Prawa logiczne

Prawa logiczne – twierdzenia logiki, zdania prawdziwe w każdym modelu, tj. przy każdej interpretacji występujących w nich stałych pozalogicznych; szczególnie ważną funkcją praw logicznych jest to, że na ich podstawie orzeka się wynikanie logiczne jednych zdań z drugich; prawa logiczne są podstawą (lub schematami) operacji dokonywanych w logice (dowodzenia, wnioskowania, uzasadniania). Praw logiki klasycznej jest nieskończenie wiele. Wybiera się często dla przykładu jedynie nieliczne spośród praw, które z różnych względów historycznych i naukotwórczych są najczęściej wyróżniane w opracowaniach podręcznikowych:

Zasada (prawo) tożsamości, zasada (prawo) identyczności - relatywna zasada bytu głosząca, że każdy byt jest tym, czym jest, sformułowana po raz pierwszy przez Parmenidesa. Stanowi prawo logiczne w postaci dla klasycznego rachunku zdań głoszące, że p ⟺ p {displaystyle pLongleftrightarrow p,!} (p wtedy i tylko wtedy, gdy p), w postaci dla klasycznego rachunku predykatów, że x = x {displaystyle x=x!} (każdy przedmiot jest identyczny z samym sobą). Metafizyka klasyczna razem z zasadą sprzeczności i zasadą wyłączonego środka uznała zasadę tożsamości za jedno z pierwszych praw myśli i bytu. W nieco innych kontekstach filozoficznych zasada tożsamości miała znaczenie także dla filozofii nowożytnej, zwłaszcza dla Leibniza i filozofii identyczności Schellinga - w kontekstach tych nazywana jest częściej zasadą identyczności (por. identyczność przedmiotów nierozróżnialnych).

1. prawo tożsamości: p → p ; {\displaystyle p\rightarrow p;} $p\rightarrow p;$ p ≡ p {\displaystyle p\equiv p} $p\equiv p$
2. prawa (nie)sprzeczności: ∼ ( p   ∧ ∼ p ) ; {\displaystyle \sim (p\ \land \sim p);} $\sim (p\ \land \sim p);$ ∼ ⋁ x ( P x   ∧ ∼ P x ) {\displaystyle \sim \bigvee x(Px\ \land \sim Px)} $\sim \bigvee x(Px\ \land \sim Px)$
3. prawa wyłączonego środka: p   ∨ ∼ p ; {\displaystyle p\ \lor \sim p;} $p\ \lor \sim p;$ ⋀ x ( P x   ∨ ∼ P x ) {\displaystyle \bigwedge x(Px\ \lor \sim Px)} $\bigwedge x(Px\ \lor \sim Px)$
4. prawo podwójnego przeczenia: ∼ ( ∼ p ) ≡ p {\displaystyle \sim (\sim p)\equiv p} $\sim (\sim p)\equiv p$
5. prawo symplifikacji: q → ( p → q ) {\displaystyle q\rightarrow (p\rightarrow q)} $q\rightarrow (p\rightarrow q)$
6. prawo sylogizmu hipotetycznego: ( p → q ) → [ ( q → r ) → ( p → r ) ] {\displaystyle (p\rightarrow q)\rightarrow [(q\rightarrow r)\rightarrow (p\rightarrow r)]} $(p\rightarrow q)\rightarrow [(q\rightarrow r)\rightarrow (p\rightarrow r)]$
7. prawo eksportacji: [ ( p ∧ q ) → r ] → [ p → ( q → r ) ] {\displaystyle [(p\land q)\rightarrow r]\rightarrow [p\rightarrow (q\rightarrow r)]} $[(p\land q)\rightarrow r]\rightarrow [p\rightarrow (q\rightarrow r)]$
8. prawo importacji: [ p → ( q → r ) ] → [ ( p ∧ q ) → r ] {\displaystyle [p\rightarrow (q\rightarrow r)]\rightarrow [(p\land q)\rightarrow r]} $[p\rightarrow (q\rightarrow r)]\rightarrow [(p\land q)\rightarrow r]$
9. prawo komutacji: [ p → ( q → r ) ] ≡ [ q → ( p → r ) ] {\displaystyle [p\rightarrow (q\rightarrow r)]\equiv [q\rightarrow (p\rightarrow r)]} $[p\rightarrow (q\rightarrow r)]\equiv [q\rightarrow (p\rightarrow r)]$
10. prawa dylematu: [ ( p → r )   ∧ ( q → r )   ∧ ( p ∨ q ) ] → r ; {\displaystyle [(p\rightarrow r)\ \land (q\rightarrow r)\ \land (p\lor q)]\rightarrow r;} $[(p\rightarrow r)\ \land (q\rightarrow r)\ \land (p\lor q)]\rightarrow r;$ [ ( p → q )   ∧ ( r → s )   ∧ ( p ∨ r ) ] → ( q   ∨ s ) {\displaystyle [(p\rightarrow q)\ \land (r\rightarrow s)\ \land (p\lor r)]\rightarrow (q\ \lor s)} $[(p\rightarrow q)\ \land (r\rightarrow s)\ \land (p\lor r)]\rightarrow (q\ \lor s)$
11. prawa pochłaniania: [ p   ∨ ( q   ∨ ∼ q ) ] ≡ ( q   ∨ ∼ q ) ; {\displaystyle [p\ \lor (q\ \lor \sim q)]\equiv (q\ \lor \sim q);} $[p\ \lor (q\ \lor \sim q)]\equiv (q\ \lor \sim q);$ [ p   ∧ ( q   ∧ ∼ q ) ] ≡ ( q   ∧ ∼ q ) ; {\displaystyle [p\ \land (q\ \land \sim q)]\equiv (q\ \land \sim q);} $[p\ \land (q\ \land \sim q)]\equiv (q\ \land \sim q);$ [ p   ∧ ( q   ∨ ∼ q ) ] ≡ p ; {\displaystyle [p\ \land (q\ \lor \sim q)]\equiv p;} $[p\ \land (q\ \lor \sim q)]\equiv p;$ [ p   ∨ ( q   ∧ ∼ q ) ] ≡ p {\displaystyle [p\ \lor (q\ \land \sim q)]\equiv p} $[p\ \lor (q\ \land \sim q)]\equiv p$
12. prawa rozdzielności:
    a) alternatywy względem koniunkcji: [ p   ∨ ( q   ∧ r ) ] ≡ [ ( p   ∨ q )   ∧ ( p   ∨ r ) ] {\displaystyle [p\ \lor (q\ \land r)]\equiv [(p\ \lor q)\ \land (p\ \lor r)]} $[p\ \lor (q\ \land r)]\equiv [(p\ \lor q)\ \land (p\ \lor r)]$
    b) koniunkcji względem alternatywy: [ p   ∧ ( q   ∨ r ) ] ≡ [ ( p   ∧ q )   ∨ ( p   ∧ r ) ] {\displaystyle [p\ \land (q\ \lor r)]\equiv [(p\ \land q)\ \lor (p\ \land r)]} $[p\ \land (q\ \lor r)]\equiv [(p\ \land q)\ \lor (p\ \land r)]$
    c) kwantyfikatora ogólnego względem implikacji: ⋀ x ( P x → Q x ) → ( ⋀ x P x → ⋀ x Q x ) ; {\displaystyle \bigwedge x(Px\rightarrow Qx)\rightarrow (\bigwedge xPx\rightarrow \bigwedge xQx);} $\bigwedge x(Px\rightarrow Qx)\rightarrow (\bigwedge xPx\rightarrow \bigwedge xQx);$ ⋀ x ( P x → Q x ) → ( ⋁ x P x → ⋁ x Q x ) {\displaystyle \bigwedge x(Px\rightarrow Qx)\rightarrow (\bigvee xPx\rightarrow \bigvee xQx)} $\bigwedge x(Px\rightarrow Qx)\rightarrow (\bigvee xPx\rightarrow \bigvee xQx)$
    d) kwantyfikatora szczegółowego względem implikacji: ⋁ x ( P x → Q x ) ≡ ( ⋁ x P x → ⋁ x Q x ) {\displaystyle \bigvee x(Px\rightarrow Qx)\equiv (\bigvee xPx\rightarrow \bigvee xQx)} $\bigvee x(Px\rightarrow Qx)\equiv (\bigvee xPx\rightarrow \bigvee xQx)$
13. prawo Dunsa Szkota: p → ( ∼ p → q ) {\displaystyle p\rightarrow (\sim p\rightarrow q)} $p\rightarrow (\sim p\rightarrow q)$
14. prawa De Morgana: ∼ ( p   ∧ q ) ≡ ( ∼ p   ∨ ∼ q ) ; {\displaystyle \sim (p\ \land q)\equiv (\sim p\ \lor \sim q);} $\sim (p\ \land q)\equiv (\sim p\ \lor \sim q);$ ∼ ( p   ∨ q ) ≡ ( ∼ p   ∧ ∼ q ) ; {\displaystyle \sim (p\ \lor q)\equiv (\sim p\ \land \sim q);} $\sim (p\ \lor q)\equiv (\sim p\ \land \sim q);$ ∼ ⋀ x P x ≡ ⋁ x ∼ P x ; {\displaystyle \sim \bigwedge xPx\equiv \bigvee x\sim Px;} $\sim \bigwedge xPx\equiv \bigvee x\sim Px;$ ∼ ⋁ x P x ≡ ⋀ x ∼ P x {\displaystyle \sim \bigvee xPx\equiv \bigwedge x\sim Px} $\sim \bigvee xPx\equiv \bigwedge x\sim Px$

Bibliografia

Encyklopedia G.W. EU: Mediasat Poland Sp. z o.o., s. 10. ISBN 83-89651-90-4.