l
  • Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Temat nie został wyczerpany?
    Zapraszamy na Forum Naukowy.pl
    Jeśli posiadasz konto w serwisie Facebook rejestracja jest praktycznie automatyczna.
    Wystarczy kilka kliknięć.

    Prawa De Morgana

    Przeczytaj także...
    Funktor zdaniotwórczy – wyrażenie, które wraz z innymi wyrażeniami, nazywanymi argumentami funktora, tworzy zdanie lub funkcję zdaniową.Andrzej Stanisław Mostowski (ur. 1 listopada 1913 we Lwowie, zm. 22 sierpnia 1975 w Vancouver, Kanada) – polski matematyk zajmujący się głównie podstawami matematyki, przedstawiciel warszawskiej szkoły matematycznej.
    Matematyk – uczony, którego badania naukowe dotyczą różnych dziedzin matematyki. Matematycy zajmują się wielkością, strukturą, przestrzenią i dynamiką.

    Prawa De Morganatwierdzenia w logice matematycznej i teorii mnogości. Od nazwiska Augustusa De Morgana, angielskiego matematyka.

    Logika[ | edytuj kod]

    I prawo De Morgana  Prawo zaprzeczania koniunkcji: negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji \lnot (p \land q) \iff (\lnot p \lor \lnot q),

    gdzie p i q oznaczają zdania w sensie logiki.

    Kazimierz Kuratowski (ur. 2 lutego 1896 w Warszawie, zm. 18 czerwca 1980 w Warszawie), polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.Prawo podwójnej negacji albo prawo podwójnego zaprzeczenia – reguła rachunku zdań, która stwierdza, że zaprzeczenie negacji zdania jest tym samym zdaniem (bardziej formalnie: jest równoważne ze zdaniem wyjściowym).
    II prawo De Morgana  Prawo zaprzeczenia alternatywy: negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji \lnot (p \lor q) \iff (\lnot p \land \lnot q);

    Prawa umożliwiają definiowanie jednych spójników zdaniowych za pomocą innych. Na przykład, korzystając z koniunkcji i negacji, za pomocą prawa podwójnej negacji można określić alternatywę:

    Kwantyfikator – termin przyjęty w matematyce i logice matematycznej na oznaczenie zwrotów: dla każdego, istnieje takie i im pokrewnych, a także odpowiadającym im symbolom wiążacym zmienne w formułach. Są podstawowym elementem w rozwoju logiki pierwszego rzędu.Dopełnienie zbioru – intuicyjnie, zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą. W niektórych pozycjach można spotkać się również z alternatywną nazwą uzupełnienie zbioru.
    p \lor q \iff \lnot (\lnot p \land\lnot q)

    Tabele wartości logicznych[ | edytuj kod]

    Porównanie wartości w czwartej i siódmej kolumny ostatniego wiersza obu tabel (oznaczonych kolorem żółtym) daje przekonanie o prawdziwości wyrażeń \lnot (p \land q) \iff (\lnot p) \lor (\lnot q) oraz \lnot (p \lor q) \iff (\lnot p) \land (\lnot q)

    bez względu na wartościowanie zmiennych p i q (ma ono zawsze wartość logiczną równą 1). Zdania takie jak nazywa się tautologiami.

    Rachunek kwantyfikatorów[ | edytuj kod]

    W rachunku kwantyfikatorów prawa De Morgana opisują reguły zaprzeczania kwantyfikatorom:

    Teoria mnogości lub inaczej: teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się ona na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki.
    \lnot\bigg(\forall_x\ p(x)\bigg) \iff \bigg(\exists_x\ \lnot p(x)\bigg), \lnot\bigg(\exists_x\ p(x)\bigg) \iff \bigg(\forall_x\ \lnot p(x)\bigg),

    gdzie p(x) jest dowolnym zdaniem zależnym od zmiennej x.

    Teoria mnogości[ | edytuj kod]

    W teorii mnogości prawa De Morgana służą opisowi działania dopełnienia (lub dokładniej: różnicy zbiorów):

    1. dopełnienie sumy zbiorów jest równe części wspólnej ich dopełnień, (A \cup B)^c = A^c \cap B^c,
    2. dopełnienie części wspólnej zbiorów jest równe sumie ich dopełnień, (A \cap B)^c = A^c \cup B^c

    Z zasady indukcji matematycznej to samo prawo zachowane jest dla skończenie wielu zdarzeń: \left(\bigcup_{i\in I}~A_i\right)^c = \bigcap_{i\in I}~A_i^c., \left(\bigcap_{i\in I}~A_i\right)^c = \bigcup_{i\in I}~A_i^c.,

    gdzie I \subset \mathbb N

    Logika (gr. λόγος, logos – rozum, słowo, myśl) – wedle klasycznej definicji – nauka o sposobach jasnego i ścisłego formułowania myśli, o regułach poprawnego rozumowania i uzasadniania twierdzeń. Jako taka wraz z retoryką logika stanowiła część filozofii. Współczesna logika wykorzystując metodę formalną znacznie rozszerzyła pole badań włączając w to badania nad matematyką (metamatematyka, logika matematyczna), konstruowanie nowych systemów logicznych (np. logiki wielowartościowe), czysto teoretyczne badania o matematycznym charakterze (np. teoria modeli), zastosowania logiki w informatyce i sztucznej inteligencji (logic for computer science).W matematyce, termin indukcja matematyczna używany jest na określenie szczególnej metody dowodzenia twierdzeń (w najbardziej typowych przypadkach o liczbach naturalnych), ale także jest on używany na oznaczenie konstrukcji pewnych obiektów.

    Analogicznie wysławia się i zapisuje prawa De Morgana dla nieskończonych rodzin zbiorów (w powyższych wzorach należy przyjąć, że I jest taką rodziną).

    Algebry Boole'a[ | edytuj kod]

    Jeżeli (B, \cup, \cap, -, 0, 1) jest zupełną algebrą Boole'a, to dla a_i\in B,\, i\in I: -\left(\bigcup_{i\in I}~a_i\right) = \bigcap_{i\in I}~-a_i, -\left(\bigcap_{i\in I}~a_i\right) = \bigcup_{i\in I}~-a_i.

    Bibliografia[ | edytuj kod]

    1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. PWN, 1966.
    2. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 7. PWN, 1977.
    3. H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 3. PWN, 1971.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Czy wiesz że...? beta

    Twierdzenie to sformalizowana wypowiedź sądu, stosowana we wszystkich naukach ścisłych, składająca się z dwóch zbiorów zdań, które łączy relacja implikacji. Pierwszy zbiór zdań określa ściśle warunki dla których dane twierdzenie jest spełnione i nazywa się założeniem twierdzenia, a drugi zbiór zdań jest właściwym sądem, będącym istotną treścią wypowiadanego twierdzenia i zwany jest tezą twierdzenia.
    Tautologia (wywodzi się od greckich słów ταυτος – ten sam i λογος – mowa) – wyrażenie, które jest prawdziwe na mocy swojej formy – budowy (dokładniej: które jest prawdziwe w każdej niepustej dziedzinie; zdanie zawsze prawdziwe). W logicznym znaczeniu zostało użyte po raz pierwszy przez Ludwika Wittgensteina (Tractatus logico-philosophicus 1922).
    Część wspólna zbiorów A i B (przekrój, iloczyn mnogościowy, przecięcie zbiorów) – zbiór, który zawiera te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.

    Reklama

    tt