• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Podgrupa



    Podstrony: 1 [2] [3]
    Przeczytaj także...
    Zbiory rozłączne – dwa zbiory, których część wspólna jest zbiorem pustym. Inaczej mówiąc, zbiory nie mające wspólnego elementu.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.

    Podgrupazbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

    Podgrupy to te z podzbiorów grup, które odzwierciedlają i zachowują ich strukturę algebraiczną; badanie podgrup danej grupy (nazywanej czasem w tym kontekście nadgrupą) dostarcza o niej wielu istotnych informacji, umożliwiając głębsze zrozumienie jej budowy. Niekiedy podgrupy wkomponowane są w grupę w szczególny sposób: są niezmiennikami przekształceń algebraicznych (podgrupa normalna, podgrupa charakterystyczna), umożliwiają jednoznaczne przedstawienie elementu grupy jako sumy/iloczynu elementów ich „rozłącznych” podgrup (składnik/czynnik prosty, zob. suma prosta/iloczyn prosty podgrup); w teorii grup przemiennych rozpatruje się podgrupy czyste oraz podgrupy istotne o nieco słabszych, lecz nadal przydatnych, własnościach (przy potencjalnie większej ich liczbie, co ułatwia wskazanie podgrup o lepszych własnościach).

    Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).

    Charakteryzacje[ | edytuj kod]

     Zapoznaj się również z: grupapodzbiór.

    Niech będzie grupą; podzbiór który tworzy grupę ze względu na działanie określone na nazywa się podgrupą grupy i oznacza zwykle . Podgrupę jako grupę charakteryzują następujące warunki:

    Grupa diedralna a. dwuścianu – w teorii grup, dziale algebry, grupa przekształceń, mianowicie izometrii płaszczyznowych, wielokąta foremnego przekształcająca go na siebie (tzw. „izometrii własnych”) albo ogólniej: dowolna grupa o strukturze identycznej ze strukturą grupy symetrii tego wielokąta (tzn. z nią izomorficzną); zarazem jest to grupa izometrii parzystych (tzn. zachowujących orientację) dwuścianu foremnego w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej: symetriom wielokąta odpowiadają obroty przestrzeni trójwymiarowej.Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości nazywanej modułem, często określanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pełny wykład arytmetyki reszt przedstawił Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae („Badania arytmetyczne”, 1801).
  • Wewnętrzność: działanie grupowe na jest zawężeniem działania grupy do zbioru dlatego iloczyn elementów obliczany jest jako iloczyn elementów oraz w grupie aby uzyskać dwuargumentowe działanie wewnętrzne na dane wzorem tak jak w grupie potrzeba, a zarazem wystarcza, by dla wszystkich Innymi słowy zbiór musi być zamknięty ze względu na działanie w
  • Łączność: działanie w musi być łączne, czyli dla wszystkich musi zachodzić wiadomo jednak, że dla a ponieważ to powyższy warunek odnosi się w szczególności do elementów w ten sposób łączność działania w dana jest z góry (tzn. wynika wprost z łączności działania w ).
  • Element neutralny: zbiór nie może być pusty, gdyż jako grupa musi mieć element neutralny; niech spełnia dla dowolnego w szczególności dla elementu neutralnego grupy zachodzi a ponieważ to z charakteryzacji elementu neutralnego grupy wynika, że jest elementem neutralnym grupy oznacza to, że element neutralny grupy jest zarazem elementem neutralnym w o ile tylko należy on do tzn. nie trzeba szukać elementu neutralnego w gdyż jest on niejako z góry – wystarczy tylko sprawdzić, czy element neutralny w należy do
  • Odwracalność: dla każdego musi istnieć dla których odczytanie tego równania w grupie daje natychmiastowo rozwiązanie w postaci elementu odwrotnego do w grupie element odwrotny do istnieje w dlatego nie trzeba go szukać, lecz wystarczy sobie jedynie zapewnić, iż element odwrotny do należący do jest również elementem
  • Podsumowując: niepusty podzbiór grupy jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy

    Grupa doskonała – w teorii grup grupa pokrywająca się ze swoim komutantem lub równoważnie grupa nie mająca nietrywialnych ilorazów abelowych. O grupach takich można myśleć jako o „wyjątkowo nieprzemiennych”.Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np.
  • jest zamknięty na działanie: dla wszystkich
  • zawiera element neutralny grupy:
  • jest zamknięty na odwracanie: dla każdego
  • Co więcej, drugi warunek wynika z pierwszego i trzeciego: niech (gdyż jest niepusty, ), wtedy z trzeciego warunku a więc na mocy pierwszego, co daje Innymi słowy sprawdzenie, czy można pominąć zakładając, iż jest niepusty; z drugiej strony jeśli nie wiadomo a priori, czy to najszybszym sposobem zapewnienia tego warunku jest właśnie sprawdzenie, czy Na podstawie powyższych obserwacji można zatem sformułować

    Warstwa – w teorii grup podzbiór danej grupy będący jednym z równolicznych elementów jej podziału wyznaczonego przez ustaloną podgrupę, czyli klasa równoważności pewnej relacji równoważności związanej ze wspomnianą podgrupą; jako klasy ustalonej równoważności są one rozłączne, niepuste, a ich zbiór sumuje się do całej grupy.Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.
    Kryterium bycia podgrupą Niepusty podzbiór grupy jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki oraz

    Powyższe dwa warunki (wraz z ) często łączy się w jeden: dla wszystkich ; jest on zupełnie równoważny warunkowi dla wszystkich . W przypadku skończonym wystarczający jest warunek zamkniętości działania, tzn. prawdziwe jest następujące

    Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.
    Kryterium bycia podgrupą skończoną Niepusty podzbiór skończony grupy bądź niepusty podzbiór grupy skończonej jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich .
    Twierdzenie o dzieleniu z resztą – twierdzenie matematyczne mówiące o możliwości przedstawienia danej liczby całkowitej, dzielnej, w postaci sumy iloczynu ilorazu przez (niezerowy) dzielnik oraz reszty. Innymi słowy twierdzenie mówi, ile razy (iloraz) dana liczba (dzielnik) mieści się w całości w innej (dzielna) oraz jaka część (reszta) tej liczby nie została wydzielona. Stosuje się także skróconą wersję nazwy: twierdzenie o dzieleniu.Rząd – w teorii grup pojęcie oddające intuicję „rozmiaru” (w sensie „rzędu wielkości”) danej grupy i ułatwiające przy tym opis jej podgrup; w szczególności rzędem elementu nazywa się rząd („rozmiar”) najmniejszej (pod)grupy zawierającej ten element.


    Podstrony: 1 [2] [3]




    Warto wiedzieć że... beta

    Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.
    Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
    Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa) – grupa wszystkich odwracalnych (czyli grupa multiplikatywna pierścienia) macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad danym pierścieniem.
    Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.
    Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi istnieje izometria (są izometryczne) nazywne są przystającymi.
    Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność).
    Działanie lub operacja – w matematyce i logice przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami elementu nazywanego wynikiem. Badaniem działań w ogólności zajmuje się dział nazywany algebrą uniwersalną, zbiory z choć jednym określonym na nim działaniem algebraicznym nazywa się algebrami ogólnymi (często krótko: algebrami), samą rodzinę działań określa się nazwą „sygnatura”.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.076 sek.