• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Podstawa logarytmu naturalnego



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której funkcja sinus przyjmuje wartość 0.W rachunku całkowym, każda całka nieoznaczona danej funkcji (tj. zbiór funkcji pierwotnych) jest zapisywana jako suma jednej z funkcji pierwotnych oraz stałej, zwanej stałą całkowania. Jeżeli dziedziną funkcji f jest przedział, to stała ta parametryzuje rodzinę funkcji pierwotnych.

    Podstawa logarytmu naturalnego, liczba , liczba Eulera, liczba Neperastała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459, oznacza się ją literą .

    Granica – pojęcie używane w matematyce określające zachowania funkcji, a w szczególności ciągu, gdy ich argumenty "zbliżają się" do pewnej wartości lub nieskończoności. Granice używane są w rachunku różniczkowo-całkowym i innych działach analizy matematyczej do definiowania pochodnych i ciągłości.Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

    Definicja[ | edytuj kod]

    Liczba może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.

    Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).

    Granica ciągu[ | edytuj kod]

    Jako granica ciągu, jest określana przez Dowód zbieżności

    Wykażemy, że ciąg gdzie jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.

    Wykres funkcji – potocznie graficzne przedstawienie funkcji. Ogólniej, w matematyce wykresem funkcji f : X → Y {displaystyle f:X o Y} , gdzie X {displaystyle X} i Y {displaystyle Y} są dowolnymi zbiorami, nazywamy podzbiór S ⊂ X × Y {displaystyle Ssubset X imes Y} dany wzorem:Nieporządek - w kombinatoryce permutacja elementów zbioru, która nie pozostawia żadnego elementu na swoim oryginalnym miejscu (innymi słowy nie posiada żadnego punktu stałego).

    Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb zachodzi następująca nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:

    Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.Silnią liczby naturalnej n (w notacji matematycznej: n!, co czytamy „n silnia”) nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie n! wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

    Rozważając oraz otrzymujemy

    Wydawnictwa Naukowo-Techniczne (WNT) – polskie wydawnictwo założone w 1949 z siedzibą w Warszawie, do 1961 działało pod firmą Państwowe Wydawnictwa Techniczne.Logarytm binarny (dwójkowy) to logarytm o podstawie 2. Jest oznaczany na ogół symbolem log 2 ⁡ x {displaystyle log _{2}{x}} .

    a stąd

    1 (jeden, jedność) – liczba naturalna następująca po 0 i poprzedzająca 2. 1 jest też cyfrą wykorzystywaną do zapisu liczb w różnych systemach, np. w dwójkowym (binarnym), ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym systemie liczbowym. Każda liczba całkowita jest podzielna przez 1.Liczba przestępna – liczba rzeczywista lub ogólniej zespolona z {displaystyle z,} , która nie jest pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych, tzn. z {displaystyle z,} jest liczbą przestępną, gdy:
    więc również i

    Czyli ciąg jest niemalejący.

    Stała – pewien symbol, któremu przyporządkowana jest określona zdefiniowana wartość. Ścisła definicja uzależniona jest od dziedziny matematyki, w której obiekt jest stosowany.Bogdan Miś (ur. 24 grudnia 1936 w Warszawie) – z wykształcenia matematyk, z zawodu dziennikarz i popularyzator nauki.

    Podłóżmy i zauważmy, że

    Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą określany nazwiskiem Leonharda Eulera.

    Z nierówności (1) zastosowanej do oraz otrzymujemy, że:

    Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę naturalną różną od zera.Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

    Stąd a więc też

    Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu; precyzyjniej: wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

    Czyli ciąg jest niemalejący. Ponieważ to możemy wywnioskować że ciąg jest nierosnący, a stąd

    Logarytm naturalny (logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny) – logarytm o podstawie e = 2,718 281 828…, gdzie e jest liczbą Eulera. Oznaczany jest typowo symbolem „ln”.Funkcja monotoniczna – funkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku zbiorów. Pojęcie powstałe pierwotnie na gruncie analizy zostało uogólnione na gruncie teorii porządku.

    Ciąg jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez ), a więc jest zbieżny.

    Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS, czasami nazywana również od nazwiska autora encyklopedią Sloane) - internetowa, darmowa baza ciągów liczb całkowitych.

    Suma szeregu[ | edytuj kod]

    Jako suma szeregu, jest określana przez

    gdzie jest silnią liczby

    Podsilnia (ang. subfactorial) – w kombinatoryce liczba tzw. nieporządków zbioru skończonego, gdzie „nieporządkiem” nazywa się każdą permutację bez punktów stałych wspomnianego zbioru. Po raz pierwsze wzory opisujące nieporządki pojawiają się w pracach Eulera i Bernoulliego; podsilnia z nieujemnej liczby całkowitej jest równa permanentowi macierzy z zerami na głównej przekątnej i jedynkami poza nią stopnia równego wspomnianej liczbie.Hiperbola − krzywa stożkowa będąca zbiorem takich punktów, że wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch punktów, nazywanych ogniskami hiperboli, jest stała.

    Za pomocą całki[ | edytuj kod]

    Pole powierzchni pod hiperbolą jest równe 1

    Liczbę można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:

    (to znaczy, że liczba e to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą od 1 do jest równe 1).

    Za pomocą funkcji[ | edytuj kod]

    Wykres funkcji

    Liczbę e można również zdefiniować jako taki argument funkcji

    dla którego jej wartość jest największa.

    Własności[ | edytuj kod]

  • jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite w 1873 roku, w dziele „Sur la fonction expentielle”).
  • jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1
  • jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.
  • pochodna funkcji
  • całka funkcji gdzie C jest dowolną stałą całkowania.
  • z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie jest odwrotną do logarytmu naturalnego:
  • Jest jednym z elementów wzoru Eulera (zwanego też „najpiękniejszym wzorem matematyki”), wiążącej z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną , , jednością i zerem:


  • Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]




    Reklama

    Czas generowania strony: 1.24 sek.