Podstawa logarytmu naturalnego, liczba
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
, liczba Eulera, liczba Nepera – stała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459, oznacza się ją literą
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
.
Granica – pojęcie używane w matematyce określające zachowania funkcji, a w szczególności ciągu, gdy ich argumenty "zbliżają się" do pewnej wartości lub nieskończoności. Granice używane są w rachunku różniczkowo-całkowym i innych działach analizy matematyczej do definiowania pochodnych i ciągłości.Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei
Liczba
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.
Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).
Jako granica ciągu,
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
jest określana przez
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
.
{\displaystyle \mathrm {e} =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}.}
Dowód zbieżności
Wykażemy, że ciąg
{
a
n
}
n
∈
N
,
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },}
gdzie
a
n
=
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle a_{n}=\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}
jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.
Wykres funkcji – potocznie graficzne przedstawienie funkcji. Ogólniej, w matematyce wykresem funkcji
f
:
X
→
Y
{displaystyle f:X o Y}
, gdzie
X
{displaystyle X}
i
Y
{displaystyle Y}
są dowolnymi zbiorami, nazywamy podzbiór
S
⊂
X
×
Y
{displaystyle Ssubset X imes Y}
dany wzorem:Nieporządek - w kombinatoryce permutacja elementów zbioru, która nie pozostawia żadnego elementu na swoim oryginalnym miejscu (innymi słowy nie posiada żadnego punktu stałego).
Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb
x
1
,
…
,
x
n
+
1
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n+1}}
zachodzi następująca nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:
Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.Silnią liczby naturalnej n (w notacji matematycznej: n!, co czytamy „n silnia”) nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie n! wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.
Rozważając
x
1
=
⋯
=
x
n
=
1
+
1
n
{\displaystyle x_{1}=\dots =x_{n}=1+{\tfrac {1}{n}}}
oraz
x
n
+
1
=
1
,
{\displaystyle x_{n+1}=1,}
otrzymujemy
Wydawnictwa Naukowo-Techniczne (WNT) – polskie wydawnictwo założone w 1949 z siedzibą w Warszawie, do 1961 działało pod firmą Państwowe Wydawnictwa Techniczne.Logarytm binarny (dwójkowy) to logarytm o podstawie 2. Jest oznaczany na ogół symbolem
log
2
x
{displaystyle log _{2}{x}}
.
1
+
1
n
+
⋯
+
1
+
1
n
+
1
n
+
1
⩾
(
(
1
+
1
n
)
…
(
1
+
1
n
)
⋅
1
)
1
/
(
n
+
1
)
,
{\displaystyle {\frac {1+{\tfrac {1}{n}}+\dots +1+{\tfrac {1}{n}}+1}{n+1}}\geqslant \left((1+{\tfrac {1}{n}})\dots (1+{\tfrac {1}{n}})\cdot 1\right)^{1/(n+1)},}
a stąd
1 (jeden, jedność) – liczba naturalna następująca po 0 i poprzedzająca 2. 1 jest też cyfrą wykorzystywaną do zapisu liczb w różnych systemach, np. w dwójkowym (binarnym), ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym systemie liczbowym. Każda liczba całkowita jest podzielna przez 1.Liczba przestępna – liczba rzeczywista lub ogólniej zespolona
z
{displaystyle z,}
, która nie jest pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych, tzn.
z
{displaystyle z,}
jest liczbą przestępną, gdy:
(
n
+
2
n
+
1
)
n
+
1
⩾
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle \left({\tfrac {n+2}{n+1}}\right)^{n+1}\geqslant \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}

więc również
(
1
+
1
n
+
1
)
n
+
1
⩾
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle \left(1+{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{n+1}\geqslant \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}

i
a
n
+
1
⩾
a
n
.
{\displaystyle a_{n+1}\geqslant a_{n}.}
Czyli ciąg
(
a
n
)
n
{\displaystyle (a_{n})_{n}}
jest niemalejący.
Stała – pewien symbol, któremu przyporządkowana jest określona zdefiniowana wartość. Ścisła definicja uzależniona jest od dziedziny matematyki, w której obiekt jest stosowany.Bogdan Miś (ur. 24 grudnia 1936 w Warszawie) – z wykształcenia matematyk, z zawodu dziennikarz i popularyzator nauki.
Podłóżmy
b
n
=
(
1
+
1
n
)
n
+
1
{\displaystyle b_{n}=\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n+1}}
i zauważmy, że
a
n
⩽
b
n
=
1
(
n
n
+
1
)
n
+
1
=
1
(
1
−
1
n
+
1
)
n
+
1
.
{\displaystyle a_{n}\leqslant b_{n}={\frac {1}{\left({\tfrac {n}{n+1}}\right)^{n+1}}}={\frac {1}{\left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{n+1}}}.}
Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą określany nazwiskiem Leonharda Eulera.
Z nierówności (1) zastosowanej do
x
1
=
⋯
=
x
n
+
1
=
1
−
1
n
+
1
{\displaystyle x_{1}=\dots =x_{n+1}=1-{\tfrac {1}{n+1}}}
oraz
x
n
+
2
=
1
{\displaystyle x_{n+2}=1}
otrzymujemy, że:
Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę naturalną różną od zera.Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.
1
−
1
n
+
1
+
⋯
+
1
−
1
n
+
1
+
1
n
+
2
⩾
(
(
1
−
1
n
+
1
)
…
(
1
−
1
n
+
1
)
⋅
1
)
1
/
(
n
+
2
)
.
{\displaystyle {\frac {1-{\frac {1}{n+1}}+\dots +1-{\frac {1}{n+1}}+1}{n+2}}\geqslant \left(\left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)\dots \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)\cdot 1\right)^{1/(n+2)}.}
Stąd
(
n
+
1
n
+
2
)
n
+
2
⩾
(
1
−
1
n
+
1
)
n
+
1
,
{\displaystyle \left({\tfrac {n+1}{n+2}}\right)^{n+2}\geqslant \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{n+1},}
a więc też
(
1
−
1
n
+
2
)
n
+
2
⩾
(
1
−
1
n
+
1
)
n
+
1
.
{\displaystyle \left(1-{\tfrac {1}{n+2}}\right)^{n+2}\geqslant \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{n+1}.}
Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu; precyzyjniej: wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.
Czyli ciąg
(
(
1
−
1
n
+
1
)
n
+
1
)
n
∈
N
{\displaystyle {\Big (}(1-{\tfrac {1}{n+1}})^{n+1}{\Big )}_{n\in \mathbb {N} }}
jest niemalejący. Ponieważ
b
n
=
1
(
1
−
1
n
+
1
)
n
+
1
,
{\displaystyle b_{n}={\frac {1}{(1-{\frac {1}{n+1}})^{n+1}}},}
to możemy wywnioskować że ciąg
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
jest nierosnący, a stąd
Logarytm naturalny (logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny) – logarytm o podstawie e = 2,718 281 828…, gdzie e jest liczbą Eulera. Oznaczany jest typowo symbolem „ln”.Funkcja monotoniczna – funkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku zbiorów. Pojęcie powstałe pierwotnie na gruncie analizy zostało uogólnione na gruncie teorii porządku.
a
1
⩽
a
2
⩽
…
⩽
a
n
⩽
b
n
⩽
…
⩽
b
2
⩽
b
1
.
{\displaystyle a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant \ldots \leqslant a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant \ldots \leqslant b_{2}\leqslant b_{1}.}
Ciąg
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez
b
1
{\displaystyle b_{1}}
), a więc jest zbieżny.
Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS, czasami nazywana również od nazwiska autora encyklopedią Sloane) - internetowa, darmowa baza ciągów liczb całkowitych.
Jako suma szeregu,
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
jest określana przez
e
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
=
1
0
!
+
1
1
!
+
1
2
!
+
1
3
!
+
1
4
!
+
…
,
{\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\dots ,}
gdzie
n
!
{\displaystyle n!}
jest silnią liczby
n
.
{\displaystyle n.}
Podsilnia (ang. subfactorial) – w kombinatoryce liczba tzw. nieporządków zbioru skończonego, gdzie „nieporządkiem” nazywa się każdą permutację bez punktów stałych wspomnianego zbioru. Po raz pierwsze wzory opisujące nieporządki pojawiają się w pracach Eulera i Bernoulliego; podsilnia z nieujemnej liczby całkowitej jest równa permanentowi macierzy z zerami na głównej przekątnej i jedynkami poza nią stopnia równego wspomnianej liczbie.Hiperbola − krzywa stożkowa będąca zbiorem takich punktów, że wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch punktów, nazywanych ogniskami hiperboli, jest stała.
Pole powierzchni pod hiperbolą jest równe 1
Liczbę
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:
∫
1
e
1
t
d
t
=
1
{\displaystyle \int \limits _{1}^{\mathrm {e} }{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t={1}}
(to znaczy, że liczba e to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą
f
(
t
)
=
1
/
t
{\displaystyle f(t)=1/t}
od 1 do
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
jest równe 1).
Za pomocą funkcji[ | edytuj kod]
Wykres funkcji
f
(
x
)
=
x
1
/
x
{\displaystyle f(x)=x^{1/x}}

Liczbę e można również zdefiniować jako taki argument funkcji
f
(
x
)
=
x
1
/
x
,
x
>
0
{\displaystyle f(x)=x^{1/x},\quad x>0}
dla którego jej wartość jest największa.
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite w 1873 roku, w dziele „Sur la fonction expentielle”).
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.
pochodna funkcji
(
e
x
)
′
=
e
x
{\displaystyle (\mathrm {e} ^{x})'=\mathrm {e} ^{x}}
całka funkcji
∫
e
x
d
x
=
e
x
+
C
,
{\displaystyle \int \mathrm {e} ^{x}\,\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C,}
gdzie C jest dowolną stałą całkowania.
z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
jest odwrotną do logarytmu naturalnego:
ln
e
x
=
x
{\displaystyle \ln \mathrm {e} ^{x}=x}
e
ln
x
=
x
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\ln x}=x}
Jest jednym z elementów wzoru Eulera (zwanego też „najpiękniejszym wzorem matematyki”), wiążącej
e
{\displaystyle \mathrm {e} }
z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
,
π
{\displaystyle \mathrm {\pi } }
, jednością i zerem:
e
i
π
+
1
=
0
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i\pi } }+1=0}
Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]