• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Podstawa logarytmu naturalnego



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której funkcja sinus przyjmuje wartość 0.W rachunku całkowym, każda całka nieoznaczona danej funkcji (tj. zbiór funkcji pierwotnych) jest zapisywana jako suma jednej z funkcji pierwotnych oraz stałej, zwanej stałą całkowania. Jeżeli dziedziną funkcji f jest przedział, to stała ta parametryzuje rodzinę funkcji pierwotnych.

    Podstawa logarytmu naturalnego, liczba e, liczba Eulera, liczba Neperastała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459, oznacza się ją literą e.

    Definicja[ | edytuj kod]

    Liczba e może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.

    Granica – pojęcie używane w matematyce określające zachowania funkcji, a w szczególności ciągu, gdy ich argumenty "zbliżają się" do pewnej wartości lub nieskończoności. Granice używane są w rachunku różniczkowo-całkowym i innych działach analizy matematyczej do definiowania pochodnych i ciągłości.Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

    Granica ciągu[ | edytuj kod]

    Jako granica ciągu, e jest określana przez Dowód zbieżności

    Wykażemy, że ciąg gdzie jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.

    Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).

    Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb zachodzi następująca nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:

    Wykres funkcji – potocznie graficzne przedstawienie funkcji. Ogólniej, w matematyce wykresem funkcji f : X → Y {displaystyle f:X o Y} , gdzie X {displaystyle X} i Y {displaystyle Y} są dowolnymi zbiorami, nazywamy podzbiór S ⊂ X × Y {displaystyle Ssubset X imes Y} dany wzorem:Nieporządek - w kombinatoryce permutacja elementów zbioru, która nie pozostawia żadnego elementu na swoim oryginalnym miejscu (innymi słowy nie posiada żadnego punktu stałego).

    Rozważając oraz otrzymujemy

    Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.Silnią liczby naturalnej n (w notacji matematycznej: n!, co czytamy „n silnia”) nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie n! wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

    a stąd

    Wydawnictwa Naukowo-Techniczne (WNT) – polskie wydawnictwo założone w 1949 z siedzibą w Warszawie, do 1961 działało pod firmą Państwowe Wydawnictwa Techniczne.Logarytm binarny (dwójkowy) to logarytm o podstawie 2. Jest oznaczany na ogół symbolem log 2 ⁡ x {displaystyle log _{2}{x}} .
    więc również i

    Czyli ciąg jest niemalejący.

    1 (jeden, jedność) – liczba naturalna następująca po 0 i poprzedzająca 2. 1 jest też cyfrą wykorzystywaną do zapisu liczb w różnych systemach, np. w dwójkowym (binarnym), ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym systemie liczbowym. Każda liczba całkowita jest podzielna przez 1.Liczba przestępna – liczba rzeczywista lub ogólniej zespolona z {displaystyle z,} , która nie jest pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych, tzn. z {displaystyle z,} jest liczbą przestępną, gdy:

    Podłóżmy i zauważmy, że

    Stała – pewien symbol, któremu przyporządkowana jest określona zdefiniowana wartość. Ścisła definicja uzależniona jest od dziedziny matematyki, w której obiekt jest stosowany.Bogdan Miś (ur. 24 grudnia 1936 w Warszawie) – z wykształcenia matematyk, z zawodu dziennikarz i popularyzator nauki.

    Z nierówności (1) zastosowanej do oraz otrzymujemy, że:

    Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą określany nazwiskiem Leonharda Eulera.

    Stąd a więc też

    Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę naturalną różną od zera.Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

    Czyli ciąg jest niemalejący. Ponieważ to możemy wywnioskować że ciąg jest nierosnący, a stąd

    Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu; precyzyjniej: wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

    Ciąg jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez ), a więc jest zbieżny.

    Logarytm naturalny (logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny) – logarytm o podstawie e = 2,718 281 828…, gdzie e jest liczbą Eulera. Oznaczany jest typowo symbolem „ln”.Funkcja monotoniczna – funkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku zbiorów. Pojęcie powstałe pierwotnie na gruncie analizy zostało uogólnione na gruncie teorii porządku.

    Suma szeregu[ | edytuj kod]

    Jako suma szeregu, e jest określana przez

    gdzie jest silnią liczby

    Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS, czasami nazywana również od nazwiska autora encyklopedią Sloane) - internetowa, darmowa baza ciągów liczb całkowitych.

    Za pomocą całki[ | edytuj kod]

    Pole powierzchni pod hiperbolą jest równe 1

    Liczbę e można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:

    (to znaczy, że liczba e to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą od 1 do e jest równe 1).

    Podsilnia (ang. subfactorial) – w kombinatoryce liczba tzw. nieporządków zbioru skończonego, gdzie „nieporządkiem” nazywa się każdą permutację bez punktów stałych wspomnianego zbioru. Po raz pierwsze wzory opisujące nieporządki pojawiają się w pracach Eulera i Bernoulliego; podsilnia z nieujemnej liczby całkowitej jest równa permanentowi macierzy z zerami na głównej przekątnej i jedynkami poza nią stopnia równego wspomnianej liczbie.Hiperbola − krzywa stożkowa będąca zbiorem takich punktów, że wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch punktów, nazywanych ogniskami hiperboli, jest stała.

    Za pomocą funkcji[ | edytuj kod]

    Wykres funkcji

    Liczbę e można również zdefiniować jako taki argument funkcji

    dla którego jej wartość jest największa.

    Własności[ | edytuj kod]

  • e jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite w 1873 roku, w dziele „Sur la fonction expentielle”).
  • e jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1
  • e jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.
  • pochodna funkcji
  • całka funkcji gdzie C jest dowolną stałą całkowania.
  • z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie e jest odwrotną do logarytmu naturalnego:
  • Jest jednym z elementów wzoru Eulera (zwanego też „najpiękniejszym wzorem matematyki”), wiążącej e z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną i, π, jednością i zerem:


  • Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]




    Reklama

    Czas generowania strony: 0.083 sek.