Pi

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Jeśli średnica koła = 1, jego obwód wynosi π.

π (czyt. pi), ludolfina, stała Archimedesastosunek obwodu koła (czyli długości okręgu) do długości jego średnicy; stosunek ten jest niezależny od wyboru koła, bowiem każde dwa koła są podobne. Liczba π nazywana jest czasami stałą Archimedesa w uznaniu zasług Archimedesa z Syrakuz, który jako pierwszy badał własności i znaczenie w matematyce tej liczby; określenie ludolfina pochodzi od Ludolpha van Ceulena, który zyskał sławę przedstawiając tę liczbę z dokładnością do 35 miejsc po przecinku.

Johann Bernoulli (ur. 27 lipca 1667 w Bazylei, zm. 1 stycznia 1748 tamże) – matematyk i fizyk szwajcarski. Pochodził ze znanej rodziny matematyków – Bernoullich. Jego synem był Daniel Bernoulli, bratem – Jacob. Był profesorem uniwersytetów w Groningen (Holandia) od 1695 i Bazylei od 1705 roku. Zajmował się rachunkiem różniczkowym, całkowym i wariacyjnym oraz liniami geodezyjnymi. Sformułował i rozwiązał niezależnie od brata Jakoba zagadnienie brachistochrony. Odkrył talent matematyczny Leonharda Eulera i odwiódł jego ojca od decyzji kształcenia Leonharda na pastora.Bulletin of the American Mathematical Society (skrót: Bull. Amer. Math. Soc.) - czasopismo naukowe o tematyce matematycznej (kwartalnik), wydawane przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. W czasopiście publikowane są artykuły naukowe oraz recenzje. Czasopismo założone pod nazwą Bulletin of the New York Mathematical Society zmieniło nazwę wraz ze zmianą nazwy wydawcy na American Mathematical Society; obecnie na liście filadelfijskiej.
π

Liczba π z dokładnością do 204 miejsc po przecinku: π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 102701 938521 105559 644622 948954 930381 964428

W praktyce korzysta się z przybliżonych wartości 3,14, rzadziej z przybliżeń dokładniejszych: 3,14159 albo w postaci ułamków zwykłych np. 22/7 lub 355/113.

Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.

Liczba π jest stałą matematyczną, która pojawia się w wielu działach matematyki i fizyki. Pojawia się w geometrii np. we wzorach na pole koła i objętość kuli, w analizie matematycznej np. wielu sumach szeregów liczbowych, we wzorze całkowym Cauchy’ego. Analiza matematyczna dostarcza wielu metod obliczania jej przybliżeń z dowolną dokładnością.

Mnemotechnika, mnemonika (gr. mneme - pamięć) - ogólna nazwa sposobów ułatwiających zapamiętanie, przechowywanie i przypominanie sobie informacji.<|||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| - |||||||||| |||||||||| ||||||||||>

Oznaczenia liczby π[ | edytuj kod]

Symbol π wprowadził walijski matematyk i pisarz William Jones w monografii Synopsis Palmariorum Matheseos w 1706. π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον – perimetron, czyli obwód.

Madhava (1350 - 1425) - indyjski matematyk pochodzący z miejscowości Sangamagramma położonej w pł.-zach. Indiach. Podał m.in. wartość liczby pi z dokładnością do 11. miejsca po przecinku (3,14159265359).Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.

Oznaczenie π można znaleźć także w pracach matematyków Williama Oughtreda, Isaaca Barrowa i Davida Gregory’ego.

Ale jeszcze w 1734 r. Leonhard Euler w dziele De summis serierum reciprocarum używa oznaczenia używa też tego oznaczenia w napisanym już po wydaniu Analizy liście do Jamesa Stirlinga z 16 kwietnia 1738 r.

Podobnie Johann Bernoulli w liście napisanym do Eulera w 1739 r. używa oznaczenia dla liczby π, jednak już w następnym liście do Eulera, z początku roku 1740, stosuje on oznaczenie π.

Granica – pojęcie używane w matematyce określające zachowania funkcji, a w szczególności ciągu, gdy ich argumenty "zbliżają się" do pewnej wartości lub nieskończoności. Granice używane są w rachunku różniczkowo-całkowym i innych działach analizy matematyczej do definiowania pochodnych i ciągłości.John Wallis (ur. 23 listopada 1616, zm. 28 października 1703) – angielski duchowny i uczony: matematyk oraz kryptograf. Profesor geometrii na Oksfordzie, jeden z założycieli Royal Society.

Ostatecznie uznanie dla oznaczenia π nastąpiło po wydaniu przez Eulera w 1737 roku dzieła Analiza. Euler używał tego oznaczenia również w Introductio in Analysin Infinitorum (1748). Prawdopodobnie znaczący wpływ na popularyzację symbolu π miało jego pojawienie się w Mathematical Tables (1742) Henry’ego Sherwina.

Eudoksos z Knidos gr. Εὔδοξος ὁ Κνίδιος Eudoksos ho Knidios (ur. ok. 408 p.n.e. w Knidos, zm. ok. 355 p.n.e. tamże) – grecki astronom, matematyk, filozof i geograf pochodzący z Karii (dzisiejsza Azja Mniejsza).Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei

Niektóre wzory zawierające π[ | edytuj kod]

W | edytuj kod]

  • – pole koła o promieniu
  • obwód okręgu o promieniu
  • pole elipsy o półosiach równych i
  • objętość kuli o promieniu
  • powierzchnia kuli o promieniu
  • – objętość walca o wysokości i promieniu podstawy
  • Miara łukowa kąta półpełnego równa jest π radianów
  • W | edytuj kod]

  • (Euler),
  • (rozkład normalny)
  • (wzór Stirlinga)
  • (Wzór Eulera, nazywany również najpiękniejszym wzorem matematyki)
  • druga z powyższych całek służy do obliczania powierzchni górnego półkoła jednostkowego, trzecia do obliczania długości górnego półokręgu jednostkowego.

    W | edytuj kod]

  • Prawdopodobieństwo tego, że dwie losowo wybrane liczby całkowite są liczbami względnie pierwszymi wynosi
  • Średnia liczba sposobów na zapisanie liczby naturalnej jako sumy dwóch kwadratów liczb naturalnych, wynosi
  • W powyższych przypadkach prawdopodobieństwo i średnią rozpatruje się w sensie granicznym np. rozważamy prawdopodobieństwo dla zbioru liczb a następnie obliczamy granicę przy dążącym do nieskończoności.

    Długość krzywej – wielkość charakteryzująca krzywą; jeśli jest ona dobrze określona, to daną krzywą nazywa się prostowalną lub rektyfikowalną.Komputer (z ang. computer od łac. computare – liczyć, sumować; dawne nazwy używane w Polsce: mózg elektronowy, elektroniczna maszyna cyfrowa, maszyna matematyczna) – maszyna elektroniczna przeznaczona do przetwarzania informacji, które da się zapisać w formie ciągu cyfr albo sygnału ciągłego.

    W | edytuj kod]

  • (zasada nieoznaczoności Heisenberga)
  • równanie pola grawitacyjnego ogólnej teorii względności
  • Często występujące przekształcenia π[ | edytuj kod]

    Rozwinięcie π w | edytuj kod]

    Kilka początkowych reduktów tego ułamka:

    Kwadratura koła – problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki. Jest to jeden z trzech wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej (obok trysekcji kąta i podwojenia sześcianu), sformułowany przez szkołę pitagorejską.ENIAC (od ang. Electronic Numerical Integrator And Computer – Elektroniczny, Numeryczny Integrator i Komputer) – komputer skonstruowany w latach 1943-1945 przez J.P. Eckerta i J.W. Mauchly’ego na Uniwersytecie Pensylwanii w USA. Zaprzestano jego używania w 1955.

    Każdy z powyższych ułamków ma tę własność, że najlepiej przybliża liczbę π spośród wszystkich ułamków o mianownikach niewiększych od danego. Ponadto błąd bezwzględny tego przybliżenia jest mniejszy niż odwrotność kwadratu mianownika.

    Liu Hui (chiń. upr.: 刘徽; chiń. trad.: 劉徽; pinyin: Liú Huī; ur. ok. 220, zm. ok. 280) - chiński matematyk, w pracy opublikowanej w 264 roku metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby pi na 3,14159.William Shanks (ur. 25 stycznia 1812 w Corsenside, zm. 1882 w Houghton-le-Spring) – brytyjski matematyk−amator, znany z obliczenia liczby π.

    Np.

    MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.

    Redukt był znany w najstarszych oszacowaniach liczby π, redukt został znaleziony przez Archimedesa.

    Kazimierz Cwojdziński (ur. 8 stycznia 1878 w Plewiskach koło Poznania, zm. 12 sierpnia 1948 w Poznaniu) - matematyk polski, profesor Szkoły Inżynierskiej w Poznaniu.William Oughtred (ur. 5 marca 1574 w Eton w Anglii, zm. 30 czerwca 1660 w Albury w Anglii) – angielski matematyk, wynalazca najwcześniejszej postaci suwaka - dwu identycznych liniowych lub kolistych skal logarytmicznych ustawianych względem siebie ręcznie celem wykonywania mnożenia i dzielenia.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]




    Warto wiedzieć że... beta

    Otwarty dostęp (OD, ang. Open Access, „OA”) – oznacza wolny, powszechny, trwały i natychmiastowy dostęp dla każdego do cyfrowych form zapisu danych i treści naukowych oraz edukacyjnych.
    Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.
    <|||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| - |||||||||| |||||||||| ||||||||||>
    Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.
    Działania arytmetyczne – zwyczajowa nazwa czterech spośród działań algebraicznych: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.
    Nationalencyklopedin – największa, szwedzka encyklopedia współczesna. Jej stworzenie było możliwe dzięki kredytowi w wysokości 17 mln koron, którego udzielił rząd szwedzki w 1980 roku i który został spłacony w 1990. Drukowana wersja składa się z 20 tomów i zawiera 172 tys. haseł. Wersja internetowa zawiera 260 tys. haseł (stan z czerwca 2005). Inicjatorem projektu był rząd szwedzki, który rozpoczął negocjacje z różnymi wydawcami. Negocjacje zakończyły się w 1985, kiedy na wydawcę został wybrany Bra Böcker z Höganäs. Encyklopedia miała uwzględniać kwestie genderowe i związane z ochroną środowiska. Pierwszy tom ukazał się w 1989 roku, ostatni w 1996. Dodatkowo w roku 2000 ukazały się trzy dodatkowe tomy. Encyklopedię zamówiło 54 tys. osób. W 1997 roku ukazało się wydanie elektroniczne na CD, a w 2000 pojawiło się wydanie internetowe, które jest uzupełniane na bieżąco.
    Radian (rad) – jednostka miary łukowej kąta płaskiego zdefiniowana jako miara kąta środkowego, w którym długość łuku wyznaczonego przez kąt środkowy jest równa promieniowi okręgu. Niemianowana jednostka pochodna układu SI.

    Reklama