Podstawa logarytmu naturalnego

Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]

Przeczytaj także...
Zero (zapisywane jako 0) – element neutralny dodawania; najmniejsza nieujemna liczba. To, czy zero jest uznawane za liczbę naturalną, jest kwestią umowy – czasem włącza się, a czasem wyklucza się je z tego zbioru. Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina – stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której funkcja sinus przyjmuje wartość 0.

Podstawa logarytmu naturalnego, liczba e, liczba Eulera, liczba Nepera – stała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459, oznacza się ją literą e.

Spis treści

1 Definicja

1.1 Granica ciągu

1.2 Suma szeregu

1.3 Przy pomocy całki

1.4 Przy pomocy funkcji

2 Właściwości

3 Wzory na obliczenie e

3.1 Granice ciągów

3.2 Szeregi nieskończone

3.3 Iloczyny nieskończone

4 Kultura e

5 Inne interpretacje liczby e

6 Dowód niewymierności e

W rachunku całkowym, każda całka nieoznaczona danej funkcji (tj. zbiór funkcji pierwotnych) jest zapisywana jako suma jednej z funkcji pierwotnych oraz stałej, zwanej stałą całkowania. Jeżeli dziedziną funkcji f jest przedział, to stała ta parametryzuje rodzinę funkcji pierwotnych.Granica – pojęcie używane w matematyce określające zachowania funkcji, a w szczególności ciągu, gdy ich argumenty "zbliżają się" do pewnej wartości lub nieskończoności. Granice używane są w rachunku różniczkowo-całkowym i innych działach analizy matematyczej do definiowania pochodnych i ciągłości.

Definicja[]

Liczba e jest zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.

Granica ciągu[]

Jako granica ciągu, e jest określana przez e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}} $e=\lim _{{n\to \infty }}\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$ Dowód zbieżności

Wykażemy, że ciąg { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} $\{a_{n}\}_{{n\in {\mathbb {N}}}}$ , gdzie a n = ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle a_{n}=\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}} $a_{n}=\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$ jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.

Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z EleiProsta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).

Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb x 1 , … , x n + 1 {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n+1}} $x_{1},\ldots ,x_{{n+1}}$ zachodzi następująca nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:

MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).Wykres funkcji – potocznie graficzne przedstawienie funkcji. Ogólniej, w matematyce wykresem funkcji f : X → Y {displaystyle f:X o Y} , gdzie X {displaystyle X} i Y {displaystyle Y} są dowolnymi zbiorami, nazywamy podzbiór S ⊂ X × Y {displaystyle Ssubset X imes Y} dany wzorem:

Rozważając x 1 = ⋯ = x n = 1 + 1 n {\displaystyle x_{1}=\dots =x_{n}=1+{\tfrac {1}{n}}} $x_{1}=\dots =x_{n}=1+{\tfrac {1}{n}}$ oraz x n + 1 = 1 {\displaystyle x_{n+1}=1} $x_{{n+1}}=1$ otrzymujemy

Ciąg – w matematyce pojęcie oddające intuicję ponumerowania, czy też uporządkowania elementów zbioru. W zależności od rodzaju elementów zbioru stosuje się różne nazwy: w przypadku liczb mówi się o ciągach liczbowych, bądź bardziej precyzyjnie, np. w przypadku zbioru liczb całkowitych, rzeczywistych czy zespolonych, ciąg nazywa się wtedy odpowiednio ciągiem całkowitoliczbowym, rzeczywistym i zespolonym. Jeśli elementami zbioru są funkcje, to ciąg nazywa się ciągiem funkcyjnym. Ciąg powstały poprzez wybranie elementów innego ciągu nazywa się podciągiem.Silnią liczby naturalnej n (w notacji matematycznej: n!, co czytamy „n silnia”) nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie n! wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

{{1+{\tfrac {1}{n}}+\dots +1+{\tfrac {1}{n}}+1} \over {n+1}}\geqslant \left((1+{\tfrac {1}{n}})\dots (1+{\tfrac {1}{n}})\cdot 1\right)^{{1/(n+1)}}

a stąd

Wydawnictwa Naukowo-Techniczne (WNT) – polskie wydawnictwo założone w 1949 z siedzibą w Warszawie, do 1961 działało pod firmą Państwowe Wydawnictwa Techniczne.Logarytm binarny (dwójkowy) to logarytm o podstawie 2. Jest oznaczany na ogół symbolem log 2 ⁡ x {displaystyle log _{2}{x}} .

\left({\tfrac {n+2}{n+1}}\right)^{{n+1}}\geqslant \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}

więc również

\left(1+{\tfrac 1{n+1}}\right)^{{n+1}}\geqslant \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}

a_{{n+1}}\geqslant a_{n}

. Czyli ciąg

(a_{n})_{n}

jest niemalejący.

Podłóżmy b n = ( 1 + 1 n ) n + 1 {\displaystyle b_{n}=\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n+1}} $b_{n}=\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{{n+1}}$ i zauważmy, że a n ⩽ b n = 1 ( n n + 1 ) n + 1 = 1 ( 1 − 1 n + 1 ) n + 1 {\displaystyle a_{n}\leqslant b_{n}={1 \over \left({\tfrac {n}{n+1}}\right)^{n+1}}={1 \over \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{n+1}}} $a_{n}\leqslant b_{n}={1 \over \left({\tfrac {n}{n+1}}\right)^{{n+1}}}={1 \over \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{{n+1}}}$ .

1 (jeden, jedność) – liczba naturalna następująca po 0 i poprzedzająca 2. 1 jest też cyfrą wykorzystywaną do zapisu liczb w różnych systemach, np. w dwójkowym (binarnym), ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym systemie liczbowym. Każda liczba całkowita jest podzielna przez 1.Liczba przestępna – liczba rzeczywista lub ogólniej zespolona z {displaystyle z,} , która nie jest pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych, tzn. z {displaystyle z,} jest liczbą przestępną, gdy:

Z nierówności (1) zastosowanej do x 1 = ⋯ = x n + 1 = 1 − 1 n + 1 {\displaystyle x_{1}=\dots =x_{n+1}=1-{\tfrac {1}{n+1}}} $x_{1}=\dots =x_{{n+1}}=1-{\tfrac {1}{n+1}}$ oraz x n + 2 = 1 {\displaystyle x_{n+2}=1} $x_{{n+2}}=1$ otrzymujemy, że:

Stała – pewien symbol, któremu przyporządkowana jest określona zdefiniowana wartość. Ścisła definicja uzależniona jest od dziedziny matematyki, w której obiekt jest stosowany.Bogdan Miś (ur. 24 grudnia 1936 w Warszawie) – z wykształcenia matematyk, z zawodu dziennikarz i popularyzator nauki.

{{1-{\frac {1}{n+1}}+\dots +1-{\frac {1}{n+1}}+1} \over {n+2}}\geqslant \left(\left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)\dots \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)\cdot 1\right)^{{1/(n+2)}}

Stąd ( n + 1 n + 2 ) n + 2 ⩾ ( 1 − 1 n + 1 ) n + 1 {\displaystyle \left({\tfrac {n+1}{n+2}}\right)^{n+2}\geqslant \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{n+1}} $\left({\tfrac {n+1}{n+2}}\right)^{{n+2}}\geqslant \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{{n+1}}$ a więc też ( 1 − 1 n + 2 ) n + 2 ⩾ ( 1 − 1 n + 1 ) n + 1 {\displaystyle \left(1-{\tfrac {1}{n+2}}\right)^{n+2}\geqslant \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{n+1}} $\left(1-{\tfrac {1}{n+2}}\right)^{{n+2}}\geqslant \left(1-{\tfrac {1}{n+1}}\right)^{{n+1}}$ . Czyli ciąg ( ( 1 − 1 n + 1 ) n + 1 ) n ∈ N {\displaystyle {\Big (}(1-{\tfrac {1}{n+1}})^{n+1}{\Big )}_{n\in \mathbb {N} }} ${\Big (}(1-{\tfrac {1}{n+1}})^{{n+1}}{\Big )}_{{n\in {\mathbb N}}}$ jest niemalejący. Ponieważ b n = 1 ( 1 − 1 n + 1 ) n + 1 {\displaystyle b_{n}={1 \over (1-{\frac {1}{n+1}})^{n+1}}} $b_{n}={1 \over (1-{\frac {1}{n+1}})^{{n+1}}}$ , to możemy wywnioskować że ciąg ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} $(b_n)$ jest nierosnący, a stąd

Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą określany nazwiskiem Leonharda Eulera.

a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant \ldots \leqslant a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant \ldots \leqslant b_{2}\leqslant b_{1}

Ciąg ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} $(a_{n})$ jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez b 1 {\displaystyle b_{1}} $b_{1}$ ), a więc jest zbieżny.

Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę naturalną różną od zera.Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Suma szeregu[]

Jako suma szeregu, e jest określana przez e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + ⋯ {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots } $e=\sum _{{n=0}}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots$

gdzie n! jest silnią liczby n.

Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu; precyzyjniej: wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

Przy pomocy całki[]

Pole powierzchni pod hiperbolą jest równe 1

Liczbę e można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że: ∫ 1 e 1 t d t = 1 {\displaystyle \int \limits _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt={1}} $\int \limits _{{1}}^{{e}}{\frac {1}{t}}\,dt={1}$

(to znaczy, że liczba e to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą f ( t ) = 1 / t {\displaystyle f(t)=1/t} $f(t)=1/t$ od 1 do e jest równe 1).

Logarytm naturalny (logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny) – logarytm o podstawie e = 2,718 281 828…, gdzie e jest liczbą Eulera. Oznaczany jest typowo symbolem „ln”.Funkcja monotoniczna – funkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku zbiorów. Pojęcie powstałe pierwotnie na gruncie analizy zostało uogólnione na gruncie teorii porządku.

Przy pomocy funkcji[]

Wykres funkcji

f(x)=x^{{1/x}}

Liczbę e można również zdefiniować jako taki argument funkcji

Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS, czasami nazywana również od nazwiska autora encyklopedią Sloane) - internetowa, darmowa baza ciągów liczb całkowitych.

f(x)=x^{{1/x}}

x>0

dla którego jej wartość jest największa.

Hiperbola − krzywa stożkowa będąca zbiorem takich punktów, że wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch punktów, nazywanych ogniskami hiperboli, jest stała.

Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]

w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)