• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Pi



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6]
    Przeczytaj także...
    Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, społecznych itp. Wykres funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą dzwonową.David Gregory (ur. 3 czerwca 1659 w Aberdeen, zm. 10 października 1708 w Maidenhead) – szkocki matematyk i astronom. Był profesorem matematyki na Uniwersytecie w Edynburgu i profesorem astronomii na Uniwersytecie w Oksfordzie.
    π

    Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfinastała matematyczna, która pojawia się w wielu działach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której funkcja sinus przyjmuje wartość 0.

    Johann Bernoulli (ur. 27 lipca 1667 w Bazylei, zm. 1 stycznia 1748 tamże) – matematyk i fizyk szwajcarski. Pochodził ze znanej rodziny matematyków – Bernoullich. Jego synem był Daniel Bernoulli, bratem – Jacob. Był profesorem uniwersytetów w Groningen (Holandia) od 1695 i Bazylei od 1705 roku. Zajmował się rachunkiem różniczkowym, całkowym i wariacyjnym oraz liniami geodezyjnymi. Sformułował i rozwiązał niezależnie od brata Jakoba zagadnienie brachistochrony. Odkrył talent matematyczny Leonharda Eulera i odwiódł jego ojca od decyzji kształcenia Leonharda na pastora.Bulletin of the American Mathematical Society (skrót: Bull. Amer. Math. Soc.) - czasopismo naukowe o tematyce matematycznej (kwartalnik), wydawane przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. W czasopiście publikowane są artykuły naukowe oraz recenzje. Czasopismo założone pod nazwą Bulletin of the New York Mathematical Society zmieniło nazwę wraz ze zmianą nazwy wydawcy na American Mathematical Society; obecnie na liście filadelfijskiej.

    Liczba π z dokładnością do 200 miejsc po przecinku: π ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196...

    Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον – perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości liczby π, przy czym van Ceulen zrobił to z dokładnością do 35 miejsc po przecinku).

    Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.

    Spis treści

  • 1 Niewymierność i przestępność liczby π
  • 1.1 Dowód niewymierności π Ivana Nivena
  • 2 Często występujące przekształcenia π
  • 3 Najpopularniejsze aproksymacje wartości π
  • 4 Historia obliczeń wartości π
  • 4.1 Przybliżanie liczby π w starożytności
  • 4.2 Przybliżanie liczby π w średniowieczu
  • 4.3 Przybliżanie liczby π w czasach nowożytnych
  • 5 Szacowanie liczby π przy pomocy całek
  • 6 Wzory do obliczania liczby π
  • 7 Kultura π
  • 8 Znak π
  • 8.1 Porzucone oznaczenia
  • 9 Niektóre wzory zawierające π
  • 9.1 Geometria
  • 9.2 Analiza matematyczna
  • 9.3 Teoria liczb
  • 9.4 Fizyka
  • 10 Ciekawostki
  • 11 Zobacz też
  • 12 Przypisy
  • 13 Linki zewnętrzne
  • Mnemotechnika, mnemonika (gr. mneme - pamięć) - ogólna nazwa sposobów ułatwiających zapamiętanie, przechowywanie i przypominanie sobie informacji.<|||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| - |||||||||| |||||||||| ||||||||||>

    Niewymierność i przestępność liczby π[]

    Jeśli średnica koła = 1, jego obwód wynosi π.

    Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.

    Madhava (1350 - 1425) - indyjski matematyk pochodzący z miejscowości Sangamagramma położonej w pł.-zach. Indiach. Podał m.in. wartość liczby pi z dokładnością do 11. miejsca po przecinku (3,14159265359).Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.
    Przybliżona konstrukcja Kochańskiego

    To ostatecznie rozstrzyga, że niemożliwa jest klasyczna konstrukcja (wyłącznie za pomocą linijki i cyrkla) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Problem ten zwany jest kwadraturą koła i choć nie ma on ścisłego rozwiązania, to istnieją konstrukcje przybliżone. Powiązanym, również niemożliwym do rozwiązania problemem, jest problem rektyfikacji okręgu, do którego również istnieją konstrukcje przybliżone, z których za jedną z najprostszych uchodzi konstrukcja Adama Adamandego Kochańskiego.

    Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.Granica – pojęcie używane w matematyce określające zachowania funkcji, a w szczególności ciągu, gdy ich argumenty "zbliżają się" do pewnej wartości lub nieskończoności. Granice używane są w rachunku różniczkowo-całkowym i innych działach analizy matematyczej do definiowania pochodnych i ciągłości.

    Dowód niewymierności π Ivana Nivena[]

    Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności. Zakładamy, że

    dla pewnych dodatnich liczb naturalnych p i q.

    Niech dla liczby naturalnej n dane będą wielomiany

    Komputer (z ang. computer od łac. computare – liczyć, sumować; dawne nazwy używane w Polsce: mózg elektronowy, elektroniczna maszyna cyfrowa, maszyna matematyczna) – maszyna elektroniczna przeznaczona do przetwarzania informacji, które da się zapisać w formie ciągu cyfr albo sygnału ciągłego.Kwadratura koła – problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki. Jest to jeden z trzech wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej (obok trysekcji kąta i podwojenia sześcianu), sformułowany przez szkołę pitagorejską.

    oraz

    ENIAC (od ang. Electronic Numerical Integrator And Computer – Elektroniczny, Numeryczny Integrator i Komputer) – komputer skonstruowany w latach 1943-1945 przez J.P. Eckerta i J.W. Mauchly’ego na Uniwersytecie Pensylwanii w USA. Zaprzestano jego używania w 1955.Liu Hui (chiń. upr.: 刘徽; chiń. trad.: 劉徽; pinyin: Liú Huī; ur. ok. 220, zm. ok. 280) - chiński matematyk, w pracy opublikowanej w 264 roku metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby pi na 3,14159.
    .

    Ponieważ wielomian n!f(x) ma współczynniki całkowite oraz stopień równy 2n, wszystkie pochodne f mają w x = 0 wartości całkowite. Także dla x = π wartości te są całkowite, gdyż f(x) = f(p/q – x). Zachodzi ponadto związek

    William Shanks (ur. 25 stycznia 1812 w Corsenside, zm. 1882 w Houghton-le-Spring) – brytyjski matematyk−amator, znany z obliczenia liczby π.Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.

    Ponadto,

    Kazimierz Cwojdziński (ur. 8 stycznia 1878 w Plewiskach koło Poznania, zm. 12 sierpnia 1948 w Poznaniu) - matematyk polski, profesor Szkoły Inżynierskiej w Poznaniu.Promień (oznaczany literą r od łacińskiego słowa radius) to w geometrii odcinek łączący środek koła, okręgu, kuli lub sfery z dowolnym punktem położonym na jej brzegu, a także długość tego odcinka. Długość promienia jest w tym przypadku zawsze równa połowie długości średnicy, co wyraża wzór
    .

    Ponieważ liczby f(0) i f(π) są całkowite, całkowita jest więc wartość F(π) + F(0). Z drugiej strony, dla 0 < x < π zachodzi oszacowanie

    William Oughtred (ur. 5 marca 1574 w Eton w Anglii, zm. 30 czerwca 1660 w Albury w Anglii) – angielski matematyk, wynalazca najwcześniejszej postaci suwaka - dwu identycznych liniowych lub kolistych skal logarytmicznych ustawianych względem siebie ręcznie celem wykonywania mnożenia i dzielenia.Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie N + = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} _{+}={1,2,3,dots }} oraz liczby przeciwne do nich { − 1 , − 2 , − 3 , … } {displaystyle {-1,-2,-3,dots }} , a także liczba zero. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne i tym samym liczby rzeczywiste, szczególnym przypadkiem liczb całkowitych są: liczby naturalne.
    .

    Z dowolności n i powyższego oszacowania, całka

    <|||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| - |||||||||| |||||||||| ||||||||||>Długość fizyczna — miara fizyczna odległości pomiędzy dwoma punktami, liczona zgodnie z metryką euklidesową (zwykłym sposobem mierzenia odległości), albo w linii prostej (np. długość fali — odległość między jej dwoma węzłami) albo po krzywej (np. długość drogi przebytej przez ciało).

    jest dowolnie mała, co prowadzi do sprzeczności.

    Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.Działania arytmetyczne – zwyczajowa nazwa czterech spośród działań algebraicznych: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Radian (rad) – jednostka miary łukowej kąta płaskiego zdefiniowana jako miara kąta środkowego, w którym długość łuku wyznaczonego przez kąt środkowy jest równa promieniowi okręgu. Niemianowana jednostka pochodna układu SI.
    Darren Aronofsky (ur. 12 lutego 1969 na Brooklynie, Nowy Jork) – amerykański reżyser, producent i scenarzysta filmowy.
    Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.
    Stopień jednomianu – suma wszystkich wykładników potęg przy zmiennych niezerowego jednomianu, np. jednomian x y = x 1 y 1 {displaystyle xy=x^{1}y^{1}} jest stopnia drugiego.
    Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) – miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.
    Delta – matematyczno-fizyczno-informatyczno-astronomiczny miesięcznik popularny wydawany przez Uniwersytet Warszawski przy współpracy towarzystw naukowych: Polskiego Towarzystwa Matematycznego, Polskiego Towarzystwa Fizycznego, Polskiego Towarzystwa Astronomicznego i Polskiego Towarzystwa Informatycznego.
    Teoria liczb - dziedzina matematyki, zajmująca się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.085 sek.