• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Proces Wienera



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Opcja europejska to opcja która może zostać zrealizowana tylko w jednym, z góry określonym terminie (tj. w terminie wygaśnięcia opcji - maturity).Model Blacka-Scholesa – matematyczny model rynku opisujący dynamikę cen instrumentów finansowych w czasie, służący do wyceny instrumentów pochodnych. Wyceniając opcje europejskie na rynku Blacka-Scholesa, otrzymuje się wzór Blacka-Scholesa. Praca zawierająca ten wzór została opublikowana przez Fishera Blacka i Myrona Scholesa w 1973 roku. Aksjomaty procesu cen, na których opiera się model zostały zaproponowane już w 1965 r. przez Paula Samuelsona. Udział w tworzeniu modelu miał również Robert C. Merton, dlatego model ten bywa też nazywany modelem Blacka-Scholesa-Mertona.
    Pojedyncza trajektoria (jednowymiarowego) procesu Wienera

    Proces Wienera (ruch Browna) – proces stochastyczny z czasem ciągłym nazwany dla uhonorowania osiągnięć Norberta Wienera. Jest też często nazywanym ruchem Browna, gdyż jest modelem matematycznym procesu fizycznego o tej nazwie, który po raz pierwszy zaobserwował botanik Robert Brown. Proces Wienera jest najbardziej znanym przykładem procesu gaussowskiego, a ponadto jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego procesu Lévy’ego. Proces Wienera nierzadko opisuje zjawiska występuące w ekonomii, finansach czy fizyce.

    Rafał Latała (ur. 24 listopada 1971 w Warszawie) – polski matematyk, profesor nauk matematycznych. Specjalizuje się w rachunku prawdopodobieństwa. Profesor nadzwyczajny w Instytucie Matematyki Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego.σ-ciało zbiorów cylindrycznych – w matematyce, a szczególnie w teorii miary i analizie funkcjonalnej, σ-ciało wykorzystywane często podczas studiów nad miarami probabilistycznymi i zmiennymi losowymi na przestrzeniach Banacha.

    W matematyce, badania nad procesem Wienera zapoczątkowały rozwój teorii martyngałów z czasem ciągłym. Proces odgrywa kluczową rolę w badaniach bardziej skomplikowanych procesów, na przykład, procesów będących rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych jak procesy dyfuzji. W matematyce stosowanej, procesu Wienera używa się, m.in., do wyznaczenia całki stochastycznej z tzw. białego szumu oraz używa się go do modelowania innych szumów (zob. szum czerwony).

    Proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (liczba rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego, którego wartości są zdarzeniami losowymi, z funkcją, która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).Zbiór A {displaystyle A} przestrzeni ( X , τ ) {displaystyle (X, au )} nazywa się zbiorem nigdziegęstym wtedy i tylko wtedy, gdy wnętrze domknięcia tego zbioru jest puste:

    W fizyce, proces Wienera używa się do modelowania ruchów cząsteczek w zawiesistej cieczy oraz różnorakich procesów dyfuzycjnych (zob. równanie Fokkera-Plancka oraz równanie Langevina). Rozwiążanie równania Schrödingera wyraża się poprzez proces Wienera (zob. wzór Feynmana-Kaca). W finansach, procesu Wienera używa się do wyznaczenia modelu Blacka-Scholesa wyceny opcji europejskich.

    Prawo iterowanego logarytmu to zespół twierdzeń z rachunku prawdopodobieństwa opisujących rozmiar fluktuacji w błądzeniu przypadkowym.Zbiór gęsty – zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny. W przestrzeni metrycznej ( X , d ) {displaystyle (X,d)} zbiór D ⊂ X {displaystyle Dsubset X} nazywamy gęstym jeśli dla każdego x ∈ X {displaystyle xin X} i liczby ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} istnieje element q ∈ D {displaystyle qin D} taki, że d ( x , q ) < ε {displaystyle d(x,q)<varepsilon } , tzn. dowolnie blisko każdego elementu x ∈ X {displaystyle xin X} znajduje się jakiś element z D {displaystyle D} .

    Definicja[ | edytuj kod]

    Proces stochastyczny na przestrzeni probabilistycznej nazywa się (standardowym) procesem Wienera, gdy spełnia następujące warunki:

    Ruchy Browna − chaotyczne ruchy cząstek w płynie (cieczy lub gazie), wywołane zderzeniami zawiesiny z cząsteczkami płynu.Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.
    1. prawie na pewno,
    2. proces ten ma przyrosty niezależne, tj. dla wszelkich zmienne losowe
    są niezależne, 3. dla wszelkich 4. trajektorie procesu są ciągłe prawie na pewno, tzn. istnieje taki zbiór że oraz dla wszelkich funkcja jest ciągła.

    Niektórzy autorzy zakładają, że oraz że wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe.

    Równanie Langevina - stochastyczne równanie różniczkowe bazujące na równaniu Newtona. Zaproponowane zostało po raz pierwszy w 1906 roku przez Paula Langevina do opisu ruchów Browna.Szum czerwony, szum Browna (ang. red noise, Brown noise, Brownian noise) – rodzaj szumu wytwarzanego podczas ruchów Browna; energia takiego szumu skupiona jest w zakresie niskich częstotliwości w stopniu jeszcze większym, niż ma to miejsce w szumie różowym. Widmo takiego szumu opada w miarę wzrostu częstotliwości odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu tej częstotliwości, tzn. jego widmowa gęstość mocy proporcjonalna jest do /f, czyli opada 6 dB na oktawę (20 dB na dekadę). Szum czerwony może być wygenerowany przez scałkowanie szumu białego.

    Charakteryzacje[ | edytuj kod]

    Proces Wienera jest procesem gaussowskim, tj. dla wszelkich wektor losowy

    Uniwersytet Warszawski – polska uczelnia państwowa, założona 19 listopada 1816 roku w Warszawie. Najlepszy uniwersytet w Polsce według The Times Higher Education Supplement (QS World University Rankings). W rankingu szanghajskim (ARWU) z 2012 roku uczelnia została sklasyfikowana na miejscach 301-400. Według ogólnoświatowego rankingu szkół wyższych Webometrics Ranking of World Universities ze stycznia 2013, opracowanego przez hiszpański instytut Consejo Superior de Investigaciones Científicas uczelnia zajmuje 1. miejsce w Polsce wśród uniwersytetów, a na świecie 234. pośród wszystkich typów uczelni. Corocznie uniwersytet zajmuje 1-2 miejsce w rankingu polskich uczelni państwowych przeprowadzanych przez "Rzeczpospolitą" i "Perspektywy".Błądzenie losowe to pojęcie z zakresu matematyki i fizyki określające sformalizowane przedstawienie procesu, polegającego na podejmowaniu kolejnych kroków, każdy w losowo wybranym kierunku. Błądzenie losowe jest przykładem prostego procesu stochastycznego.

    ma (wielowymiarowy) rozkład normalny. W klasie procesów gaussowskich istnieje następująca charakteryzacja procesu Wienera.

    Norbert Wiener (ur. 26 listopada 1894 r. w Columbii - zm. 18 marca 1964 r. w Sztokholmie) — amerykański matematyk pochodzenia polsko-żydowskiego, twórca cybernetyki.Własność Markowa w rachunku prawdopodobieństwa to własność procesów stochastycznych polegająca na tym, że warunkowe rozkłady prawdopodobieństwa przyszłych stanów procesu są zdeterminowane wyłącznie przez jego bieżący stan, bez względu na przeszłość. Ściślej: przyszłe stany procesu są warunkowo niezależne od stanów przeszłych.

    Twierdzenie. Proces gaussowski jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy a. prawie wszystkie jego trajektorie są ciągłe, b. dla wszelkich c. dla wszelkich .

    W szczególności, proces Wienera spełnia powyższe warunki a.-c. Rzeczywiście, jeżeli jest procesem Wienera, to.

    W teorii prawdopodobieństwa mówimy, że zdarzenie zachodzi prawie na pewno (p.n.) jeśli zachodzi ono z prawdopodobieństwem 1. Sformułowanie to pojawia się w naturalny sposób np. przy badaniu zagadnień granicznych (zob. np. prawo wielkich liczb).Wahaniem funkcji f : [ a , b ] → R {displaystyle f:[a,b] o mathbb {R} } na przedziale [ a , b ] {displaystyle [a,b]} nazywamy wielkość

    z uwagi na to, że p.n. (warunek 1.) oraz zmienna ma rozkład normalny (warunek 3.). Z niezależności rozkładów, tj. warunku 2., wynika, że dla zachodzi

    Równanie Schrödingera – jedno z podstawowych równań nierelatywistycznej mechaniki kwantowej (obok równania Heisenberga), sformułowane przez austriackiego fizyka Erwina Schrödingera w 1926 roku. Opisuje ono ewolucję układu kwantowego w czasie. W nierelatywistycznej mechanice kwantowej odgrywa rolę analogiczną do drugiej zasady dynamiki Newtona w mechanice klasycznej.
    .

    By udowodnić, że proces gaussowski spełniający warunki a.-c. jest procesem Wienera należy zauważyć, że tj. p.n., co dowodzi warunku 1. Następnie, dla zmienna losowa ma rozkład normalny ze średnią 0 i wariancją

    co dowodzi warunku 3. By wykazać warunek 2., z gaussowskości rozkładu wynika, że dla wszelkich zmienne

    są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy są nieskorelowane (tj. kowariancja każdej ich pary wynosi 0). Mamy jednak dla

    oraz

    co kończy dowód.

    Proces Wienera można scharakteryzować poprzez stacjonarność przyrostów i skończoność czwartych momentów:

    Twierdzenie. Proces stochastyczny jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki 1., 2. i 4. oraz 3a. przyrosty procesu są stacjonarne, tj. dla wszelkich zmienne oraz mają te same rozkłady, 3b. 3c. dla wszelkich .

    Podstrony: 1 [2] [3] [4]




    Reklama

    Czas generowania strony: 1.229 sek.