• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Proces Poissona

    Przeczytaj także...
    Proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (liczba rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego, którego wartości są zdarzeniami losowymi, z funkcją, która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.
    Proces Markowa – ciąg zdarzeń, w którym prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zależy jedynie od wyniku poprzedniego. W ujęciu matematycznym, procesy Markowa to takie procesy stochastyczne, które spełniają własność Markowa.

    Proces Poissona – nazwana na cześć francuskiego matematyka, Siméona Denisa Poissona, rodzina (będąca procesem stochastycznym - procesem Markowa) zdefiniowana w następujący sposób:

    Siméon Denis Poisson (ur. 21 czerwca 1781 w Pithiviers – zm. 25 kwietnia 1840 r. w Paryżu), francuski mechanik teoretyk, fizyk i matematyk. Zajmował się elektrycznością, magnetyzmem, grawitacją, balistyką, astronomią i mechaniką. W matematyce zajmował się całkami oznaczonymi, równaniami różnicowymi i różniczkowymi oraz teorią prawdopodobieństwa. Rozkład Erlanga – ciągły rozkład prawdopodobieństwa, związany z rozkładem wykładniczym i rozkładem gamma. Rozkład Erlanga został opracowany przez A. K. Erlanga do szacowania liczby rozmów telefonicznych, łączonych jednocześnie przez operatora w ręcznej centrali telefonicznej. Później uwzględniono również czas oczekiwania w kolejce. Obecnie rozkład ten znalazł też zastosowanie w teorii procesów stochastycznych.

    .

    Rozkład wykładniczy to rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której obiekt może przyjmować stany X i Y, przy czym obiekt w stanie X może ze stałym prawdopodobieństwem przejść w stan Y w jednostce czasu. Prawdopodobieństwo wyznaczane przez ten rozkład to prawdopodobieństwo przejścia ze stanu X w stan Y w czasie δt.Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

    Gdzie ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z jednakowym dla każdej ze zmiennych parametrem .

    Zmienna oznacza czas pomiędzy (i-1)-szym a i-tym zdarzeniem (tradycyjnie nazywanym zgłoszeniem), a to liczba zgłoszeń, które wystąpiły do chwili t.

    Równoważne definicje[]

    Proces stochastyczny jest procesem Poissona o intensywności wtedy i tylko wtedy, gdy:

    (i)

    1. ; W czasie startowym przyjmuje wartość zero.
    2. ma przyrosty niezależne.
    3. różnice między stanami mają rozkład Poissona o podanym parametrze.

    (ii)

    1. .
    2. ma niezależne i stacjonarne przyrosty.
    3. .
    4. .

    Niezależność przyrostów oznacza, że liczba zdarzeń w dwóch rozłącznych przedziałach czasowych są niezależnymi zmiennymi losowymi. Proces ten więc nie ma pamięci - wcześniejsze realizacje procesu nie wpływają na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w danym czasie.

    Własności[]

    Niech . Wtedy ma rozkład Erlanga z parametrami .

    Proces Poissona może przebiegać w czasie dyskretnym lub ciągłym, ten drugi rodzaj jest jednym z najlepiej zbadanych przykładów procesu Léviego.

    Zobacz też[]

  • teoria prawdopodobieństwa



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.046 sek.