• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Pierwiastkowanie



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Robert Recorde (ur. ok. 1510, zm. 1558) – walijski fizyk i matematyk. Przypisuje mu się autorstwo znaku równości "=" użytego w dziele The Whetstone of Witte wydanym w 1557.Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).
    Fragment wykresu funkcji

    Pierwiastkowanie – operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ może istnieć wiele liczb, które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę (są to tzw. pierwiastki algebraiczne), to pierwiastkowanie nie może być w ogólności traktowane jako działanie. Jeśli jednak odpowiednio ograniczyć dziedzinę działania potęgowania, to potęgowanie staje się funkcją odwracalną (i ta funkcja odwrotna wyznacza tzw. pierwiastki arytmetyczne).

    Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

    Pierwiastki można też zdefiniować dla liczb zespolonych; pierwiastki zespolone z jedynki odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część teorii Galois skupia się na wskazaniu, które z liczb algebraicznych można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do twierdzenia Abela-Ruffiniego mówiącego, iż ogólny wielomian stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw. pierwiastników, tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków.

    Odległość Minkowskiego – w matematyce uogólniona miara odległości między punktami przestrzeni euklidesowej; niekiedy nazywa się także odległością Lm. Można o niej myśleć jako o uogólnieniu odległości euklidesowej (L2), miejskiej (L1, w teorii informacji znanej jako odległość Hamminga) oraz Czebyszewa (L∞, tzn. Lm w granicy przy m → ∞).Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.

    Pierwiastki pojawiają się np. w definicji średniej geometrycznej, w pierwiastkowym kryterium Cauchy’ego na zbieżność szeregu liczbowego albo w definicji odległości Minkowskiego.

    Definicja[ | edytuj kod]

    Niech dana będzie dodatnia liczba całkowita nazywana stopniem. Pierwiastkiem z liczby stopnia nazywa się taką liczbę która podniesiona do n-tej potęgi jest równa innymi słowy jest to dowolna liczba spełniająca równość

    Kartezjusz (fr. René Descartes, łac. Renatus Cartesius, ur. 31 marca 1596 w La Haye-en-Touraine w Turenii, zm. 11 lutego 1650 w Sztokholmie) – francuski filozof, matematyk i fizyk, jeden z najwybitniejszych uczonych XVII wieku, uważany za prekursora nowożytnej kultury umysłowej.Geometria (La Géometrie) – traktat francuskiego filozofa René Descartes’a, który był jedynym traktatem matematycznym wydanym za jego życia. Geometria jest uznawana za jedno z najważniejszych dzieł w historii całej matematyki.

    Innymi słowy, pierwiastek stopnia z liczby jest pierwiastkiem wielomianu zmiennej

    Litera – znak graficzny charakterystyczny dla pism fonetycznych. Może wyrażać pojedynczą głoskę, sylabę lub wchodzić w skład innych połączeń - np. dwuznaków. W języku francuskim zestaw nawet pięciu liter może oznaczać jedną głoskę.Działanie lub operacja – w matematyce i logice przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami elementu nazywanego wynikiem. Badaniem działań w ogólności zajmuje się dział nazywany algebrą uniwersalną, zbiory z choć jednym określonym na nim działaniem algebraicznym nazywa się algebrami ogólnymi (często krótko: algebrami), samą rodzinę działań określa się nazwą „sygnatura”.

    Pierwiastek w powyższym sensie nazywa się często pierwiastkiem algebraicznym; każda dodatnia liczba rzeczywista ma jeden dodatni pierwiastek n-tego stopnia, nazywany często pierwiastkiem arytmetycznym. Pierwiastkiem n-tego stopnia z zera jest W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje nieujemna liczba rzeczywista, co umożliwia określenie działania pierwiastkowania w zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych.

    Fibonacci (Leonardo z Pizy; ur. około 1175 r. - zm. 1250 r.) - włoski matematyk. Znany jako: Leonardo Fibonacci, Filius Bonacci (syn Bonacciego), Leonardo Pisano (z Pizy).Zasada dobrego uporządkowania – reguła matematyczna mówiąca, że każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych zawiera element najmniejszy.

    Dla nieparzystych każda ujemna liczba ma ujemny pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia (również nazywany pierwiastkiem arytmetycznym), choć nie jest to prawdą dla parzystych

    Pierwiastek stopnia 2 nazywa się pierwiastkiem kwadratowym, zaś stopnia 3 – pierwiastkiem sześciennym; pierwiastki wyższych stopni identyfikuje się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.

    Twierdzenie Abela-Ruffiniego – głosi, że pierwiastki równania algebraicznego stopnia wyższego niż 4 nie dają się wyrazić w ogólnej postaci za pomocą czterech działań algebraicznych i pierwiastkowania poprzez współczynniki równania w skończonej liczbie kroków (czyli poprzez tak zwane pierwiastniki).Alfabet arabski – alfabetyczne pismo używane do zapisu języka arabskiego. Powstało z nabatejskiej odmiany pisma aramejskiego. Pismo arabskie rozpowszechnione jest w krajach muzułmańskich.

    Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu (zob. wyżej), pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby odpowiadają kolejno symbole itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, niemniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne.

    Gerard z Kremony (ur. 1114, zm. 1187) – tłumacz dzieł arabskich działający w szkole tłumaczy w Toledo. Urodzony w Cremonie przybył do Kastylii, gdzie idealne warunki do studiowania języka arabskiego znalazł w Toledo.Niemcy – naród zamieszkujący przede wszystkim Republikę Federalną Niemiec, posługujący się językiem niemieckim z grupy języków germańskich. Pod względem wyznaniowym Niemcy podzieleni są na katolików (płd. i zach. Niemcy) i protestantów (płn. i wsch. Niemcy).

    W analizie matematycznej pierwiastki traktuje się jako przypadki szczególne potęgowania o wykładniku ułamkowym, tzn.

    Przykłady i własności[ | edytuj kod]

    Liczba 2 jest pierwiastkiem czwartego stopnia z 16, gdyż Jest to jedyna dodatnia liczba rzeczywista o tej własności i to właśnie ona nazywana jest pierwiastkiem arytmetycznym; innym pierwiastkiem rzeczywistym tej liczby jest -2; istnieją także dwa nierzeczywiste pierwiastki tej liczby, które wraz z 2 oraz -2 są pierwiastkami algebraicznymi 4. stopnia z 16.

    Arabowie (arab.: عرب ’Arab, w pierwotnym znaczeniu: „koczownicy”) – grupa ludów pochodzenia semickiego zamieszkująca od czasów starożytnych Półwysep Arabski. Większość Arabów to ludzie biali, choć w Afryce spotkać też można Arabów o negroidalnym wyglądzie.Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.

    Przykładem pierwiastka z liczby ujemnej może być lecz nie istnieje żaden rzeczywisty pierwiastek szóstego stopnia z jakiejkolwiek liczby ujemnej.

    Kartezjusz (fr. René Descartes, łac. Renatus Cartesius, ur. 31 marca 1596 w La Haye-en-Touraine w Turenii, zm. 11 lutego 1650 w Sztokholmie) – francuski filozof, matematyk i fizyk, jeden z najwybitniejszych uczonych XVII wieku, uważany za prekursora nowożytnej kultury umysłowej.Dowód nie wprost (dowód apagogiczny, dowód sokratejski, łac. reductio ad absurdum - sprowadzenie do sprzeczności), to forma dowodu logicznego, w którym z założenia o nieprawdziwości tezy wyprowadza się sprzeczność ze zdaniem prawdziwym (założenie nieprawdziwości twierdzenia prowadzi do sprzeczności), co pozwala przyjąć że zaprzeczenie tezy jest fałszywe, a sama teza prawdziwa. Inaczej sposób dowodzenia twierdzeń przez wykazanie sprzeczności między zaprzeczeniem dowodzonej tezy a przyjętymi założeniami.

    Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest albo liczbą naturalną, albo niewymierną; przykładem liczby naturalnej, której pierwiastek jest niewymierny jest 2:

    Pierwiastki stopni całkowitych z liczb niewymiernych są niewymierne, bo liczba wymierna podniesiona do potęgi o dowolnym wykładniku całkowitym daje liczbę wymierną. Mimo wszystko wszystkie pierwiastki liczb całkowitych, a nawet liczb algebraicznych, są algebraiczne.

    Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste nie będące liczbami wymiernymi, czyli takie liczby rzeczywiste których nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb: liczby całkowitej przez liczbę naturalną różną od zera.Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

    Jeżeli są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś są dodatnimi liczbami całkowitymi, to:

  • dla
  • Pierwiastek można również wyrazić w postaci szeregu:

    Pierwiastnik względem ustalonych liczb to w algebrze wyrażenie algebraiczne zbudowane z tych liczb za pomocą czterech podstawowych działań arytmetycznych, potęg o wykładnikach naturalnych (skrócony zapis wielokrotnego mnożenia) oraz pierwiastków stopni naturalnych.Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.

    o ile Wyrażenie to można wyprowadzić z szeregu dwumianowego.

    Wyrażenie algebraiczne – syntaktycznie wyrażenie matematyczne, złożone z jednego lub większej liczby symboli algebraicznych (tzn. stałych lub zmiennych), połączonych znakami działań (+, -, ·, /, potęgi i pierwiastka) i ewentualnie nawiasów, zgodnie z regułami notacji matematycznej.Znak liczby – właściwość liczby rzeczywistej określająca jej relację względem liczby 0. Liczba może mieć jeden z trzech znaków:


    Podstrony: 1 [2] [3] [4]




    Warto wiedzieć że... beta

    Jeśli n jest dowolną liczbą naturalną różną od 0, to pierwiastkiem z jedynki n-tego stopnia nazywa się dowolną liczbę zespoloną z spełniającą równość:
    Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi (أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي) – perski matematyk, astronom, geograf i kartograf pochodzenia chorezmijskiego żyjący w IX wieku (prawdopodobnie ok. 780 - ok. 850).
    Potęgowanie – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.
    Teoria Galois – nosząca nazwisko Évariste’a Galois teoria matematyczna, a dokładniej teoria algebry abstrakcyjnej, wskazująca związki między teorią ciał a teorią grup. Umożliwia ona redukcję pewnych problemów teorii ciał do zagadnień w pewnym sensie prostszej i lepiej poznanej teorii grup.
    Dziedzina relacji (dwuczłonowej) – zbiór wszystkich poprzedników par należących do danej relacji. W szczególności dziedziną funkcji nazywa się zbiór wszystkich dopuszczalnych argumentów danej funkcji, lub – dla funkcji wieloargumentowej – zbiór par, trójek lub ogólnie krotek jej argumentów.
    Łacina, język łaciński (łac. lingua Latina, Latinus sermo) – język indoeuropejski z podgrupy latynofaliskiej języków italskich, wywodzący się z Lacjum (łac. Latium), krainy w starożytnej Italii, na północnym skraju której znajduje się Rzym.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.043 sek.