• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Pierścień z jedynką

    Przeczytaj także...
    Ideał maksymalny – w teorii pierścieni ideał, który jest maksymalny (względem zawierania zbiorów) wśród wszystkich ideałów właściwych danego pierścienia; innymi słowy jest to taki ideał właściwy, który nie zawiera się w żadnym innym ideale danego pierścienia.Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.
    Półpierścień – struktura algebraiczna podobna do pierścienia, która jednak nie musi być grupą względem dodawania. Oznacza to, że elementy półpierścienia nie muszą mieć elementu przeciwnego do siebie.

    Pierścień z jedynkąpierścień, w którym istnieje element neutralny mnożenia, nazwany jedynką.

    Jedynka pierścienia oznaczana jako spełnia więc warunek, który formalnie można zapisać dla każdego elementu pierścienia .

    Innymi słowy, pierścień z jedynką jest monoidem ze względu na mnożenie. Jeśli pierścień nie jest pierścieniem trywialnym (tzn. ma co najmniej 2 elementy), to . Jeśli jest homomorfizmem pierścieni i jest jedynką pierścienia , to jest jedynką pierścienia . W pierścieniach z jedynką istnieje przynajmniej jeden ideał maksymalny (twierdzenie Krulla).

    Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

    Dołączanie jedynki do pierścienia[]

    Dowolny pierścień można zanurzyć w pewnym pierścieniu z jedynką. W tym celu wystarczy w iloczynie kartezjańskim zdefiniować dwa działania:

    Monoid - półgrupa, której działanie ma element neutralny. Formalnie, monoid to algebra ( S , e , ∗ ) {displaystyle (S,e,*)} , sygnatury ( 0 , 2 ) {displaystyle (0,2)} , gdzie S jest niepustym zbiorem, natomiastTwierdzenie Krulla – twierdzenie teorii pierścieni mówiące o istnieniu ideałów maksymalnych w dowolnym nietrywialnym pierścieniu z jedynką lub równoważnie: każdy ideał właściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym danego nietrywialnego pierścienia z jedynką. Twierdzenie to zostało sformułowane w 1929 roku przez Wolfganga Krulla i jest równoważne z aksjomatem wyboru (gdyż wykorzystuje równoważny z nim lemat Kuratowskiego-Zorna).
    , .

    Łatwo sprawdzić, że struktura z powyższymi działaniami jest pierścieniem oraz, że para jest jego jedynką.

    Ideał – w algebrze abstrakcyjnej, podzbiór pierścienia o własnościach pozwalających na konstrukcję pierścienia ilorazowego. Pojęcie ideału zostało wprowadzone przez Dedekinda jako uogólnienie pojęcia liczby idealnej, rozważanego przez Kummera. Badania Dedekinda były kontynuowane przez Hilberta i, szczególnie, przez Emmę Noether.Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

    Łatwo również zauważyć, że zbiór

    jest podpierścieniem pierścienia izomorficznym z . Izomorfizm ten realizuje więc zanurzenie w . Pierścień jest przy tym ideałem pierścienia .

    Jeśli oznaczyć jako , to gdzie oraz , można zapisać w postaci .

    Zobacz też[]

  • pierścień Boole'a
  • półpierścień
  • moduł



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.032 sek.