• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Pierścień - matematyka



    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Algebra Boole’a – algebra ogólna stosowana w matematyce, informatyce teoretycznej oraz elektronice cyfrowej. Jej nazwa pochodzi od nazwiska matematyka, filozofa i logika George’a Boole’a. Teoria algebr Boole’a jest działem matematyki na pograniczu teorii częściowego porządku, algebry, logiki matematycznej i topologii.Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – w matematyce system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości nazywanej modułem, często określanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pełny wykład arytmetyki reszt przedstawił Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae („Badania arytmetyczne”, 1801).
    Rodzaje[]

    Podstawowa definicja pierścienia, bywa rozwijana w wielu różnych kierunkach:

  • pierścień bez dzielników zera – brak właściwych dzielników zera (zob. dalej):
  • pierścień z dzieleniem – dowolny niezerowy element ma element odwrotny (zakłada się, że pierścień ma jedynkę):
  • Element odwrotny do (względem mnożenia; w powyższym aksjomacie) oznacza się zwykle symbolami lub Zbiór elementów odwracalnych pierścienia tworzy grupę ze względu na mnożenie (z jedynką jako elementem neutralnym; przemienną, jeśli pierścień jest przemienny) nazywaną także grupą multiplikatywną. W pierścieniu z dzieleniem jest

    Ideał maksymalny – w teorii pierścieni ideał, który jest maksymalny (względem zawierania zbiorów) wśród wszystkich ideałów właściwych danego pierścienia; innymi słowy jest to taki ideał właściwy, który nie zawiera się w żadnym innym ideale danego pierścienia.Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np.

    Pierścień z jedynką bez dzielników zera nazywa się dziedziną. Ponieważ własność dzielenia pociąga za sobą brak dzielników zera, to każdy pierścień z dzieleniem jest pierścieniem bez dzielników zera, a więc dziedziną. Dziedziny przemienne określa się nazwą dziedzina całkowitości (także: pierścień całkowity; niekiedy nie wyróżnia się nieprzemiennych dziedzin całkowitości, wówczas często skraca się nazwę tej struktury do: dziedzina). Pierścień przemienny z dzieleniem (lub z powyższej obserwacji: dziedzinę całkowitości z dzieleniem) nazywa się ciałem.

    Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym. R {displaystyle R} jest pierścieniem z dzieleniem (algebrą łączną z dzieleniem) wtedy i tylko wtedy, gdy R ∗ = R ∖ { 0 } {displaystyle R^{*}=Rsetminus {0}} ; w przeciwnym razie zbiór R ∗ {displaystyle R^{*}} jest mniejszy, np. Z ∗ = { 1 , − 1 } {displaystyle mathbb {Z} ^{*}={1,-1}} ;

    Przykłady[]

    Do najprostszych uniwersalnych przykładów należą:

  • pierścień trywialny, zawierający dokładnie jeden element,
  • pierścień zerowy, w którym mnożenie przez dowolny element daje zero.
  • Innymi ważnymi przykładami pierścieni są:

  • liczby całkowite z działaniami arytmetycznymi dodawania i mnożenia (dziedzina całkowitości),
  • pierścienie klas reszt (pierścienie przemienne z jedynką oraz ciała),
  • kwaterniony (pierścień z dzieleniem),
  • liczby całkowite Gaussa (dziedzina z jednoznacznością rozkładu, dziedzina Euklidesa),
  • liczby całkowite Eisensteina (pierścień przemienny, dziedzina Euklidesa),
  • Osobnym przykładem są pierścienie wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach z pierścienia W zachowywane są następujące własności pierścienia : przemienność, istnienie jedynki, brak dzielników zera, całkowitość (tzn. bycie dziedziną całkowitości), jednoznaczność rozkładu (twierdzenie Gaussa), noetherowskość (twierdzenie Hilberta o bazie). Jeżeli jest ciałem, to jest pierścieniem euklidesowym.

    Warstwa – w teorii grup podzbiór danej grupy będący jednym z równolicznych elementów jej podziału wyznaczonego przez ustaloną podgrupę, czyli klasa równoważności pewnej relacji równoważności związanej ze wspomnianą podgrupą; jako klasy ustalonej równoważności są one rozłączne, niepuste, a ich zbiór sumuje się do całej grupy.Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.

    Dobrze znane struktury liczb wymiernych, liczb rzeczywistych, czy liczb zespolonych z działaniami arytmetycznymi są przykładami pierścieni, jako że wszystkie są ciałami. Z kolei liczby naturalne (z działaniami arytmetycznymi) nie tworzą pierścienia, ponieważ wraz z działaniem dodawania nie tworzą nawet grupy; oktoniony również nie są pierścieniem, ponieważ mnożenie w nich określone nie jest łączne, lecz tylko alternatywne.

    Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

    Składowe[]

    Podpierścienie[]

     Osobny artykuł: podpierścień.

    Podzbiór pierścienia nazywa się podpierścieniem, jeżeli jest on zamknięty na działania pierścienia czyli sam tworzy pierścień z działaniami odziedziczonymi z :

    Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).
  • Pierwszy warunek oznacza, że musi być grupą (przemienną), drugi gwarantuje, że wynik mnożenia elementów z będzie zawierał się w tym samym zbiorze (tzn. mnożenie jest tam poprawnie określonym działaniem wewnętrznym).

    Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).Pierścień noetherowski – taki pierścień R {displaystyle R} przemienny z jedynką, którego każdy ideał właściwy jest skończenie generowany. Oznacza to, że dla każdego ideału I {displaystyle I} pierścienia R {displaystyle R} istnieją takie elementy Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): a_{1},a_{2},ldots ,a_{k}in R , że

    Ideały[]

     Osobny artykuł: ideał (teoria pierścieni).

    Podgrupę grupy addytywnej pierścienia nazywa się ideałem lewostronnym, jeżeli dla dowolnych dwóch elementów oraz spełniony jest warunek

    Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.W algebrze przemiennej, twierdzenie Hilberta o bazie stwierdza, że każdy ideał w pierścieniu wielomianów nad pierścieniem noetherowskim jest skończenie generowany. W języku geometrii algebraicznej można to wypowiedzieć następująco: każdy zbiór algebraiczny nad ciałem może być opisany jako zbiór wspólnych pierwiastków skończonej liczby wielomianów.

    Jeżeli spełnia w zamian warunek

    to nazywa się ją ideałem prawostronnym. Ideał będący zarazem lewo- jak i prawostronny nazywa się krótko ideałem; pojęcia te pokrywają się w pierścieniach przemiennych. Każdy ideał jest podpierścieniem.

    Pierścień zerowy – pierścień, którego działanie multiplikatywne (mnożenie) daje zawsze w wyniku element neutralny działania addytywnego (zero).Półpierścień – struktura algebraiczna podobna do pierścienia, która jednak nie musi być grupą względem dodawania. Oznacza to, że elementy półpierścienia nie muszą mieć elementu przeciwnego do siebie.

    W dowolnym nietrywialnym pierścieniu istnieją co najmniej dwa różne ideały: cały pierścień i podpierścień trywialny nazywa się je ideałami trywialnymi lub niewłaściwymi, wszystkie pozostałe nazywa się ideałami właściwymi.

    Teoria pierścieni – dział algebry zajmujący się badaniem pierścieni. Znajduje on szerokie zastosowanie w innych obszarach matematyki, między innymi w teorii liczb i geometrii algebraicznej.Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.

    Ze względu na inne własności wyróżnia się m.in. następujące rodzaje ideałów pierścienia :

  • ideał główny – generowany przez jeden element pierścienia,
  • ideał maksymalny – zawarty wyłącznie w ideale niewłaściwym
  • ideał pierwszy – taki, że jeśli dany element ideału jest iloczynem dwóch innych, to przynajmniej jeden z nich również należy do ideału.
  • Elementy wyróżnione[]

    Element pierścienia nazywa się

    W algebrze o grupoidzie G {displaystyle G} mówi się, że jest lewostronnie alternatywny, jeśli ( x x ) y = x ( x y ) {displaystyle (xx)y=x(xy)} dla każdego x {displaystyle x} i y {displaystyle y} w G {displaystyle G} oraz prawostronnie alternatywny, jeśli y ( x x ) = ( y x ) x {displaystyle y(xx)=(yx)x} dla każdego x {displaystyle x} i y {displaystyle y} w G {displaystyle G} . O grupoidzie będącym zarazem lewo- jak i prawostronnie alternatywnym mówi się krótko, iż jest alternatywny.Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) to liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako { a + b i : a , b ∈ Z ∧ i 2 = − 1 } {displaystyle {a+bi:a,bin mathbb {Z} wedge i^{2}=-1}} .
  • dzielnikiem zera, gdy istnieje taki niezerowy element że
  • idempotentnym, gdy
  • nilpotentnym, gdy istnieje dla którego
  • W pierścieniu skończonym (mającym skończenie wiele elementów) każdy element jest odwracalny albo jest dzielnikiem zera.

    Homomorfizm grup – przekształcenie zachowujące strukturę grup, tj. homomorfizm grup jako struktur algebraicznych. Z punktu widzenia teorii kategorii homomorfizmy grup są klasy morfizmami kategorii grup, z tego też względu nazywane są one czasem morfizmami grup.Dzielnik zera – element a {displaystyle a} pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element b {displaystyle b} spełniający a b = 0 {displaystyle ab=0} .


    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Grupa ilorazowa – w teorii grup zbiór warstw danej grupy względem jej pewnej podgrupy normalnej, tj. szczególny podział grupy (na niepuste podzbiory) uwzględniający jej strukturę, który sam tworzy grupę z naturalnie określonym działaniem pochodzącym od grupy wyjściowej. Z teoriomnogościowego punktu widzenia jest to zbiór ilorazowy, w którym wprowadzono zgodne z działaniem w grupie działanie na klasach relacji równoważności wyznaczającej wspomniany podział.
    Działanie zeroargumentowe (element wyróżniony) – w algebrze pojęcie służące do zapisu stałej jako działania algebraicznego. Ma ono swoje zastosowanie prawie wyłącznie jako element opisu pewnej algebry ogólnej: krotki zawierającej jako pierwszy element swój nośnik (zbiór elementów), a następnie działania.
    Element nilpotentny lub nilpotent pierścienia R {displaystyle R} - element x {displaystyle x} pierścienia R {displaystyle R} o tej własności, że
    Odejmowanie – jedno z czterech podstawowych działań arytmetycznych, działanie odwrotne do dodawania. Odejmowane obiekty to odpowiednio odjemna i odjemnik, wynik zaś nazywany jest różnicą.
    Pierścień z jednoznacznością rozkładu (pierścień Gaussa, UFD, od ang. unique factorization domain) – pierścień przemienny, którego każdy element nieodwracalny może być przedstawiony jako iloczyn elementów pierwszych w jednoznaczny sposób, tzn. jednoznaczny co do permutacji czynników. Pierścienie te uogólniają pierścień liczb całkowitych w ten sposób, że spełniają one także tezę podstawowego twierdzenia arytmetyki.
    Dziedzina całkowitości – niezerowy pierścień przemienny z jedynką bez (właściwych) dzielników zera. Pierścienie te są uogólnieniem pierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badania podzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. prawo skracania.
    Element nierozkładalny - element nieodwracalny pierścienia całkowitego, który nie daje się przedstawić jako iloczyn dwóch elementów nieodwracalnych, tzn. element q {displaystyle q} pierścienia całkowitego A {displaystyle A} jest nierozkładalny, gdy jest on nieodwracalny oraz jeżeli q = a b {displaystyle q=ab} dla pewnych elementów a {displaystyle a} i b {displaystyle b} pierścienia A {displaystyle A} , to element a {displaystyle a} albo element b {displaystyle b} jest odwracalny.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.061 sek.