• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Piramida Sierpińskiego

    Przeczytaj także...
    Continuum - w topologii ogólnej, niepusta przestrzeń topologiczna, która jest zarazem zwarta i spójna. Teoria continuów jest gałęzią topologii zajmującą się studiowaniem własności continuów i odwzorowań między nimi. Continua dzieli się zasadniczo na dwie klasy:Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali. Znany był na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz Benoit Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru była podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915.
    Czworościan foremny (gr. tetraedr) – czworościan, którego ściany są identycznymi trójkątami równobocznymi. Jeden z pięciu wielościanów foremnych. Posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki. Czworościan foremny jest przykładem trójwymiarowego sympleksu. Czworościan foremny jest dualny do samego siebie. Kanoniczne współrzędne wierzchołków czworościanu to (1, 1, 1), (–1, –1, 1), (–1, 1, –1) i (1, –1, –1).

    Piramida Sierpińskiego, Gąbka Sierpińskiego, tetrixzbiór fraktalny, trójwymiarowy odpowiednik trójkąta Sierpińskiego.

    Konstrukcja[]

    Piramida Sierpińskiego – 5. etap konstrukcji
    Progresja rekurencji piramidy poprzez 7 kroków

    Piramida Sierpińskiego powstaje z czworościanu foremnego przez wykonanie następującego algorytmu:

    1. Weź ostrosłup o krawędzi długości x.
    2. Utwórz 4 ostrosłupy o krawędzi długości 1/2x i umieść je w przestrzeni tak, by zawierały się w dużym ostrosłupie oraz każdy miał wspólny jeden wierzchołek z dużym ostrosłupem.
    3. Usuń ośmiościan foremny, który pozostaje w środku dużego ostrosłupa (o wierzchołkach w 1/2x).
    4. Do każdego z 4 małych ostrosłupów zastosuj ten algorytm.

    Po nieskończonej liczbie powtórzeń opisanych operacji otrzymujemy piramidę Sierpińskiego.

    Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który:Kostka Mengera, gąbka Mengera – bryła fraktalna, trójwymiarowy odpowiednik zbioru Cantora i dywanu Sierpińskiego. Wymiar fraktalny kostki Mengera wynosi:

    Własności[]

  • Piramida Sierpińskiego jest continuum jednowymiarowym.
  • Każda ściana piramidy Sierpińskiego jest trójkątem Sierpińskiego.
  • Miara Lebesgue'a piramidy Sierpińskiego wynosi zero.
  • Wymiar fraktalny piramidy wynosi 2.
  • Program w ]

    Krótki program w języku Mathematica. Procedura rekurencyjna SiPyramid generuje piramidę dowolnego rzędu n:

    Algorytm – w matematyce skończony ciąg jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego rodzaju zadań. Słowo "algorytm" pochodzi od starego angielskiego słowa algorism, oznaczającego wykonywanie działań przy pomocy liczb arabskich (w odróżnieniu od abacism – przy pomocy abakusa), które z kolei wzięło się od nazwiska, które nosił Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي), matematyk perski z IX wieku.Mathematica - komercyjny system obliczeń symbolicznych i numerycznych opracowany w 1988 przez Stephena Wolframa. W ciągu przeszło 20 lat istnienia Mathematica stała się bardzo popularna w środowisku naukowców i inżynierów.
    vect[1] = {0, 0, 0};
    vect[2] = {1, 0, 0};
    vect[3] = {0.5, 3^0.5/2, 0};
    vect[4] = {0.5, 1/3*3^0.5/2, ((3^0.5/2)^2 - (1/3*3^0.5/2)^2)^0.5};
    Tetron[{i_, j_, k_}] := 
     Tetrahedron[{vect[1] + {i, j, k}, vect[2] + {i, j, k}, vect[3] + {i, j, k}, vect[4] + {i, j, k}}];
    SiPyramid[0, {i_, j_, k_}] := {Tetron[{i, j, k}]};
    SiPyramid[n_, {i_, j_, k_}] := 
      Module[{s = {}}, 
       Do[s = Union[s, 
          SiPyramid[n - 1, 2^(n - 1)*vect[u] + {i, j, k}]], {u, 4}]; s];
    

    Zobacz też[]

  • trójkąt Sierpińskiego
  • dywan Sierpińskiego
  • kostka Mengera
  • fraktal
  • Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.015 sek.