• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Podbaza przestrzeni topologicznej

    Przeczytaj także...
    Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).Półpłaszczyzna – każda z dwóch części płaszczyzny, na jakie dzieli ją leżąca na niej prosta, wraz z tą prostą. Prosta ta jest wspólnym brzegiem wspomnianych półpłaszczyzn.
    Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

    Podbaza przestrzeni topologicznejrodzina zbiorów otwartych przestrzeni topologicznej mająca tę własność, że rodzina wszystkich części wspólnych skończonej liczby zbiorów podbazy jest bazą przestrzeni.

    Ściśle biorąc, podane pojęcie podbazy definiuje podbazę otwartą, lecz zwykle o takich właśnie bazach się mówi. Pojęcie podbazy domkniętej podane jest niżej.

    Przykłady[ | edytuj kod]

  • rodzina wszystkich przedziałów postaci (a, +∞) lub (-∞, a) na osi liczbowej jest podbazą zbioru R liczb rzeczywistych
  • rodzina wszystkich półpłaszczyzn otwartych jest podbazą naturalnej (metrycznej) topologii płaszczyzny euklidesowej
  • Określanie topologii za pomocą podbazy[ | edytuj kod]

    Dowolną rodzinę podzbiorów danego zbioru można przyjąć za podbazę pewnej topologii, o ile zawiera ona zbiór pusty oraz suma wszystkich zbiorów tej rodziny jest całą przestrzenią. Za zbiory otwarte należy wówczas przyjąć sumy dowolnej liczby skończonych przecięć elementów podbazy.

    Przedział – zbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.Baza przestrzeni topologicznej – dla danej przestrzeni topologicznej X, rodzina otwartych podzbiorów przestrzeni X o tej własności, że każdy zbiór otwarty w X można przedstawić w postaci sumy pewnej podrodziny zawartej w bazie. Każda przestrzeń topologiczna ma bazę – jeżeli τ jest topologią w zbiorze X, to jest ona również (trywialnie) jej bazą. Obrazowo, baza przestrzeni topologicznej to taka rodzina zbiorów otwartych, że każdy niepusty i otwarty podzbiór tej przestrzeni można wysumować przy pomocy pewnych (być może nieskończenie wielu) elementów bazy. W praktyce matematycznej związanej z badaniem własności konkretnych przestrzeni topologicznych, istotnym zagadnieniem jest pytanie o minimalną moc bazy przestrzeni (zob. ciężar przestrzeni poniżej). Tak zdefiniowane pojęcie nosi też czasem nazwę bazy otwartej (zob. też baza domknięta poniżej). Pojęcia pokrewne pojęciu bazy przestrzeni topologicznej to, na przykład, π-baza, podbaza czy pseudobaza.

    Na przykład wyróżniając jako podbazę rodzinę wszystkich przedziałów postaci (a, +∞) oraz zbiór pusty określamy pewną topologię w zbiorze liczb rzeczywistych – nie jest to jednak topologia euklidesowa.

    Podbaza domknięta[ | edytuj kod]

    Analogicznie definiuje się pojęcie podbazy domkniętej – jest to taka rodzina podzbiorów domkniętych danej przestrzeni, że rodzina sum skończonej liczby elementów podbazy tworzy bazę domkniętą.

    Zobacz też[ | edytuj kod]

  • baza
  • Zbiór pusty - zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. W teorii mnogości ZF, będącej najpopularniejszą aksjomatyką współczesnej matematyki, istnienie zbioru pustego postuluje aksjomat zbioru pustego, natomiast aksjomat ekstensjonalności gwarantuje jego jedyność. Zbiór pusty oznaczany jest zwykle symbolami ∅ {displaystyle varnothing } , ∅ {displaystyle emptyset } , ∅ bądź {}.Część wspólna zbiorów A i B (przekrój, iloczyn mnogościowy, przecięcie zbiorów) – zbiór, który zawiera te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.011 sek.