• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Proces Wienera



    Podstrony: [1] [2] 3
    Przeczytaj także...
    Proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (liczba rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego, którego wartości są zdarzeniami losowymi, z funkcją, która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).Zbiór A {displaystyle A} przestrzeni ( X , τ ) {displaystyle (X, au )} nazywa się zbiorem nigdziegęstym wtedy i tylko wtedy, gdy wnętrze domknięcia tego zbioru jest puste:
    Konstrukcja procesu Wienera[]

    Nie jest rzeczą oczywistą, że istnieje proces spełniający warunki podane w definicji. Istnieje kilka dowodów tego faktu. Przedstawiony poniżej szkic dowodu najbardziej odpowiada intuicyjnemu rozumieniu procesu jako modelu ruchu Browna. Niech dana będzie cząstka poruszającą się w jednym wymiarze. W każdej jednostce czasu cząstka przemieszcza się o jednostkę odległości albo w lewo albo w prawo z prawdopodobieństwem 1/2. Kierunek poruszania nie zależy od poprzedniego przebiegu ruchu. Odpowiada to sytuacji patrzenia na cząsteczkę w wielkim zbliżeniu i przy zwolnionym czasie. Zmniejszając odpowiednio jednostkę odległości i przyspieszając czas uzyskujemy obraz cząstki wykonującej ruch chaotyczny. Innymi słowy proces Wienera jest "procesem granicznym" dla błądzenia losowego, przy zmniejszaniu skali czasowej i przestrzennej. W sposób ścisły powyższe rozumowanie ujmuje twierdzenie Donskera.

    Zbiór gęsty – zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny. W przestrzeni metrycznej ( X , d ) {displaystyle (X,d)} zbiór D ⊂ X {displaystyle Dsubset X} nazywamy gęstym jeśli dla każdego x ∈ X {displaystyle xin X} i liczby ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} istnieje element q ∈ D {displaystyle qin D} taki, że d ( x , q ) < ε {displaystyle d(x,q)<varepsilon } , tzn. dowolnie blisko każdego elementu x ∈ X {displaystyle xin X} znajduje się jakiś element z D {displaystyle D} .Ruchy Browna − chaotyczne ruchy cząstek w płynie (cieczy lub gazie), wywołane zderzeniami zawiesiny z cząsteczkami płynu.

    Proces wielowymiarowy[]

    Standardowy proces Wienera opisany powyżej opisuje błądzenie cząstki, której ruch ograniczony jest do prostej. Proces n-wymiarowy definiuje się jako proces ,

    gdzie to niezależne od siebie jednowymiarowe procesy Wienera. W przypadku jednowymiarowym prawie każda trajektoria przechodzi przez każdy punkt prostej. Dla procesu dwuwymiarowego prawie każda trajektoria jest gęsta na płaszczyźnie, natomiast dla procesów w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów, każda trajektoria jest zbiorem nigdziegęstym.

    Błądzenie losowe to pojęcie z zakresu matematyki i fizyki określające sformalizowane przedstawienie procesu, polegającego na podejmowaniu kolejnych kroków, każdy w losowo wybranym kierunku. Błądzenie losowe jest przykładem prostego procesu stochastycznego.Norbert Wiener (ur. 26 listopada 1894 r. w Columbii - zm. 18 marca 1964 r. w Sztokholmie) — amerykański matematyk pochodzenia polsko-żydowskiego, twórca cybernetyki.


    Podstrony: [1] [2] 3



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Własność Markowa w rachunku prawdopodobieństwa to własność procesów stochastycznych polegająca na tym, że warunkowe rozkłady prawdopodobieństwa przyszłych stanów procesu są zdeterminowane wyłącznie przez jego bieżący stan, bez względu na przeszłość. Ściślej: przyszłe stany procesu są warunkowo niezależne od stanów przeszłych.
    W teorii prawdopodobieństwa mówimy, że zdarzenie zachodzi prawie na pewno (p.n.) jeśli zachodzi ono z prawdopodobieństwem 1. Sformułowanie to pojawia się w naturalny sposób np. przy badaniu zagadnień granicznych (zob. np. prawo wielkich liczb).
    Wahaniem funkcji f : [ a , b ] → R {displaystyle f:[a,b] o mathbb {R} } na przedziale [ a , b ] {displaystyle [a,b]} nazywamy wielkość

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.024 sek.