogólniej, każdej n-wymiarowej kartezjańskiej przestrzeni współrzędnych).

    Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.Grawitacja (ciążenie powszechne) – jedno z czterech oddziaływań podstawowych, będące zjawiskiem naturalnym polegającym na tym, że wszystkie obiekty posiadające masę oddziałują na siebie wzajemnie przyciągając się.

    Jeśli dany jest punkt i niezerowy wektor , to prostą generowaną przez wektor i przechodzącą przez punkt nazywamy zbiór punktów dla których istnieje liczba rzeczywista taka, że

    Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.Foton (gr. φως – światło, w dopełniaczu – φοτος, nazwa stworzona przez Gilberta N. Lewisa) jest cząstką elementarną, nie posiadającą ładunku elektrycznego ani momentu magnetycznego, o masie spoczynkowej równej zero (m0 = 0), liczbie spinowej s = 1 (fotony są zatem bozonami). Fotony są nośnikami oddziaływań elektromagnetycznych, a ponieważ wykazują dualizm korpuskularno-falowy, są równocześnie falą elektromagnetyczną.
    .

    Wektor nazywamy wektorem kierunkowym prostej.

    Masa spoczynkowa (in. masa niezmiennicza lub po prostu masa) - wielkość fizyczna w fizyce relatywistycznej, charakteryzująca ciało bądź układ ciał, która nie zależy od układu odniesienia. W dowolnym układzie odniesienia, masa spoczynkowa jest wyznaczona przez energie i pędy wszystkich ciał. Jest to masa ciała mierzona w układzie odniesienia, w którym to ciało spoczywa.Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.

    Najmniejszą podprzestrzenią afiniczną zawierającą dwa różne punkty jest prosta, która przez nie przechodzi. Prostą tę oznaczamy .

    Półpłaszczyzna – każda z dwóch części płaszczyzny, na jakie dzieli ją leżąca na niej prosta, wraz z tą prostą. Prosta ta jest wspólnym brzegiem wspomnianych półpłaszczyzn.Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) – jedna z geometrii nieeuklidesowych.

    Prostą można określić jako zbiór punktów spełniających pewne równanie liniowe. Równanie to można zapisać w różny sposób. Kilka typowych zapisów podano poniżej.

    Równanie ogólne[]

    W przestrzeni kartezjańskiej dwuwymiarowej, każda prosta może być zdefiniowana w następujący sposób: Dla pewnych liczb rzeczywistych , przy czym i nie są jednocześnie równe zeru, prosta to zbiór punktów, których współrzędne spełniają zależność: .

    Równanie to nazywamy równaniem ogólnym prostej. Wektor o współrzędnych jest wektorem kierunkowym prostej. Jest on do tej prostej równoległy. Wektor jest prostopadły do prostej. Jeśli , to prosta jest równoległa do osi , jeśli – do osi , jeśli , przechodzi przez początek układu współrzędnych.

    Liniowa niezależność – w algebrze liniowej własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.Felix Christian Klein (ur. 25 kwietnia 1849 w Düsseldorfie, zm. 22 czerwca 1925 w Getyndze) – niemiecki matematyk, profesor uniwersytetów Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg, Uniwersytu w Lipsku i Getyndze oraz politechniki w Monachium. Od 1913 członek Berlińskiej Akademii Nauk.

    Współczynniki i nie mogą równocześnie być równe zeru, gdyż wtedy równanie nie opisuje prostej, lecz dla całą płaszczyznę, a dla zbiór pusty (nie ma rozwiązań).

    Ortodroma (st.gr. ὀρθόs, orthos = prosty, prawidłowy; δρόμος, dromos = droga, przebieg) – najkrótsza droga pomiędzy dwoma punktami na powierzchni kuli biegnąca po jej powierzchni. Stanowi ona zawsze fragment koła wielkiego. Linię ortodromy otrzymuje się przez przecięcie kuli płaszczyzną przechodzącą przez punkty A , B {displaystyle A,B} na powierzchni tej kuli oraz przez środek kuli.Środkowa trójkąta – odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku; czasem tak nazywa się też prostą zawierającą ten odcinek. Trójkąt ma trzy różne środkowe.

    Jedna prosta może mieć wiele różnych równań ogólnych, odpowiadających różnym równoległym wektorom kierunkowym. Współczynniki tych równań spełniają wtedy zależność:

    lub, jeśli któryś z mianowników jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem.

    Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).Bryła sztywna (inaczej: ciało sztywne, ciało rozciągłe) - pojęcie używane w fizyce oznaczające ciało fizyczne, którego elementy (części, punkty materialne) nie mogą się względem siebie przemieszczać. Jest to idealizacja ciał fizycznych, obiekty w których uwzględnia się możliwe zmiany położeń ich punktów względem siebie, określa się mianem ośrodków ciągłych. Bryła sztywna w ogólnym przypadku posiada sześć stopni swobody.
    Parametry równania normalnego prostej. Na niebiesko zaznaczony znormalizowany wektor kierunkowy (długości 1)

    Równanie normalne[]

    Równanie ogólne można unormować, dzieląc współczynniki , i przez długość (normę) wektora kierunkowego i wybierając arbitralnie jeden z dwóch możliwych zwrotów tego wektora, np. tak jak poniżej:

    Cięciwa – w geometrii oznacza odcinek łączący dwa dowolne punkty na okręgu, krzywej bądź powierzchni. Najdłuższa możliwa cięciwa dla danego okręgu (lub ogólniej dla dowolnego zbioru punktów) nazywana jest średnicą.G-przestrzeń – najogólniejsza przestrzeń w której można rozważać istnienie linii geodezyjnych (czyli prostych). Wprowadzona do matematyki przez Herberta Busemanna.
    ,

    gdzie to tzw. czynnik normujący:

    Hiperboloida dwupowłokowa - powierzchnia drugiego stopnia otrzymana w następujący sposób: daną hiperbolę H obraca się dookoła prostej L przechodzącej przez ogniska tej hiperboli, uzyskując powierzchnię obrotową nazywaną hiperboloidą dwupowłokową obrotową: obraz hiperboloidy dwupowłokowej obrotowej w powinowactwie płaszczyznowym prostokątnym f względem płaszczyzny P zawierającej hiperbolę H jest hiperboloidą dwupowłokową. Każda hiperboloida dwupowłokowa jest niespójna; rozpada się na sumę dwóch zbiorów punktów powstałych przez obrót odpowiednich gałęzi hiperboli. Zbiory te nazywają się powłokami hiperboloidy dwupowłokowej.Przekształcenie rzutowe (również transformacja rzutowa) - w geometrii rzutowej jest to funkcja wzajemnie jednoznaczna przeprowadzająca przestrzeń rzutową na siebie i zachowująca współliniowość punktów.
    dla

    lub

    Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.Powierzchnia jest prostokreślna (rozwijająca), jeżeli ma parametryzację postaci x ( u , v ) = β ( u ) + v δ ( u ) {displaystyle x(u,v)=eta (u)+vdelta (u),} , gdzie β i δ są krzywymi. Znaczy to, że cała powierzchnia jest zbudowana z prostych wychodzących z krzywej β(u) w kierunku δ(u). Krzywa β(u) jest nazywana kierownicą, natomiast prosta o kierunku δ(u) to tworząca.
    dla .

    Dla można przyjąć dowolny znak.

    Tor ruchu (trajektoria) – w kinematyce krzywa zakreślana w przestrzeni przez poruszające się ciało. Jeżeli wypadkowa siła działająca na ciało wynosi 0, wówczas z I zasady dynamiki Newtona wynika, że ciało porusza się po torze prostoliniowym. Jeżeli na poruszające się ciało działa niezrównoważona siła, której kierunek nie jest styczny do toru ruchu, wówczas tor ruchu jest krzywoliniowy.Wykres funkcji – potocznie graficzne przedstawienie funkcji. Ogólniej, w matematyce wykresem funkcji f : X → Y {displaystyle f:X o Y} , gdzie X {displaystyle X} i Y {displaystyle Y} są dowolnymi zbiorami, nazywamy podzbiór S ⊂ X × Y {displaystyle Ssubset X imes Y} dany wzorem:

    Otrzymujemy w ten sposób tzw. równanie normalne, czyli równanie prostej położonej pod kątem do osi i odległej o od środka układu współrzędnych:

    Zasada dualności w geometrii rzutowej mówi, że dowolne prawdziwe twierdzenie na płaszczyźnie rzutowej jest równoważne twierdzeniu które otrzymamy, jeśli zamienimy w nim pojęcia "prosta" na "punkt" i odwrotnie (i odpowiednio "przechodzi przez" na "leży na"). Na przykład, gdy mamy twierdzenie mówiące o współliniowości kilku punktów, istnieje dualne do niego twierdzenie o współpękowości odpowiednich kilku prostych.Czasoprzestrzeń Minkowskiego – przestrzeń liniowa w fizyce i matematyce, która łącząc czas z przestrzenią trówymiarową umożliwia formalny zapis równań szczególnej teorii względności Einsteina. Nazwę zawdzięcza niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który opisał ją w 1907.
    ,

    przy czym .

    Odcięta (łac. abscissa) – pierwsza współrzędna w kartezjańskim układzie współrzędnych (zwanym też prostokątnym układem współrzędnych). Oznaczana jest przeważnie symbolem x, a jej oś symbolem OX.Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

    Równanie normalne jednoznacznie identyfikuje prostą nie przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Dla prostej przechodzącej przez początek układu wciąż możliwe są dwa różne równania normalne różniące się znakiem i ( jest wtedy zerem). Ponadto dla równania normalnego upraszczają się podane dalej wzory dotyczące kąta między dwiema prostymi.

    Klaudiusz Ptolemeusz, Ptolemeusz Klaudiusz lub po prostu Ptolemeusz (łac. Claudius Ptolemaeus, stgr. Κλαύδιος Πτολεμαῖος Klaudios Ptolemaios; ur. ok. 100, zm. ok. 168) – astronom, matematyk i geograf greckiego pochodzenia. Urodzony w Tebaidzie, kształcił się i działał w Aleksandrii należącej wówczas do Imperium rzymskiego około II wieku n.e.Menelaos z Aleksandrii (stgr. Μενέλαος ὁ Αλεξανδρεύς Menelaos Aleksandreus; ur. ok. 70, zm. ok. 140) – grecki astronom i matematyk. Autor antycznego traktatu z dziedziny geometrii sferycznej.
    Trzy równania w postaci kierunkowej i odpowiadające im proste. Proste czerwona i niebieska mają ten sam współczynnik kierunkowy, a proste czerwona i zielona ten sam wyraz wolny

    Równanie w postaci kierunkowej[]

    Jeśli prosta nie jest równoległa do osi rzędnych (Oy), równanie prostej można zapisać w tzw. postaci kierunkowej:

    Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność).Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.
    ,

    gdzie i to liczby rzeczywiste.

  • , tzw. współczynnik kierunkowy, jest równy tangensowi kąta między prostą a osią odciętych (OX) nazywanego kątem nachylenia prostej. Czasem ten współczynnik jest oznaczany literą . Dwie proste o tym samym współczynniku kierunkowym są równoległe. Czerwona i niebieska prosta na wykresie mają ten sam współczynnik kierunkowy.
  • , tzw. wyraz wolny, jest rzędną punktu, w którym prosta przecina oś rzędnych. Proste czerwona i zielona na wykresie mają ten sam wyraz wolny.
  • Równanie parametryczne[]

    Prosta o (niezerowym) wektorze kierunkowym , przechodząca przez punkt to zbiór punktów , takich że

    Rzędna (łac. ordinata) - druga współrzędna w kartezjańskim układzie współrzędnych (zwanym też prostokątnym układem współrzędnych). Oznaczana jest przeważnie symbolem y, a jej oś symbolem OY.Architektura (gr. αρχιτεκτονική architektonike) – nauka i sztuka projektowania, konstruowania i wykonywania budynków oraz innych budowli przestrzennych.
    dla dowolnych .

    Innymi słowy:

    Rzut prostokątny – odwzorowanie przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej na daną płaszczyznę w ten sposób, że każdemu punktowi przestrzeni przypisany jest punkt przecięcia się prostej prostopadłej do płaszczyzny, która przechodzi przez dany punkt, z płaszczyzną. Rzut prostokątny jest szczególnym przypadkiem rzutu równoległego.Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:
    .

    W nowoczesnej geometrii analitycznej oznacza się to:

    Normalna do krzywej C w punkcie X to prosta L, przechodząca przez ten punkt i prostopadła do stycznej do krzywej w tym punkcie.Prosta Cevy (czewiana) - prosta przechodząca przez wierzchołek trójkąta i przecinająca przeciwległą do tego wierzchołka prostą zawierającą bok trójkąta.
    .

    Rozpisując poszczególne składowe możemy to samo równanie przedstawić za pomocą układu równań postaci:

    Ewolwenta (łac. evolvens, rozwijający) a. rozwijająca krzywej Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): k – krzywa wykreślona przez punkt leżący na prostej toczącej się po krzywej Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): k . Krzywa A {displaystyle A} jest dla swojej ewolwenty ewolutą.Wskaźniki Millera – w krystalografii notacja wykorzystywana do opisu kierunków i płaszczyzn krystalograficznych. Rodzina płaszczyzn lub prostych jest określona przez trzy liczby całkowite nazywane wskaźnikami Millera.
    Ilustracja równania parametrycznego i równania prostej przechodzącej przez zadane punkty

    Przy tym i są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast i są także liczbami rzeczywistymi, które jednak nie mogą być jednocześnie równe zeru. Wówczas bowiem układ równań opisywałby tylko pojedynczy punkt , a nie całą prostą.

    Twierdzenie o trzech prostopadłych – twierdzenie stereometrii: Jeżeli prosta b jest rzutem prostokątnym prostej a na daną płaszczyznę, to prosta c leżąca w tej płaszczyźnie jest prostopadła do prostej a wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do b.Oś współrzędnych - oś liczbowa wykorzystywana do budowy układu współrzędnych, pozwalająca na jednoznaczne określenie położenia punktu przez określenie jego współrzędnych.

    Równanie kanoniczne[]

    Pod założeniami z poprzedniego ustępu, prostą można opisać równaniem: .

    W przypadku, gdy lub jest zerem, przydatne może być zapisanie równania w postaci:

    Przekształcenie afiniczne, powinowactwo lub pokrewieństwo – przekształcenie geometryczne przestrzeni euklidesowych odwzorowujące odcinki na odcinki. Są one homomorfizmami przestrzeni afinicznych, będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych, czyli spełniają one analogiczną rolę, co przekształcenia liniowe względem przestrzeni liniowych (również będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych).Ogólna teoria względności (OTW) – popularna nazwa teorii grawitacji formułowanej przez Alberta Einsteina w latach 1907–1915, a opublikowanej w roku 1916.
    .

    Równanie prostej przechodzącej przez zadane punkty[]

    Gdy dane są dwa różne punkty i , to równanie prostej przez nie przechodzącej jest postaci:

    Linia geodezyjna, czasem nazywana krótko: geodezyjna – krzywa w przestrzeni metrycznej (ściślej: w G-przestrzeni), zawierająca najkrótszą drogę pomiędzy dowolnymi dostatecznie bliskimi swoimi punktami, nie dająca się już wydłużyć z żadnej strony. Formalnie definiuje się je jako krzywe o zerowej krzywiznie geodezyjnej. Dla przestrzeni euklidesowej geodezyjne są zwykłymi prostymi.Sir Isaac Newton (ur. 25 grudnia 1642/4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 20 marca 1726/31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.

    lub w wersji parametrycznej:

    Postulat Euklidesa, postulat równoległości, piąty aksjomat Euklidesa – jeden z aksjomatów geometrii euklidesowej. Ma on postać:Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.

    gdzie przebiega wszystkie liczby rzeczywiste.

    Skalar – w algebrze (liniowej) element ustalonego ciała nad którym zbudowany jest dowolny moduł (przestrzeń liniowa).Geometria nieeuklidesowa – geometria, która nie spełnia co najmniej jednego z aksjomatów geometrii euklidesowej. Może ona spełniać tylko część z nich, przy czym mogą również obowiązywać w niej inne, sprzeczne z aksjomatami i twierdzeniami geometrii Euklidesa.

    To samo równanie można przedstawić w postaci wyznacznika:

    Parametry równania odcinkowego prostej

    Równanie odcinkowe[]

    Równanie prostej, przecinającej oś w punkcie , gdzie i oś w punkcie , gdzie :

    Andrzej Białynicki-Birula (ur. 26 grudnia 1935 w Nowogródku) – polski matematyk specjalizujący się w geometrii algebraicznej, jeden z pionierów algebry różniczkowej, profesor zwyczajny, członek rzeczywisty PAN, autor podręczników uniwersyteckich do algebry. Jego wczesne wyniki dotyczyły obszaru na granicy logiki i algebry. Współpracował wówczas z Heleną Rasiową. Opublikował też pracę naukową dotyczącą topologii algebraicznej.Symetria osiowa (symetria względem osi) - odwzorowanie geometryczne płaszczyzny lub przestrzeni, które dla ustalonej osi tj. prostej l każdemu punktowi P swojej dziedziny przyporządkowuje punkt Q taki, że punkty P i Q wyznaczają prostą przecinającą prostopadle oś l i leżą w równej odległości od osi l po jej przeciwnych stronach.
    .

    Postać biegunowa równania[]

    Prostą można też wyrazić w biegunowym układzie współrzędnych . Równanie prostej nie przechodzącej przez biegun przyjmuje wówczas postać

    Euklides z Aleksandrii (gr. Εὐκλείδης, Eukleides, ur. ok. 365 r. p.n.e., zm. ok. 300 r. p.n.e.) – matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii.Geometria rzutowa to dział matematyki zajmujący się badaniem własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach rzutowych. Do najważniejszych pojęć geometrii rzutowej należą: prosta, płaszczyzna oraz dwustosunek czwórki punktów. Twórcą geometrii rzutowej był francuski matematyk Jean-Victor Poncelet, który jej podstawy podał w 1822.
    ,

    gdzie:

    Pojęcie pierwotne – obiekt w teorii sformalizowanej, o którym mówi ona w swych aksjomatach, konstruując wypowiedzi (twierdzenia) zgodnie z przyjętymi w tej teorii regułami wnioskowania. Pojęcia pierwotnego nie definiuje się językiem teorii, tylko podaje się definicję znaczeniową; przez podanie informacji (lub wymagań) o relacjach, w których występuje.Wektor (z łac. [now.], „niosący; ten, który niesie; nośnik”, od vehere, „nieść”; via, „droga”) – istotny w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce obiekt mający moduł (zwany też – zdaniem niektórych niepoprawnie - długością lub wartością), kierunek wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku).
  • jest odległością prostej od bieguna,
  • to kąt między osią biegunową i półprostą poprowadzoną z bieguna prostopadle do danej prostej,
  • jest współrzędną punktu prostej – odległością od bieguna,
  • jest współrzędną punktu prostej – kątem między osią biegunową i półprostą poprowadzoną z bieguna do danego punktu.
  • Jeśli prosta przechodzi przez biegun, to jej równanie ma postać , gdzie:

    Przestrzeń dwuwymiarowa – potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o dwóch wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Jest to przestrzeń opisująca np. relacje między punktami na płaszczyźnie.Kąt (płaski) w geometrii euklidesowej – każda z dwóch części (tj. podzbiorów) płaszczyzny zawartych między dwiema półprostymi (wraz z nimi), nazwanymi ramionami, o wspólnym początku, zwanym wierzchołkiem. Czyli jest to część wspólna dwóch półpłaszczyzn wyznaczonych przez dwie nierównoległe proste, wraz z ich brzegami nazywanymi ramionami; ich punkt przecięcia to wierzchołek).
  • to kąt między osią biegunową a prostą,
  • jest dowolną liczbą całkowitą,
  • – odległość od bieguna – może być wówczas dowolna.
  • Odległość punktu od prostej[]

     Osobny artykuł: Odległość punktu od prostej.

    Odległość punktu od prostej danej równaniem ogólnym:

    Konstrukcje klasyczne, konstrukcje przy użyciu cyrkla i linijki – wspólna nazwa problemów polegających na wyznaczeniu odcinków lub kątów spełniających dane warunki jedynie przy pomocy cyrkla i linijki bez podziałki.Hiperpłaszczyzna (dawn. zbiór liniowy) w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej to zbiór rozwiązań równania postaci:
    .

    Odległość punktu od prostej danej równaniem normalnym:

    Prosta Eulera – dla trójkąta niebędącego trójkątem równobocznym, jest to prosta, która przechodzi przez ortocentrum tego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe) oraz środek okręgu dziewięciu punktów.Zbiór – pojęcie pierwotne teorii zbiorów (znanej szerzej jako teoria mnogości; za jej twórcę uważa się Georga Cantora) leżące u podstaw całej matematyki; intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.
    .

    Wyrażenie ma wartość dodatnią, gdy punkt oraz początek układu współrzędnych leżą po przeciwnych stronach danej prostej, ujemną – jeśli leżą po tej samej stronie, i zero, jeśli leży na prostej.

    Wektor wodzący – dla danego punktu A to wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych i o końcu w punkcie A, czyli np. w układzie kartezjańskim:Potęga punktu A {displaystyle A} względem okręgu o {displaystyle o} (o środku w punkcie O {displaystyle O} i promieniu r {displaystyle r} ) wyraża się wzorem: P ( A , o ) = | A O | 2 − r 2 {displaystyle P(A,o)=|AO|^{2}-r^{2}} .

    Wzajemne położenie na płaszczyźnie[]

    Dla prostych danych równaniami

    niech:

    Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski (ros. Николай Иванович Лобачевский) (ur. 1 grudnia 1792 w Niżnym Nowogrodzie, zm. 24 lutego 1856 w Kazaniu) – rosyjski matematyk.Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.
    , , .

    Jeśli , wówczas proste przecinają się w punkcie

    Bryła geometryczna – zbiór punktów przestrzeni trójwymiarowej homeomorficzny z pewnym wielościanem. W innym ogólniejszym ujęciu jest to trójwymiarowa figura geometryczna.Koło wielkie – największe koło, jakie można wpisać w kulę. Jego średnica jest równa średnicy kuli, a samo koło dzieli ją na dwie symetryczne połowy zwane półkulami.
    .

    Jeśli , ale to zachodzi także i proste są równoległe.

    Przestrzeń afiniczna (rozmaitość liniowa) – w matematyce, abstrakcyjna struktura formalizująca i uogólniająca geometryczno-afiniczne własności przestrzeni euklidesowych; intuicyjnie: przestrzeń liniowa, w której „zapomniano” jej początek. W przestrzeniach afinicznych można odejmować punkty, by wyznaczyć wektory oraz przesuwać punkt o wektor, tzn. dodawać wektory do punktu. W szczególności, nie ma wyróżnionego punktu, który mógłby służyć za początek. Jednowymiarowa przestrzeń afiniczna nazywana jest prostą afiniczną, a dwuwymiarowa – płaszczyzną afiniczną.Oś obrotu – prosta w przestrzeni określająca kierunek obrotu danego ciała. Wyznacza ona układ odniesienia, względem którego wyznacza się moment bezwładności ciała. Prędkość kątowa jest zawsze równoległa do osi obrotu.

    Jeśli , to również i proste pokrywają się (równania opisują ten sam zbiór punktów); współczynniki prostych spełniają wówczas zależność:

    Odległość punktu (P) od prostej (k) jest to najmniejsza spośród odległości pomiędzy punktem P i punktami prostej k. Odległością tą jest długość odcinka prostej prostopadłej do k, którego końcami są punkt P i przecięcie z prostą k.Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.

    lub, jeśli któryś z mianowników tego równania jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem.

    Sieczna – prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach. Zwyczajowo sieczną oznacza się literą s, krzywą – K, natomiast punkty przecięcia – P i Q.W logice matematycznej teorią nazywamy niesprzeczny zbiór zdań. Dokładniej, niech T będzie zbiorem zdań zapisanych w pewnym języku L. Wtedy T jest teorią, jeśli nie istnieje zdanie napisane w języku L takie że T dowodzi zarówno tego zdania, jak i jego zaprzeczenia. Zbiór zdań T dowodzi zdania X, jeśli można przeprowadzić formalny dowód zdania X przy użyciu zdań ze zbioru T oraz aksjomatów i reguł dowodzenia klasycznego rachunku logicznego.

    Kąt między dwiema prostymi[]

    Kąt pomiędzy dwiema prostymi jest wyznaczony przez półproste, których początek znajduje się w punkcie przecięcia prostych.

    Kąt między prostymi na płaszczyźnie, zadanymi równaniami

    daje się wyznaczyć ze wzorów

    Ziemia (łac. Terra) − trzecia, licząc od Słońca, a piąta co do wielkości planeta Układu Słonecznego. Pod względem średnicy, masy i gęstości jest to największa planeta skalista Układu Słonecznego.Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – niepusty podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni.

    Wzory te upraszczają się, jeśli równania prostych są unormowane.

    Nulka – znak graficzny przypominający okrąg (często dla większej czytelności pogrubiony) umieszczany na wykresach funkcji. Najczęściej służy do zaznaczania punktów nie należących do wykresu funkcji, początku półprostej, punktów nieciągłości oraz otwartych końców przedziałów; rzadziej innych punktów osobliwych funkcji.Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

    Można też użyć wzorów dla dwóch szczególnych przypadków:

  • jeśli , to proste są równoległe,
  • jeśli , to są prostopadłe.
  • Zobacz też uogólnienia: kąt między dwiema krzywymi, kąt między prostymi w przestrzeni.

    Zbiór pusty - zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. W teorii mnogości ZF, będącej najpopularniejszą aksjomatyką współczesnej matematyki, istnienie zbioru pustego postuluje aksjomat zbioru pustego, natomiast aksjomat ekstensjonalności gwarantuje jego jedyność. Zbiór pusty oznaczany jest zwykle symbolami ∅ {displaystyle varnothing } , ∅ {displaystyle emptyset } , ∅ bądź {}.Odcinek – w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.

    Trzy punkty na prostej[]

    Trzy punkty leżą na jednej prostej (są współliniowe) wtedy i tylko wtedy, gdy

    Wydawnictwo Naukowe PWN SA – wydawnictwo z siedzibą w Warszawie, założone w 1951, w obecnej formie prawnej działające od 1997. Wydawnictwo Naukowe PWN SA stanowi jednostkę dominującą Grupy kapitałowej PWN, w skład której wchodzi kilkanaście przedsiębiorstw, głównie wydawnictw.Asymptota krzywej (z gr. ἀσύμπτοτη - zbliżać się, zbiegać) – prosta l {displaystyle l} jest asymptotą danej krzywej C {displaystyle C} (w szczególności wykresu funkcji), jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej C {displaystyle C} odległość tego punktu od prostej l {displaystyle l} dąży do zera.

    Inny warunek konieczny i wystarczający współliniowości:

    Tachion (z greckiego ταχύς tachýs – szybki, prędki) jest hipotetyczną cząstką elementarną, która porusza się z prędkością większą niż prędkość światła (zob. prędkość nadświetlna). Tachiony są często opisywane przez autorów fantastyki naukowej (występują między innymi w serii Star Trek). Nie ma jednak żadnego dowodu na istnienie tych cząstek.Twierdzenie Simsona – twierdzenie klasycznej geometrii euklidesowej sformułowane przez brytyjskiego matematyka Roberta Simsona w XVIII wieku.

    (lub, jeśli któryś z mianowników tego równania jest zerem, odpowiadający mu licznik także jest zerem).

    Układ równań liniowych – koniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej) równań liniowych, czyli równań pierwszego rzędu.Hermann Minkowski (ur. 22 czerwca 1864 w Aleksocie (obecnie Kowno), zm. 12 stycznia 1909 w Getyndze) – niemiecki matematyk i fizyk pochodzenia polskiego i żydowskiego, profesor uniwersytetów w Bonn (od 1893), Królewcu (od 1894), Zurychu (od 1896) i Getyndze (od 1902). Wprowadził idee geometryczne do fizyki matematycznej, teorii względności i teorii liczb.

    Trzy proste przecinające się w jednym punkcie[]

    Jeśli proste o równaniach odpowiednio:

    przecinają się w punkcie , to prosta o równaniu

    Koło – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu na tej płaszczyźnie (środka koła) nie przekracza pewnej wartości (promienia koła).Zwrot wektora – jedna z podstawowych własności charakteryzujących wektor, obok jego kierunku, długości i (dla wektora zaczepionego) punktu zaczepienia.

    także przecina się z nimi w tym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy:

    Pęki prostych[]

    Zbiór wszystkich prostych przechodzących przez dany (ustalony) punkt nazywamy pękiem prostych, a dany punkt środkiem pęku. Środek pęku może być zadany wprost lub jako punkt przecięcia dwóch prostych. Równanie pęku prostych o środku wyznaczonym przez nierównoległe proste zapisujemy w postaci: , gdzie spełniają warunek .

    Każda prosta przechodząca przez środek pęku (będąca współpękowa z wszystkimi prostymi przechodzącymi przez ten punkt) da się przedstawić powyższym równaniem i, na odwrót, każde równanie powyższej postaci przedstawia pewną prostą należącą do pęku.

    Zbiór prostych równoległych na płaszczyźnie (o wspólnym wektorze kierunkowym) nazywamy kierunkiem albo niewłaściwym pękiem prostych.

    Przestrzeń trójwymiarowa[]

    Równania określające prostą w przestrzeni trójwymiarowej łatwo otrzymać z podanych poniżej równań dla przestrzeni wielowymiarowej. Należy tylko, zgodnie z tradycją, zamiast napisać odpowiednio i przyjąć liczbę wymiarów .

    Przestrzeń wielowymiarowa[]

    Dwie proste na płaszczyźnie mogą być albo równoległe (szczególnym przypadkiem są proste identyczne), albo przecinać się (czyli mieć jeden punkt wspólny). Dwie proste w przestrzeni trójwymiarowej (oraz dla większej liczby wymiarów) oprócz tego mogą być skośne, czyli nie przecinać się, ale nie być też równoległe.

    Każde równanie w układzie równań liniowych z niewiadomymi będącymi liczbami rzeczywistymi zmniejsza o jeden maksymalną liczbę wymiarów zbioru rozwiązań układu. Aby więc opisać twór jednowymiarowy (prostą) w przestrzeni o wymiarach, trzeba użyć układu równań liniowych. Czasem można ten układ łatwo zapisać jako jedno równanie wektorowe.

    We wszystkich poniższych wzorach indeksy dolne oznaczają kolejne współrzędne przestrzeni wielowymiarowej, a punkty definiowanej prostej mają współrzędne postaci ; to liczba wymiarów przestrzeni.

    Równanie parametryczne[]

    W przestrzeni kartezjańskiej n-wymiarowej najwygodniej określać prostą za pomocą równania parametrycznego.

    W tym ujęciu prosta o (niezerowym) wektorze kierunkowym , przechodząca przez punkt to zbiór punktów takich, że , dla dowolnych .

    Podobnie jak w poprzednich przypadkach, oznacza się to .

    Rozpisując poszczególne składowe możemy to samo równanie przedstawić za pomocą układu równań postaci:

    Przy tym są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast są również liczbami rzeczywistymi, z których chociaż jedna musi być różna od zera. Inaczej bowiem prosta zdegenerowałaby się do punktu.

    Równań w tym układzie jest , a nie , jak w pozostałych podejściach, gdyż wprowadzono kolejną zmienną , a więc konieczne jest n-te równanie, aby otrzymać prostą a nie płaszczyznę.

    Równania ogólne[]

    Prosta w n-wymiarowej przestrzeni o współrzędnych może być opisana jako część wspólna hiperpłaszczyzn (dla przestrzeni trójwymiarowej po prostu dwóch płaszczyzn). Sprowadza się to do układu równań: ,

    co w postaci macierzowej można zapisać jako

    Układ ten opisuje prostą wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy

    Równania kanoniczne[]

    Prostą przechodzącą przez punkt i równoległą do wektora kierunkowego określają równania:

    W przypadku to równanie można zapisać w postaci wektorowej:

    gdzie wektor wodzący i analogicznie symbolem oznaczono iloczyn wektorowy.

    Można też te równania interpretować jako określające prostą przechodzącą przez punkt P i prostopadłej do hiperpłaszczyzny danej równaniem

    Równania prostej przechodzącej przez zadane punkty[]

    Gdy dane są dwa punkty i , to równania prostej przechodzącej przez te punkty są postaci:

    Kąt między prostymi w przestrzeni[]

    Kąt między dwiema przecinającymi się prostymi, danymi za pomocą równań w postaci parametrycznej

    oraz

    wyraża wzór:

    Symbol oznacza normę (długość wektora), oznacza iloczyn skalarny wektorów i .

    Jeśli proste nie przecinają się, wzór pokazuje kąt między prostymi po ich przesunięciu bez zmiany kierunków tak, aby się przecinały.

    Jeśli proste przedstawimy w postaci parametrycznej: , , to miara kąta między tymi prostymi wyraża się wzorem

    Kąt między prostą a płaszczyzną[]



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama