• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Paradoks Hilberta

    Przeczytaj także...
    Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.
    Włodzimierz Krysicki (ur. 1 stycznia 1905 w Warszawie; zm. 19 września 2001 w Łodzi) – polski matematyk, profesor Politechniki Łódzkiej.

    Paradoks Hilbertaparadoks opisany przez Davida Hilberta w celu ilustracji trudności w intuicyjnym rozumieniu pojęcia "ilości" elementów zbioru z nieskończoną liczbą elementów. Paradoks ten znany jest też pod nazwą paradoksu Grand Hotelu lub paradoksu hotelu Hilberta.

    Wyobraźmy sobie, że jesteśmy portierem w Grand Hotelu, w którym jest nieskończona liczba pokoi. Wszystkie pokoje są już zajęte, gdy przychodzi do nas kolejny klient chcący wynająć pokój. Wydawałoby się, że sytuacja jest bez wyjścia i musimy klienta odprawić z kwitkiem. Na szczęście nasz hotel ma nieskończoną liczbę pokoi, więc możemy wykonać sprytny trik: klienta z pokoju numer 1 przekwaterujemy do pokoju nr 2, tego z pokoju nr 2 do pokoju nr 3, itd. Ogólnie można powiedzieć, że dokonujemy przekwaterowania klientów z pokojów n do pokojów n+1. W ten sposób wszyscy nasi wcześniejsi klienci mają gdzie mieszkać, a my mamy wolny pokój nr 1, do którego możemy zakwaterować naszego nowego gościa. Tak więc, mimo że hotel był pełen, znalazło się miejsce dla nowego klienta...

    Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np.Ryszard Jajte (ur. 1933 roku w Poznaniu) – polski matematyk, profesor zwyczajny od 1982 roku. Obecnie profesor emerytowany Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego. Niegdyś uczeń i doktorant (potomek naukowy 1-ego stopnia) prof. Lecha Włodarskiego.

    Będąc portierem w naszym nieskończonym hotelu mamy jeszcze więcej możliwości. Nawet jeśli przyjedzie do nas nieskończona (ale przeliczalna) liczba autobusów z nieskończoną (przeliczalną) liczbą klientów w każdym z nich, to nadal możemy ich wszystkich zakwaterować dokonując kolejnego, nieco bardziej złożonego triku z zamianami pokojów: najpierw trzeba opróżnić pokoje hotelowe z nieparzystym numerem poprzez chwilowe umieszczenie ich gości w np. autobusie nr 1. Klientów z autobusu nr 1 umieszczamy tymczasem w pokojach z numerami 3, gdzie n to np. numery miejsc w autobusie (wszystkie te pokoje będą nieparzyste, czyli już wcześniej opróżnione). Potem umieszczamy klientów z autobusu 2 w pokojach o numerach 5. Następny autobus pójdzie do pokojów 7. Ogólnie, będziemy umieszczali klientów kolejnych autobusów w pokojach m(n), gdzie m(n) to kolejne liczby pierwsze. Potęgi liczb pierwszych większych od 2 są nieparzyste, a że zbiory kolejnych potęg liczb pierwszych są parami rozłączne, więc nie ma ryzyka, że poślemy nowych klientów do już zajętych pokojów. Wreszcie klientów, wcześniej wykwaterowanych z pokojów nieparzystych, wysyłamy do pokojów o numerach m(n+1) i wszyscy są już rozlokowani.

    Zbiór przeliczalny – intuicyjnie, zbiór którego elementy można ustawić w ciąg (skończony bądź nie), tzn. "wypisać je po kolei", "ponumerować". Istnieją dwie nierównoważne konwencje użycia terminu zbiór przeliczalny w matematyce:David Hilbert (ur. 23 stycznia 1862 w Królewcu (Prusy Wschodnie), zm. 14 lutego 1943 w Getyndze) – matematyk niemiecki; zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej.

    Opisany tu paradoks nie jest sprzeczny z logiką, lecz tylko z intuicyjnym pojmowaniem liczby elementów w zbiorach nieskończonych. Pokazuje on tylko, że moc przeliczalnych zbiorów nieskończonych jest zawsze jednakowa, nawet wtedy, gdy dany zbiór jest podzbiorem innego zbioru. Np. zbiór liczb nieparzystych dodatnich ma taką samą moc (jest równoliczny) ze zbiorem liczb naturalnych, mimo że jest jego podzbiorem.

    Paradoks (gr. parádoksos – nieoczekiwany, nieprawdopodobny) – twierdzenie logiczne prowadzące do zaskakujących lub sprzecznych wniosków. Sprzeczność ta może być wynikiem błędów w sformułowaniu twierdzenia, przyjęcia błędnych założeń, a może też być sprzecznością pozorną, sprzecznością z tzw. zdrowym rozsądkiem, np. paradoks hydrostatyczny, czy paradoks bliźniąt.

    Bibliografia[ | edytuj kod]

  • Włodzimierz Krysicki, Ryszard Jajte, Z matematyką za pan brat 1985 i następne wydania, ​ISBN 83-87788-32-5​, rozdział 11 O paradoksach w matematyce.
  • Linki zewnętrzne[ | edytuj kod]

  • Hotel Hilberta
  • Hotel Hilberta czyli krótka opowieść o zbiorach nieskończonych.
  • O nieskończoności – paradoks hotelu Hilberta




  • Reklama

    Czas generowania strony: 0.014 sek.