Pierwiastnik

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pierwiastnik względem ustalonych liczb – wyrażenie algebraiczne zbudowane z tych liczb za pomocą czterech podstawowych działań arytmetycznych oraz pierwiastków stopni naturalnych.

Równanie sześcienne lub trzeciego stopnia – równanie algebraiczne postaci a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , {displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,} gdzie a ≠ 0. {displaystyle a eq 0.} Każde równanie sześcienne o współczynnikach rzeczywistych ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.Twierdzenie Abela-Ruffiniego – głosi, że pierwiastki równania algebraicznego stopnia wyższego niż 4 nie dają się wyrazić w ogólnej postaci za pomocą czterech działań algebraicznych i pierwiastkowania poprzez współczynniki równania w skończonej liczbie kroków (czyli poprzez tak zwane pierwiastniki).

Pierwiastnikiem względem liczb oraz jest np. Wyrażenie to można zatem zapisać z użyciem skończonej ilości znaków czterech działań arytmetycznych i działania pierwiastkowania.

Biblioteka Wirtualna Nauki – jedna z pierwszych w Polsce bibliotek cyfrowych. Jest to system udostępniania naukowych baz danych przez internet, prowadzony przez Interdyscyplinarne Centrum Modelowania Matematycznego i Komputerowego Uniwersytetu Warszawskiego we współpracy z Biblioteką Uniwersytecką w Warszawie.Niccolò Fontana Tartaglia (ur. 1499 lub 1500 w Brescia, zm. 13 grudnia 1557 w Wenecji) – matematyk włoski, autor prac z dziedziny matematyki, mechaniki, balistyki, geodezji, teorii fortyfikacji itp. Autor pierwszego przekładu Elementów Euklidesa (1543) na język nowożytny – włoski.

Definicja formalna[ | edytuj kod]

Definicja (dla podciał ciała liczb zespolonych)[ | edytuj kod]

Liczbę zespoloną można przedstawić za pomocą pierwiastników, jeśli istnieją liczby zespolone oraz liczby naturalne takie, że kładąc

Równanie algebraiczne – równanie w postaci W(x) = 0, gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n jednej lub wielu zmiennych (n ≥ 0). Więc równanie algebraiczne jednej zmiennej to równanie w postaciLodovico Ferrari (ur. 2 lutego 1522 w Bolonii, zm. 5 października 1565 tamże) – matematyk włoski, odkrywca metody rozwiązywania równań czwartego stopnia.
(ciało liczb wymiernych), (rozszerzenie ciała o element ) dla

będziemy mieli

Évariste Galois (IPA: [evaˈʁist ɡalˈwa], ur. 25 października 1811 r. w Bourg-la-Reine k. Paryża, zm. 31 maja 1832 r. w Paryżu) – francuski matematyk o dużych zasługach dla rozwoju algebry, w szczególności zagadnienia rozwiązywalności równań wielomianowych.Wacław Franciszek Sierpiński (ur. 14 marca 1882 w Warszawie, zm. 21 października 1969 w Warszawie) – polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej. Był jednym z twórców polskiej szkoły matematycznej.
  • dla wszystkich oraz
  • Liczbę nazywa się stopniem powyższego przedstawienia.

    Charakterystyka – dla danego pierścienia z jedynką najmniejsza liczba elementów neutralnych mnożenia pierścienia (tzw. jedynek), które należy do siebie dodać, aby uzyskać element neutralny dodawania (tzn. zero); mówi się, że pierścień ma charakterystykę zero, jeżeli taka liczba nie istnieje. Innymi słowy jest to najmniejsza dodatnia liczba całkowita n , {displaystyle n,} która spełniaPierre Laurent Wantzel (ur. 5 czerwca 1814 r. w Paryżu, zm. 21 maja 1848 r. w Paryżu) – matematyk francuski, autor twierdzenia o konstruowalności figur płaskich za pomocą cyrkla i linijki.

    Jeśli powyżej zastąpimy przez pewne ciało to otrzymamy definicję przedstawialności liczby w pierwiastnikach nad ciałem Jeśli to powiemy, że jest przedstawialna w pierwiastnikach względem .

    Wyrażenie algebraiczne – syntaktycznie wyrażenie matematyczne, złożone z jednego lub większej liczby symboli algebraicznych (tzn. stałych lub zmiennych), połączonych znakami działań (+, -, ·, /, potęgi i pierwiastka) i ewentualnie nawiasów, zgodnie z regułami notacji matematycznej.Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

    Definicja 2 (ogólniejsza)[ | edytuj kod]

    Niech będzie ciałem o charakterystyce 0. Element jest pierwiastnikowy względem ciała (albo element a wyraża się przez pierwiastniki względem ciała ), gdy istnieje ciąg ciał oraz dla których zachodzi warunek:

    Pierwiastkowanie – w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane działaniem; często można jednak ograniczyć dziedzinę działania potęgowania tak, by możliwe było jego odwrócenie (dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).Niels Henrik Abel (ur. 5 sierpnia 1802 w Findö koło Stavanger, zm. 6 kwietnia 1829 w Frolandsvark pod Arendal), matematyk norweski. Udowodnił niemożliwość rozwiązania równania algebraicznego stopnia wyższego niż cztery przez pierwiastniki, prowadził badania w dziedzinie teorii szeregów i całek eliptycznych.
  • dla ciało jest ciałem rozkładu wielomianu postaci
  • Zbiór elementów pierwiastnikowych względem ciała oznacza się zwykle przez i nazywa domknięciem pierwiastnikowym ciała .

    Rozszerzenie ciała - w teorii ciał jest to większe w sensie inkluzji ciało zawierające dane ciało. Na przykład, ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych; ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciał liczb rzeczywistych (więc także wymiernych). Rozszerzenia ciał są centralnym pojęciem teorii Galois. Wyróżnia się wiele rodzajów rozszerzeń ciał ze względu na ich własności.

    Jeśli jest ciałem charakterystyki to powyższy warunek definicji zastępuje się następującym:

  • dla ciało jest ciałem rozkładu wielomianu postaci gdzie albo wielomianu postaci .


  • Podstrony: 1 [2] [3]




    Reklama