• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Prawdopodobieństwo



    Podstrony: [1] 2 [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Zbiory rozłączne – dwa zbiory, których część wspólna jest zbiorem pustym. Inaczej mówiąc, zbiory nie mające wspólnego elementu.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.
    Rys historyczny[]

    Początków rachunku prawdopodobieństwa należy upatrywać w hazardzie: obserwacja różnego rodzaju gier losowych doprowadziła do sformułowania pierwszych stwierdzeń i wniosków natury formalnej dotyczących możliwości i szans zajścia zdarzeń. Pierwsze ścisłe uwagi dotyczące prawdopodobieństwa wymieniali ze sobą w swojej korespondencji (1654) Pierre de Fermat i Blaise Pascal. Z kolei Christiaan Huygens (1657) jako pierwszy opisał zagadnienie z naukowego punktu widzenia. Jakob Bernoulli w swoim dziele Ars Conjectandi (pośmiertnie, 1713) i Abraham de Moivre w Doctrine of Chances (1718) traktują przedmiot jako dział matematyki.

    Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, społecznych itp. Wykres funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą dzwonową.Błędne koło w definiowaniu, circulus in definiendo – błąd logiczny polegający na użyciu w definicji równościowej wyrazu definiowanego w definiens. Błąd taki występuje np. w definicji "logika to nauka o myśleniu zgodnym z prawami logiki".

    To podejście doprowadziło do sformułowania przez Pierre'a Simona de Laplace'a klasycznej definicji prawdopodobieństwa (1812). Mimo tego, iż tłumaczyła ona wiele interesujących wtedy zagorzałych graczy zjawisk, a ponadto dawała poprawne odpowiedzi, to zawiera ona zasadniczy błąd logiczny. Odwołuje się ona do możliwości wyodrębnienia tzw. zdarzeń elementarnych, które mają być „jednakowo możliwe”, czyli „jednakowo prawdopodobne” – definiens odwołuje się do definiendum, jest to więc przykład błędnego koła w definiowaniu.

    Prawdopodobieństwo obiektywne to interpretacja teorii prawdopodobieństwa, według której wartość prawdopodobieństwa danego zdarzenia jest granicą stosunku liczby "sukcesów" do liczby "losowań".Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.

    Pewnym rozwiązaniem bolączek definicji klasycznej była przedstawiona przez Georges'a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon definicja geometryczna (1733), która umożliwiała badanie prawdopodobieństw zdarzeń nieskończonych w oparciu o przypisanie im miar podzbiorów w zbiorze miary jednostkowej, np. długości sum odcinków leżących w odcinku jednostkowym, czy pól powierzchni figur zawartych w kwadracie o jednostkowym polu (zob. igła Buffona). Przy badaniu tej definicji Joseph Louis François Bertrand zauważył paradoksalny problem opisywany dzisiaj jego nazwiskiem, tzw. paradoks Bertranda, który jest w istocie pytaniem o właściwy dobór metody określania prawdopodobieństwa – to właśnie tego rodzaju paradoksom miały zapobiegać interpretacje częstotliwościowa i subiektywistyczna.

    Rozkład prawdopodobieństwa – w najczęstszej interpretacji (rozkład zmiennej losowej) miara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.Algebra Boole’a – algebra ogólna stosowana w matematyce, informatyce teoretycznej oraz elektronice cyfrowej. Jej nazwa pochodzi od nazwiska matematyka, filozofa i logika George’a Boole’a. Teoria algebr Boole’a jest działem matematyki na pograniczu teorii częściowego porządku, algebry, logiki matematycznej i topologii.

    Definicja Laplace'a nie może też być stosowana w przypadku (potencjalnie) nieskończenie długich ciągów zdarzeń. Z problemem tym próbowano sobie poradzić na kilka sposobów. Jednym z nich była tzw. definicja częstotliwościowa Richarda von Misesa (1931), który zaproponował zdefiniowanie prawdopodobieństwa jako granicę ciągu częstości serii zdarzeń, czyli niejako ekstrapolowanie uzyskiwanych rezultatów doświadczalnych na przypadek nieskończony. Definicja ta również jest uważana za błędną, gdyż nie mówi ona nic o warunkach istnienia wspomnianej granicy; formalizacją tej zgodnej z intuicją definicji są różnorodne wersje prawa wielkich liczb.

    Rozkład jednostajny (zwany też jednorodnym, równomiernym) to rozkład prawdopodobieństwa o funkcji rozkładu stałej w całym nośniku rozkładu.Miara produktowa – dla danych dwóch miar, miara określona na produktowej przestrzeni mierzalnej, która iloczynowi kartezjańskiemu zbiorów mierzalnych (należących do odpowiednich σ {displaystyle sigma } -algebr) przyporządkowuje iloczyn ich miar.

    Definicja geometryczna okazała się niejako najlepszym z powyższych pomysłów, gdyż korzystając z nowo powstałej teorii miary i teorii całkowania opracowanej przez Henriego Léona Lebesgue'a uogólniających pojęcia długości, pola powierzchni i objętości, Andriej Nikołajewicz Kołmogorow (1933) podał pierwszą aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa, która została szeroko przyjęta jako właściwe określenie tego pojęcia. Z tego punktu widzenia paradoks Bertranda jest źle zaadresowanym pytaniem: definicja Kołmogorowa nie rozstrzyga, który z modeli jest lepszy, lecz umożliwia wyznaczenie prawdopodobieństwa zgodnie z wybranym; pewne rozwiązanie paradoksu przedstawił Edwin Thompson Jaynes.

    Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).Ryzyko (ang. risk, fr. risque, niem. risiko,wł. rischio) – jest pojęciem wieloznacznym, trudnym do zdefiniowania. W różnych dziedzinach nauk jest ono różnie interpretowane, dlatego zdaniem niektórych autorów stworzenie jednej uniwersalnej definicji jest niemożliwe.

    Alternatywnym do wspomnianej wyżej aksjomatyzacji sposobem wprowadzania formalnej teorii prawdopodobieństwa może być algebraiczna aksjomatyzacja zwana algebrą zmiennych losowych opisana przez Melvina Dale'a Springera w 1977 roku, choć nie jest to jedyna możliwość.

    Definicje[]

    Definicja Laplace'a[]

    Niech dany będzie skończony zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych; dowolny podzbiór zbioru nazywa się wtedy zdarzeniem.

    Awers i rewers (łac.) to dwie strony jakiegoś zdobionego przedmiotu płaskiego, pokrytego jedno- lub dwustronnie malowidłem, grafiką lub drukiem, zawierającego płaskorzeźbę, wizerunek wykonany metodą rycia, kucia lub zdobionego w jeszcze inny sposób. Oba pojęcia funkcjonują wyłącznie razem, gdy w danym przedmiocie występuje swobodny dostęp do obu jego powierzchni, przy czym jedna z nich jest wyłączną lub główną stroną zawierającą przedstawiane treści.Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

    Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia nazywa się stosunek liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu do liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych należących do zbioru Definicja ta zakłada więc nie wprost, iż wszystkie zdarzenia elementarne wzajemnie się wykluczają, a ich wystąpienia równie możliwe. Innymi słowy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia to liczba

    Teoria miary (zwana też teorią miary i całki) - dział analizy matematycznej zajmujący się własnościami ogólnie rozumianych miar zbiorów. Teoria miary bada σ-algebry, funkcje mierzalne oraz całki.Przestrzeń trójwymiarowa - potoczna nazwa przestrzeni euklidesowej o trzech wymiarach, lub równoważnej jej przestrzeni kartezjańskiej. Przymiotnik "trójwymiarowa" oznacza, że każdemu punktowi tej przestrzeni odpowiada trójka uporządkowana liczb rzeczywistych, zwanych współrzędnymi. Każdej trójce liczb rzeczywistych także odpowiada punkt tej przestrzeni.

    gdzie oznacza liczbę wszystkich elementów danego zbioru.

    Abraham de Moivre, fr: abʀa:m d(ə) mwavʀ (ur. 26 maja 1667 w Vitry-le-François, zm. 27 listopada 1754 w Londynie) – francuski matematyk, najbardziej znany z odkrycia wzoru de Moivre’a, który ukazał się w jego dziele Miscellanea analytica (1730).a posteriori (łac.) – w filozofii, termin będący przeciwieństwem dla: a priori, oznaczający tyle, co: "po fakcie" tudzież "w następstwie faktu". Odnosi się on do poznania powstałego na doświadczeniu – rozumowania o czymś drogą indukcji ("od szczegółu do ogółu"), wskutek percepcji jakiegoś faktu. Od zwrotu a posteriori powstała nazwa aposterioryzm, która jest synonimem empiryzmu.

    Definicja Buffona[]

    Niżej przedstawiona zostanie definicja w przypadku jednowymiarowym (prosta i długość), jednak uogólnia się ona wprost na przypadek dwu- oraz trójwymiarowy (płaszczyzna i pole powierzchni oraz przestrzeń i objętość). Nomenklatura nie odbiega od przyjętej wyżej dla definicji klasycznej i częstotliwościowej: tym razem zbiór będący podzbiorem ustalonej prostej może być nieskończony, jednak musi być ograniczony, co oznacza, że ma skończoną długość; podobnie ma się rzecz ze zdarzeniami .

    Forma liniowa albo funkcjonał liniowy (kowektor) – w algebrze liniowej przekształcenie liniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli funkcjonał, który jest liniowy, tj. addytywny i jednorodny. Pojęcie to uogólnia się bez zmian na przypadek modułów nad pierścieniami.Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

    Jeżeli przyjąć, że oznacza sumę długości wszystkich rozłącznych odcinków składających się na dany zbiór, to prawdopodobieństwo można określić, zupełnie jak w definicji klasycznej, wzorem

    W teorii prawdopodobieństwa, doświadczeniem losowym nazywa się procedurę, którą można wielokrotnie powtarzać i która ma określony zbiór wyników znany przestrzenią zdarzeń elementarnych. O doświadczeniu mówimy, że jest losowe, jeżeli ma więcej niż jeden możliwy wynik; gdy doświadczenie ma tylko jeden wynik, to mówimy, że jest deterministyczne. Doświadczenie losowe, który ma dokładnie dwa różne możliwe wyniki nazywa się próbą Bernouliego.Statystyka (niem. Statistik, „badanie faktów i osób publicznych”, z łac. [now.] statisticus, „polityczny, dot. polityki”, od status, „państwo, stan”) – nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe.

    Definicja von Misesa[]

    Definicja częstotliwościowa oparte jest na definicji Laplace'a, z tym iż może być dowolnym (niekoniecznie skończonym) zbiorem. Liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu w doświadczeniach (próbach) oznacza się ; iloraz nazywa się częstością zdarzenia

    Algebra von Neumanna (albo W*-algebra) – *-podalgebra C*-algebry operatorów ograniczonych ℬ(H) na pewnej przestrzeni Hilberta H, która jest domknięta w słabej topologii operatorowej. Domkniętość w słabej topologii operatorowej gwarantuje również domkniętość względem normy w ℬ(H), a więc każda algebra von Neumanna jest, w szczególności, C*-algebrą.Próba Bernoulliego - eksperyment losowy z dwoma możliwymi wynikami, określanymi zazwyczaj jako sukces oraz porażka. Za przykłady prób Bernoulliego matematycy uważają:

    Prawdopodobieństwem zdarzenia nazywa się wtedy liczbę będącą granicą ciągu częstości przy liczbie prób rosnącej do nieskończoności, tzn.

    Thomas Bayes (ur. ok. 1702 w Londynie — zm. 17 kwietnia 1761) brytyjski matematyk i duchowny prezbiteriański, znany ze sformułowania opublikowanego pośmiertnie twierdzenia Bayesa, które to zapoczątkowało dział statystyki.Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.

    Definicja Kołmogorowa[]

     Osobny artykuł: definicja Kołmogorowa.

    Jedynym właściwie niedostatkiem definicji Buffona było nieprecyzyjne określenie zdarzeń, którym można przypisać prawdopodobieństwo: nie jest jasne jaką postać przyjmować mogą zbiory odpowiadające zdarzeniom, a przez to, czy możliwe jest wskazanie ich długości. Kluczem było wyraźne wskazanie zdarzeń i zastosowanie formalizacji mierzenia zbiorów w postaci miary Lebesgue'a i całki Lebesgue'a.

    Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.Proces Bernoullego jest procesem stochastycznym składającym się z ciągu niezależnych zmiennych losowych X1, X2, X3, ... takich że

    Niech dany będzie pewien zbiór zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwem nazywa się dowolną funkcję przypisującą zdarzeniom wartości z przedziału jednostkowego, dla której oraz dla dowolnego przeliczalnego ciągu zdarzeń parami wykluczających się. Zdarzenia nie są dowolnymi podzbiorami zbioru czyli elementami rodziny wszystkich podzbiorów zbioru lecz elementami rodziny która tworzy (w domyśle: jak największą) niepustą rodzinę zdarzeń w która jest zamknięta na branie zdarzeń przeciwnych i przeliczalnych alternatyw zdarzeń (intuicyjnie: dla każdego zdarzenia istnieje zdarzenie będące jego negacją, a dla dowolnej, co najwyżej przeliczalnej, liczby zdarzeń istnieje zdarzenie będące ich alternatywą). Zrezygnowanie z możliwości określenia prawdopodobieństwa dla wszystkich zdarzeń wynika z problemów formalnych pojawiających się podczas rozpatrywania dość „patologicznych” ich przypadków.

    Intuicyjnie, zdarzenie losowe to pewien zbiór możliwych wyników danego eksperymentu. Może to być zarówno zbiór składający się z pojedynczego wyniku, jak i zbiór złożony z większej ilości elementów. Zdarzenia losowe rozważa się w rachunku prawdopodobieństwa.Dopełnienie zbioru – intuicyjnie, zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą. W niektórych pozycjach można spotkać się również z alternatywną nazwą uzupełnienie zbioru.

    Definicja Springera[]

     Zapoznaj się również z: zmienna losowa.

    Algebra zmiennych losowych – wychodząc nie od zdarzeń, lecz od zmiennych losowych – umożliwia rachunki symboliczne ułatwiające znajdowanie rozkładów prawdopodobieństwa, wartości oczekiwanych, wariancji, kowariancji itp. dla sum, iloczynów, czy ogólniejszych funkcji zmiennych losowych. Rozkłady prawdopodobieństwa wyznaczone są poprzez przypisanie wartości oczekiwanej każdej zmiennej losowej; przestrzeń mierzalna i miara prawdopodobieństwa z kolei powstają jako wynik zastosowania ugruntowanych twierdzeń reprezentacyjnych analizy. Ponadto podejście to nie czyni formalizacji nieskończeniewymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa trudniejszymi niż skończeniewymiarowych.

    Edwin Thompson Jaynes (ur. 5 lipca 1922, zm. 30 kwietnia 1998) – amerykański fizyk teoretyk i matematyk, specjalista z mechaniki statystycznej, termodynamiki i teorii prawdopodobieństwa. Był profesorem fizyki na Uniwersytecie Waszyngtona w St. Louis, Missouri.Wariancja to w statystyce klasyczna miara zmienności. Intuicyjnie utożsamiana ze zróżnicowaniem zbiorowości; jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej.

    O zmiennych losowych zakłada się, iż mają następujące własności:

  • stałe zespolone są zmiennymi losowymi;
  • suma i iloczyn dwóch zmiennych losowych są zmiennymi losowymi;
  • dodawanie i mnożenie zmiennych losowych są przemienne;
  • istnieje działanie sprzężenia zmiennych losowych, które dla wszystkich zmiennych losowych jest:
  • funktorialne, czyli spełnia
  • inwolutywne, a więc
  • przy czym pokrywa się ono ze sprzężeniem zespolonym w przypadku stałych.

    Powyższe warunki czynią ze zmiennych losowych przemienną *-algebrę zespoloną. Samosprzężoną zmienną losową tj. spełniającą nazywa się rzeczywistą. Operator wartości oczekiwanej na wspomnianej algebrze definiuje się jako znormalizowaną, dodatnią formę liniową, tzn.

    Długość fizyczna — miara fizyczna odległości pomiędzy dwoma punktami, liczona zgodnie z metryką euklidesową (zwykłym sposobem mierzenia odległości), albo w linii prostej (np. długość fali — odległość między jej dwoma węzłami) albo po krzywej (np. długość drogi przebytej przez ciało).Teoria prawdopodobieństwa (także rachunek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) – dział matematyki zajmujący się zdarzeniami losowymi. Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem abstrakcyjnych pojęć matematycznych stworzonych do opisu zjawisk, które nie są deterministyczne: zmiennych losowych w przypadku pojedynczych zdarzeń oraz procesów stochastycznych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczny fundament statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotną rolę w sytuacjach, w których konieczna jest analiza dużych zbiorów danych. Jednym z największych osiągnięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistycznej natury zjawisk fizycznych w skali mikroskopijnej, co zaowocowało powstaniem mechaniki kwantowej.
  • gdzie oznacza stałą;
  • dla dowolnej zmiennej losowej ;
  • dla wszystkich zmiennych losowych
  • o ile jest stałą.
  • Tak zdefiniowaną strukturę można uogólniać opuszczając przykładowo warunek przemienności, co prowadzi do innych dziedzin prawdopodobieństwa nieprzemiennego, jak np. prawdopodobieństwo kwantowe, teoria macierzy losowych, czy wolne prawdopodobieństwo.

    Przestrzeń probabilistyczna – struktura umożliwiająca modelowanie doświadczenia losowego poprzez wskazanie zdarzeń losowych i przypisanie im prawdopodobieństwa.Paradoks Bertranda – paradoks wykryty w teorii prawdopodobieństwa w czasach, gdy nauka ta nie była jeszcze teorią zaksjomatyzowaną a prawdopodobieństwa zdarzeń nieskończonych badano w oparciu o definicję geometryczną. Wykryty przez Josepha Bertranda i opublikowany w jego pracy Calcul des probabilités w 1888 r.


    Podstrony: [1] 2 [3] [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Aksjomat wyboru (ozn. AC od ang. Axiom of Choice) – jeden z aksjomatów teorii mnogości mówiący o możliwości skonstruowania zbioru (nazywanego selektorem) zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do rodziny niepustych zbiorów rozłącznych.
    Sir Karl Raimund Popper (ur. 28 lipca 1902 w Wiedniu, zm. 17 września 1994 w Londynie) – filozof specjalizujący się w filozofii nauki i filozofii społeczno-politycznej. Jego system filozoficzny został przez niego samego nazwany racjonalizmem krytycznym, który on sam uważał za kontynuację filozofii Immanuela Kanta. Sformułował zasadę falsyfikowalności jako kryterium naukowości (popperyzm) oraz koncepcję społeczeństwa otwartego, będącego swoistym rozwinięciem koncepcji demokracji Johna Locke’a i Johna Stuarta Milla.
    Objętość – miara przestrzeni, którą zajmuje dane ciało w przestrzeni trójwymiarowej. W układzie SI jednostką objętości jest metr sześcienny, jednostka zbyt duża do wykorzystania w życiu codziennym. Z tego względu najpopularniejszą w Polsce jednostką objętości jest jeden litr (l) (1 l = 1 dm = 0,001 m³).
    Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:
    Wiedza – termin używany powszechnie, istnieje wiele definicji tego pojęcia. Nowa Encyklopedia Powszechna definiuje wiedzę jako „ogół wiarygodnych informacji o rzeczywistości wraz z umiejętnością ich wykorzystywania”.
    Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) – miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.
    Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.078 sek.