Podstawa logarytmu naturalnego, liczba e {\displaystyle \mathrm {e} } , liczba Eulera, liczba Nepera – stała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459, oznacza się ją literą e {\displaystyle \mathrm {e} } .

Definicja[ | edytuj kod]

Liczba e {\displaystyle \mathrm {e} } może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.

Granica ciągu[ | edytuj kod]

Jako granica ciągu, e {\displaystyle \mathrm {e} } jest określana przez e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n . {\displaystyle \mathrm {e} =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}.} Dowód zbieżności

Wykażemy, że ciąg { a n } n ∈ N , {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },} gdzie a n = ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle a_{n}=\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}} jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.

Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb x 1 , … , x n + 1 {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n+1}} zachodzi następująca nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:

Rozważając x 1 = ⋯ = x n = 1 + 1 n {\displaystyle x_{1}=\dots =x_{n}=1+{\tfrac {1}{n}}} oraz x n + 1 = 1 , {\displaystyle x_{n+1}=1,} otrzymujemy

1 + 1 n + ⋯ + 1 + 1 n + 1 n + 1 ⩾ ( ( 1 + 1 n ) … ( 1 + 1 n ) ⋅ 1 ) 1 / ( n + 1 ) , {\displaystyle {\frac {1+{\tfrac {1}{n}}+\dots +1+{\tfrac {1}{n}}+1}{n+1}}\geqslant \left((1+{\tfrac {1}{n}})\dots (1+{\tfrac {1}{n}})\cdot 1\right)^{1/(n+1)},}

a stąd

( n + 2 n + 1 ) n + 1 ⩾ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle \left({\tfrac {n+2}{n+1}}\right)^{n+1}\geqslant \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}

( 1 + 1 n + 1 ) n + 1 ⩾ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle \left(1+{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{n+1}\geqslant \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}

a n + 1 ⩾ a n . {\displaystyle a_{n+1}\geqslant a_{n}.}

Czyli ciąg ( a n ) n {\displaystyle (a_{n})_{n}} jest niemalejący.

Podłóżmy b n = ( 1 + 1 n ) n + 1 {\displaystyle b_{n}=\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n+1}} i zauważmy, że a n ⩽ b n = 1 ( n n + 1 ) n + 1 = 1 ( 1 − 1 n + 1 ) n + 1 . {\displaystyle a_{n}\leqslant b_{n}={\frac {1}{\left({\tfrac {n}{n+1}}\right)^{n+1}}}={\frac {1}{\left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{n+1}}}.}

Z nierówności (1) zastosowanej do x 1 = ⋯ = x n + 1 = 1 − 1 n + 1 {\displaystyle x_{1}=\dots =x_{n+1}=1-{\tfrac {1}{n+1}}} oraz x n + 2 = 1 {\displaystyle x_{n+2}=1} otrzymujemy, że:

1 − 1 n + 1 + ⋯ + 1 − 1 n + 1 + 1 n + 2 ⩾ ( ( 1 − 1 n + 1 ) … ( 1 − 1 n + 1 ) ⋅ 1 ) 1 / ( n + 2 ) . {\displaystyle {\frac {1-{\frac {1}{n+1}}+\dots +1-{\frac {1}{n+1}}+1}{n+2}}\geqslant \left(\left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)\dots \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)\cdot 1\right)^{1/(n+2)}.}

Stąd ( n + 1 n + 2 ) n + 2 ⩾ ( 1 − 1 n + 1 ) n + 1 , {\displaystyle \left({\tfrac {n+1}{n+2}}\right)^{n+2}\geqslant \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{n+1},} a więc też ( 1 − 1 n + 2 ) n + 2 ⩾ ( 1 − 1 n + 1 ) n + 1 . {\displaystyle \left(1-{\tfrac {1}{n+2}}\right)^{n+2}\geqslant \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{n+1}.}

Czyli ciąg ( ( 1 − 1 n + 1 ) n + 1 ) n ∈ N {\displaystyle {\Big (}(1-{\tfrac {1}{n+1}})^{n+1}{\Big )}_{n\in \mathbb {N} }} jest niemalejący. Ponieważ b n = 1 ( 1 − 1 n + 1 ) n + 1 , {\displaystyle b_{n}={\frac {1}{(1-{\frac {1}{n+1}})^{n+1}}},} to możemy wywnioskować że ciąg ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} jest nierosnący, a stąd

a 1 ⩽ a 2 ⩽ … ⩽ a n ⩽ b n ⩽ … ⩽ b 2 ⩽ b 1 . {\displaystyle a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant \ldots \leqslant a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant \ldots \leqslant b_{2}\leqslant b_{1}.}

Ciąg ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez b 1 {\displaystyle b_{1}} ), a więc jest zbieżny.

Suma szeregu[ | edytuj kod]

Jako suma szeregu, e {\displaystyle \mathrm {e} } jest określana przez e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + … , {\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\dots ,}

gdzie n ! {\displaystyle n!} jest silnią liczby n . {\displaystyle n.}

Za pomocą całki[ | edytuj kod]

Pole powierzchni pod hiperbolą jest równe 1

Liczbę e {\displaystyle \mathrm {e} } można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że: ∫ 1 e 1 t d t = 1 {\displaystyle \int \limits _{1}^{\mathrm {e} }{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t={1}}

(to znaczy, że liczba e to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą f ( t ) = 1 / t {\displaystyle f(t)=1/t} od 1 do e {\displaystyle \mathrm {e} } jest równe 1).

Za pomocą funkcji[ | edytuj kod]

Wykres funkcji f ( x ) = x 1 / x {\displaystyle f(x)=x^{1/x}}

Liczbę e można również zdefiniować jako taki argument funkcji f ( x ) = x 1 / x , x > 0 {\displaystyle f(x)=x^{1/x},\quad x>0}

dla którego jej wartość jest największa.

Własności[ | edytuj kod]

e {\displaystyle \mathrm {e} } jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite w 1873 roku, w dziele „Sur la fonction expentielle”).

e {\displaystyle \mathrm {e} } jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1

e {\displaystyle \mathrm {e} } jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.

pochodna funkcji ( e x ) ′ = e x {\displaystyle (\mathrm {e} ^{x})'=\mathrm {e} ^{x}}

całka funkcji ∫ e x d x = e x + C , {\displaystyle \int \mathrm {e} ^{x}\,\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C,} gdzie C jest dowolną stałą całkowania.

z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie e {\displaystyle \mathrm {e} } jest odwrotną do logarytmu naturalnego: ln ⁡ e x = x {\displaystyle \ln \mathrm {e} ^{x}=x} e ln ⁡ x = x {\displaystyle \mathrm {e} ^{\ln x}=x}

Jest jednym z elementów wzoru Eulera (zwanego też „najpiękniejszym wzorem matematyki”), wiążącej e {\displaystyle \mathrm {e} } z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną i {\displaystyle \mathrm {i} } , π {\displaystyle \mathrm {\pi } } , jednością i zerem: e i π + 1 = 0 {\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i\pi } }+1=0}