• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Płaszczyzna zespolona



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Mnożenie przez skalar − jedno z działań dwuargumentowych definiujących przestrzeń liniową w algebrze liniowej (lub ogólniej: moduł w algebrze ogólnej). Mnożenia wektora przez skalar dającego w wyniku wektor nie należy mylić z iloczynem skalarnym (nazywanym niekiedy iloczynem wewnętrznym) dwóch wektorów dającym w wyniku skalar.Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.

    Płaszczyzna zespolonageometryczny model ciała liczb zespolonych . Płaszczyzna pełni w nim w stosunku do liczb zespolonych rolę analogiczną do roli, którą pełni prosta rzeczywista względem ciała liczb rzeczywistych.

    Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).Charakterystyka amplitudowo-fazowa (charakterystyka Nyquista, wykres Nyquista, ang. polar plot, Nyquist plot) – w automatyce, wykres transmitancji widmowej układu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej.
    Ilustracja płaszczyzny zespolonej wraz z jednostkami rzeczywistą i urojoną oraz przeciwnymi do nich wraz z zaznaczonym okręgiem jednostkowym.
    Ilustracja liczby zespolonej jako wektora płaszczyzny zespolonej z wprowadzonym układem współrzędnych prostokątnych.

    Na płaszczyźnie wprowadzamy najpierw prostokątny kartezjański układ współrzędnych, na który składają się dwie prostopadłe do siebie osie współrzędnych przecinające się we wspólnym początku O. Jedna z osi, oś OX, jest pozioma (oś odciętych), skierowana od lewej strony do prawej, a druga pionowa OY (oś rzędnych), jest skierowana od dołu do góry. Każdy punkt z płaszczyzny jest jednoznacznie opisywany przez dwie współrzędne: odciętą x i rzędną y, będące odpowiednio współrzędnymi rzutów punktu z na oś odciętych i oś rzędnych. Każdemu tak opisanemu punktowi płaszczyzny z = (x, y) można przyporządkować liczbę zespoloną z = x + iy:

    Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo Parser nie mógł rozpoznać (Nie można zapisać obrazu z wzorem w systemie plików.): 5Geometria eliptyczna albo sferyczna (również geometria powierzchni kuli, tj. sfery) – jeden z rodzajów geometrii nieeuklidesowej, szczególny przypadek geometrii Riemanna dla stałej i dodatniej krzywizny.
    , gdzie .

    Przyporządkowanie to jest różnowartościowe i obrazem płaszczyzny jest w nim zbiór wszystkich liczb zespolonych. Zatem oba zbiory można utożsamić. W związku z tym oś odciętych nazywa się osią rzeczywistą, a oś rzędnych - osią urojoną (od pierwiastka kwadratowego z minus jedynki, nazywanego pierwiastkiem urojonym). Zapisujemy to następująco:

    Definicja intuicyjna: Powierzchnia (ściślej: brzeg) kuli. Zbiór punktów oddalonych o pewną zadaną odległość (promień sfery) od wybranego punktu (środek sfery).Okrąg jednostkowy – okrąg o promieniu jednostkowym, tzn. równym 1. Często, szczególnie w trygonometrii, „okrąg jednostkowy” oznacza okrąg o promieniu 1 i środku w początku, tzn. punkcie ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0),} , układu współrzędnych kartezjańskich płaszczyzny euklidesowej. Często oznacza się go symbolem S 1 {displaystyle mathrm {S} ^{1}} ; jego uogólnieniem na wyższe wymiary jest sfera jednostkowa.

    Działania na liczbach zespolonych określa się następująco. Niech

    Obraz – zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny. Przeciwobraz – zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.
    .

    Wtedy

    Geometria syntetyczna - czyli geometria czysta - dział geometrii, w którym nie używa się metod algebraicznych i obliczeniowych do dowodzenia twierdzeń i rozwiązywania problemów. Wybitnymi znawcami geometrii syntetycznej byli między innymi Euklides, Apoloniusz z Pergi, Michel Chasles i Jakob Steiner.Liczba przeciwna do danej liczby a , {displaystyle a,;} to taka liczba − a , {displaystyle -a,;} że zachodzi:

    Stąd wynika, że działania dodawania i mnożenia na płaszczyźnie można określić następująco:

    Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem.Inwersja – w geometrii rodzaj przekształcenia geometrycznego; można je sobie wyobrażać jako „wywinięcie” wnętrza ustalonego koła na zewnątrz i „zawinięcie” zewnętrza tego koła do jego wnętrza. Do kluczowych własności inwersji należą: zachowywanie kątów (nieskierowanych) oraz fakt, iż obrazami uogólnionych okręgów (tzn. okręgów lub prostych interpretowanych jako okręgi o nieskończonym promieniu) są uogólnione okręgi. Pojęcie to uogólnia się na przestrzenie wyższego wymiaru, zob. Uogólnienia.

    Z definicji tych wynika, że:

    Odwzorowanie równokątne, wiernokątne lub konforemne – w matematyce funkcja zachowująca kąty. Zwykle jest to funkcja między obszarami płaszczyzny zespolonej.Sfera Blocha – trójwymiarowa sfera zespolona o promieniu jednostkowym. Daje ona możliwość wizualizacji pojedynczego bitu kwantowego (kubitu) w stanie:
  • Dla punktów leżących na osi rzeczywistej oba działania można utożsamić z działaniami na liczbach rzeczywistych.
  • Dla dowolnego punktu prawdziwa jest równość .
  • i bardziej ogólnie , co oznacza, że mnożenie przez można zinterpretować na płaszczyźnie jako obrót dokoła środka współrzędnych o kąt 90°.
  • Interpretacja wektorowa liczb zespolonych[]

    Wektorem na płaszczyźnie zespolonej nazywamy odpowiednio skierowany odcinek ab, gdzie . Czasami mówi się nie o skierowanym odcinku, ale o parze uporządkowanej punktów. Punkt a nazywamy początkiem wektora, a punkt b nazywamy końcem wektora. Wektory ab i cd są równe, jeśli mają tę samą długość oraz są równoległe i jednakowo skierowane. Warunki te można zastąpić jednym:

    Dylatacja – przekształcenie geometryczne przeprowadzające dowolną prostą na prostą do niej równoległą. Inaczej mówiąc jest to kolineacja, w której każda prosta jest równoległa do swojego obrazu.Geometria hiperboliczna (zwana także geometrią siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego) – jedna z geometrii nieeuklidesowych.
    Równość wektorów

    Czworokąt abcd jest równoległobokiem.

    Dla wektora ab można określić jego długość |ab| (długość odcinka ab) oraz współrzędne [x, y], które są różnicami odpowiednich współrzędnych końca i początku wektora: Jeśli a = (xa, ya) i b = (xb, yb), to

    Wektory można mnożyć przez liczby rzeczywiste: Jeśli , to .

    Liniowa niezależność – w algebrze liniowej własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.Teoria sterowania - jedna z gałęzi matematyki i cybernetyki, zajmuje się analizą i modelowaniem matematycznym obiektów i procesów różnej natury, zarówno fizycznych (np. chemicznych, cieplnych, mechanicznych, hydraulicznych, pneumatycznych, elektrycznych) jak i społecznych (np. ekonomia matematyczna), traktowanych jako układy dynamiczne ze sterowaniem.

    Każdy wektor jest iloczynem pewnej liczby rzeczywistej nieujemnej (długości wektora) przez pewien wektor jednostkowy e:

    Każda liczba zespolona z wyznacza jednoznacznie wektor Oz (wektor zaczepiony w punkcie O o końcu w punkcie z). Każdy wektor jest równy dokładnie jednemu wektorowi o początku w punkcie O. Tak więc zbiór liczb zespolonych można utożsamić ze zbiorem wektorów na płaszczyźnie: . Można zatem myśleć o liczbach zespolonych z jako o wektorach z. Długość wektora z nazywamy modułem liczby zespolonej z i oznaczamy ją |z|.

    Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi (obliczeniowymi) i algebraicznymi. Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań, które opisują badane figury. Przedmiotem badań geometrii analitycznej jest zasadniczo przestrzeń euklidesowa i własności jej podzbiorów, choć wiele wyników można uogólnić na dowolne, skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe.Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).

    Dla dwóch wektorów z1 i z2 można określić ich sumę (z1 i z2 są końcami wektorów o wspólnym początku O). W tym celu należy poprowadzić wektor z1z3 równy wektorowi z2. Wtedy z3 = z1 + z2. Suma tak określona jest przemienna, łączna i ma element neutralny - wektor zerowy.

    Iloczyn wektorów (liczb zespolonych) z1 i z2 można określić dwustopniowo. Najpierw dla wektorów jednostkowych e1 i e2, gdzie z1 = |z1| · e1 i z2 = |z2| · e2, a następnie dla dowolnych liczb zespolonych, korzystając z równości:

    Geometria afiniczna - jedna z możliwych geometrii. Podstawową figurą geometryczną w tej geometrii jest (podobnie jak w geometrii euklidesowej) prosta, podstawowym pojęciem jest równoległość dwóch prostych a podstawowym odwzorowaniem tzw. odwzorowanie afiniczne.Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.
    z1 · z2 = (|z1| · |z2|) · (e1 · e2)

    Dla wektorów jednostkowych e1 i e2 ich iloczynem jest wektor jednostkowy, którego kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi Ox jest sumą odpowiednich kątów nachylenia obu czynników.

    Uwagi ogólne[]

    Interpretacja ta łączy ze sobą geometrię analityczną, algebrę (w tym liniową ze względu na obecną strukturę liniową) oraz analizę. Możliwość utożsamienia liczb zespolonych z wektorami znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jej autorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyzną Arganda; inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa ze względu na zasługi Gaussa na tym polu.

    Punkt stały odwzorowania pewnego zbioru w siebie - punkt, w którym wartość odwzorowania na argumencie jest równa temu argumentowi. Formalnie:Analiza zespolona – dziedzina matematyki, w szczególności analizy matematycznej, obejmująca swą tematyką teorię funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej i zespolonej, jednej i wielu zmiennych – w tym bardzo rozbudowane teorie funkcji analitycznych, funkcji eliptycznych czy odwzorowań konforemnych. Ma zastosowania w teorii liczb, teorii fraktali, matematyce stosowanej, teorii przestrzeni Hilberta a także w pewnych dziedzinach fizyki.

    Z punktu widzenia geometrii analitycznej płaszczyzna zespolona to dwuwymiarowa przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych z wprowadzonym działaniem mnożenia wektorów, co czyni z niej algebrę (przemienną), wyposażona w iloczyn skalarny, a przez to w indukowaną z niego normę (długość) daną jako moduł (pełniący analogiczną rolę do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej) i generowaną za jej pomocą metrykę (odległość).

    Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi istnieje izometria (są izometryczne) nazywne są przystającymi.Rzut prostokątny – odwzorowanie przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej na daną płaszczyznę w ten sposób, że każdemu punktowi przestrzeni przypisany jest punkt przecięcia się prostej prostopadłej do płaszczyzny, która przechodzi przez dany punkt, z płaszczyzną. Rzut prostokątny jest szczególnym przypadkiem rzutu równoległego.

    Algebra zespolona jest pierścieniem z dzieleniem, co czyni z niej ciało-umożliwia to wprowadzenie na płaszczyźnie zespolonej geometrii inwersyjnej, choć wymaga to pamiętania przypadkach szczególnych (środku okręgu inwersyjnego, który nie jest w tym przekształceniu odwzorowywany). Dzięki bogatej strukturze liczby zespolone mogą służyć jako model geometrii euklidesowej (a więc i afinicznej), geometrii eliptycznej (a więc również rzutowej), czy geometria hiperboliczna. W niniejszym artykule omówiono geometrie euklidesową, afiniczną płaszczyzny zespolonej; pozostałe, wynikłe z obecności dzielenia w liczbach zespolonych opisano w artykule dotyczącym tzw.sfery Riemanna.

    Rzut stereograficzny lub odwzorowanie stereograficzne – przekształcenie geometryczne, rzut środkowy sfery na płaszczyznę, w którym środkiem rzutu jest punkt sfery, zaś rzutnia jest styczna do sfery w antypodzie środka rzutu.Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. Trójkąt to najmniejsza (w sensie inkluzji) figura wypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i niewspółliniowe punkty płaszczyzny (otoczka wypukła wspomnianych trzech punktów).
    Przekształcenie afiniczne, powinowactwo lub pokrewieństwo – przekształcenie geometryczne przestrzeni euklidesowych odwzorowujące odcinki na odcinki. Są one homomorfizmami przestrzeni afinicznych, będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych, czyli spełniają one analogiczną rolę, co przekształcenia liniowe względem przestrzeni liniowych (również będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych).
    Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.
    Symetria osiowa (symetria względem osi) - odwzorowanie geometryczne płaszczyzny lub przestrzeni, które dla ustalonej osi tj. prostej l każdemu punktowi P swojej dziedziny przyporządkowuje punkt Q taki, że punkty P i Q wyznaczają prostą przecinającą prostopadle oś l i leżą w równej odległości od osi l po jej przeciwnych stronach.
    Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).
    Geometria rzutowa to dział matematyki zajmujący się badaniem własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach rzutowych. Do najważniejszych pojęć geometrii rzutowej należą: prosta, płaszczyzna oraz dwustosunek czwórki punktów. Twórcą geometrii rzutowej był francuski matematyk Jean-Victor Poncelet, który jej podstawy podał w 1822.
    Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie, (wcześniej układ taki stosował, choć nie rozpropagował go, Pierre de Fermat).

    Reklama