Operator nabla

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Nabla – stosowana w rachunku wektorowym konwencja notacyjna z wykorzystaniem symbolu nabli Ułatwia ona opis gradientu (dla pola skalarnego) czy też różnorodnych operatorów różniczkowych, w tym pochodnej (odpowiadającej gradientowi), dywergencji, rotacji (dla pola wektorowego) czy laplasjanu (dla pola wektorowego lub skalarnego). Siła notacji tkwi w tym, iż nabla traktowana jest w niej podobnie do wektora: można ją mnożyć skalarnie, wektorowo, a nawet tensorowo przez pola skalarne bądź wektorowe, uzyskując inne pola skalarne lub wektorowe (mnożenie lewostronne) albo kolejne operatory różniczkowe (mnożenie prawostronne – wynika to z nieprzemienności „operatora”, zob. Uwagi).

Mnemotechnika, mnemonika (gr. mneme - pamięć) - ogólna nazwa sposobów ułatwiających zapamiętanie, przechowywanie i przypominanie sobie informacji.Równanie przewodnictwa cieplnego – równanie różniczkowe cząstkowe, opisujące przepływ ciepła przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku oraz przy określonych warunkach brzegowych. Równanie ma postać:

Definicja[ | edytuj kod]

W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej z układem współrzędnych kartezjańskich nablę definiuje się za pomocą pochodnych cząstkowych wzorem:

Równania Naviera-Stokesa (nazwane na cześć Claude-Louis Naviera i George Gabriel Stokesa) – zestaw równań w postaci równań ciągłości, opisujące zasadę zachowania masy i pędu dla poruszającego się płynu. Według nich zmiany pędu elementu płynu zależą jedynie od zewnętrznego ciśnienia i wewnętrznych sił lepkości w płynie.Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.

gdzie oznaczają wektory jednostkowe osi (wektory bazy standardowej).

Definicja intuicyjna: Wersor to wektor o długości jeden, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor przypisujemy. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.Konwencja sumacyjna Einsteina – to skrótowy sposób zapisu równań zawierających kilka znaków sumy. Stosuje się go w celu zwiększenia przejrzystości zapisu równań.

Nablę można uogólnić na przestrzeń z kartezjańskim układem współrzędnych definiując ją jako

Przemieszczenie (wektor przesunięcia) – wektor łączący położenie początkowe z końcowym. Dla dowolnego ruchu krzywoliniowego wartość tego wektora jest mniejsza bądź równa drodze pokonanej przez ciało. Równość ma miejsce wówczas, gdy promień krzywizny toru dąży do nieskończoności (ruch prostoliniowy).Pochodna kowariantna – tensor powstały w wyniku różniczkowania pewnego tensora wyrażonego we współrzędnych krzywoliniowych przestrzeni euklidesowej i nieeuklidesowej dowolnego wymiaru (w ogólności w rozmaitości pseudoriemannowskiej), z określonym tensorem metrycznym. We współrzędnych kartezjańskich sprowadza się do zwykłej pochodnej cząstkowej.

gdzie oznacza bazę standardową; w konwencji sumacyjnej Einsteina powyższy zapis ulega skróceniu do

Gradient – w analizie matematycznej, a dokładniej rachunku wektorowym, pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach, przy czym moduł (długość) każdej wartości wektorowej jest równy szybkości wzrostu. Wektor przeciwny do gradientu nazywa się często antygradientem.Pole skalarne – w matematyce i fizyce przypisanie każdemu punktowi pewnego obszaru pewnej wielkości skalarnej (w matematyce – liczby, w fizyce zazwyczaj wielkości mianowanej). Jest jednym z rodzajów pola fizycznego. Przykładem pola skalarnego jest potencjał elektrostatyczny.

Postać w innych niż kartezjański układach współrzędnych jest bardziej złożona – postać w popularnych układach współrzędnych przedstawiono w oddzielnym artykule.

Dywergencja (albo rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego - operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem. Operator dywergencji pojawia się w sposób naturalny w kontekście całkowania form zewnętrznych w przestrzeni trójwymiarowej (zob. twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego nazywane czasem twierdzeniem o dywergencji), a więc ma szereg konkretnych interpretacji fizycznych, związanych np. z mechaniką płynów.Operator Stokesa – operator różniczkowy stosowany w mechanice do oznaczania różniczkowania wędrownego (inaczej pochodnej substancjalnej lub pochodnej materialnej). Określa tempo zmiany dowolnej własności związanej z elementarną objętością ciała (która może znajdować się w ruchu), w odróżnieniu od różniczkowania lokalnego – związanego z układem odniesienia (który zwykle uznaje się za nieruchomy). Bardzo często używany w mechanice płynów.

Zastosowania[ | edytuj kod]

W dalszej części przestrzeń euklidesowa będzie miała trzy wymiary ze względu na użycie iloczynu wektorowego.

Gradient i pochodna kierunkowa[ | edytuj kod]

 Osobne artykuły: gradientpochodna kierunkowa.

Jeśli jest polem skalarnym, to potraktowanie nabli jako funkcji pola skalarnego daje pole wektorowe nazywane gradientem:

Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie, (wcześniej układ taki stosował, choć nie rozpropagował go, Pierre de Fermat).Równanie różniczkowe Poissona – niejednorodne równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu typu eliptycznego.

powyższy zapis można traktować jako mnożenie „wektora nabla” przez „skalar” (w tej właśnie kolejności – zob. Uwagi) dające w wyniku „wektor”. Stąd nablę można uważać za operator pochodnej wielowymiarowej, o ile tylko spełnione są pewne warunki regularności (zob. związek gradientu z pochodną i różniczką). Przy ich założeniu pochodna kierunkowa wzdłuż wektora może być przedstawiona w postaci iloczynu skalarnego gradientu (w danym punkcie) przez wektor to

Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Carla Gustawa Jacobiego, który je wprowadził (niezależnie pojęcie to badał Michaił Ostrogradski).Równania Maxwella – cztery podstawowe równania elektrodynamiki klasycznej zebrane i rozwinięte przez Jamesa Clerka Maxwella. Opisują one właściwości pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.

Symbol w nawiasie po ostatniej równości należy traktować jako całość; operatorem jest więc wektor (w ogólności również pole wektorowe) mnożony skalarnie przez „wektor nabla” (zob. Uwagi). Oznaczenia te wykorzystuje się również do zapisu pochodnej materialnej. Innym spotykanym oznaczeniem pochodnej w kierunku jest

Fizyka matematyczna jest dziedziną wiedzy leżącą na pograniczu fizyki teoretycznej i matematyki. Zajmuje się rozwijaniem działów matematyki wykorzystywanych w fizyce oraz badaniem matematycznej struktury teorii i hipotez fizycznych.Oto lista kilku formuł analizy wektorowej powszechnie używanych w pracy z różnymi krzywoliniowymi układami współrzędnych.

Dywergencja[ | edytuj kod]

 Osobny artykuł: dywergencja.

Jeżeli jest polem wektorowym zmiennych to dywergencję będącą polem skalarnym można wyrazić za pomocą iloczynu skalarnego nabli przez tzn.

Baza standardowa (również baza naturalna lub baza kanoniczna) – w matematyce zbiór wektorów jednostkowych przestrzeni euklidesowej wskazujących każdą z osi układu współrzędnych kartezjańskich.Pochodna kierunkowa – w analizie matematycznej, dziale matematyki, pojęcie charakteryzujące przyrost wartości funkcji w kierunku ustalonego wektora. Stanowi ono uogólnienie pochodnej cząstkowej, w której wspomniane wektory są równoległe względem osi układu.

w ten sposób „wektor nabla” jest mnożony przez „wektor”, dając w wyniku „skalar” (znowu istotna jest kolejność – zob. Uwagi); innymi słowy

Operator Laplace’a (laplasjan) – operator różniczkowy drugiego rzędu, szczególnie ważny element klasy operatorów eliptycznych. Jego nazwa pochodzi od nazwiska Pierre’a Simona de Laplace’a.Pole wektorowe – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.

Rotacja[ | edytuj kod]

 Osobny artykuł: rotacja.

Zamiana iloczynu skalarnego na iloczyn wektorowy dla danego pola wektorowego w powyższym przypadku umożliwia zwarty sposób zapisu rotacji:

potwierdza to intuicję, iż „wektor nabla” mnożony wektorowo przez „wektor” daje inny „wektor” (z zachowaniem kolejności – zob. Uwagi); dlatego Korzystając z mnemoniku wyznacznikowego dla iloczynu wektorowego rotację można wtedy zapisać w postaci

Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.Operator różniczkowy – operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych wykorzystujący pojęcie pochodnej bądź różniczki funkcji. Operatory różniczkowe mogą działać zarówno na funkcje jednej jak i wielu zmiennych, na funkcje skalarne i wektorowe.

Laplasjan[ | edytuj kod]

 Osobny artykuł: laplasjan.

Laplasjan, nazywany również operatorem Laplace’a, jest operatorem skalarnym działającym na pole skalarne danym jako

Iloczyn skalarny – w matematyce pewna forma dwuliniowa na danej przestrzeni liniowej, tj. dwuargumentowa funkcja o szczególnych własnościach przyporządkowująca dwóm wektorom danej przestrzeni liniowej wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, który zwykle odnosi się jednak do ogólnych iloczynów skalarnych wprowadzanych w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych nazywanych wtedy przestrzeniami unitarnymi; przestrzenie afiniczne z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzeniami euklidesowymi.Iloczyn wektorowy – działanie dwuargumentowe przyporządkowujące parze wektorów 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej pewien wektor tej przestrzeni.

znajduje on zastosowanie w wielu działach współczesnej fizyki matematycznej, pojawia się m.in. w równaniu Laplace’a, równaniu Poissona, równaniu przewodnictwa ciepła, równaniu falowym, czy równaniu Schrödingera.

Równanie Schrödingera – jedno z podstawowych równań nierelatywistycznej mechaniki kwantowej (obok równania Heisenberga), sformułowane przez austriackiego fizyka Erwina Schrödingera w 1926 roku. Opisuje ono ewolucję układu kwantowego w czasie. W nierelatywistycznej mechanice kwantowej odgrywa rolę analogiczną do drugiej zasady dynamiki Newtona w mechanice klasycznej.Definicja intuicyjna: Tensor – uogólnienie pojęcia wektora; wielkość, której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych.

Stosuje się również laplasjan wektorowy będący operatorem wektorowym zwracającym pole wektorowe: jeżeli jest polem wektorowym, to jest on zdefiniowany wzorem

we współrzędnych kartezjańskich przyjmuje on dużo prostszą postać (która może być postrzegana jako szczególny przypadek wzoru Lagrange’a),

Pochodne Wirtingera a. operatory Wirtingera – w analizie zespolonej jednej lub kilku zmiennych zespolonych operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu zachowujące się w bardzo podobny sposób do zwykłych pochodnych względem zmiennej rzeczywistej po przyłożeniu ich do funkcji holomorficznych, antyholomorficznych lub po prostu różniczkowalnych w obszarach płaszczyzny zespolonej. Operatory te umożliwiają, dla wspomnianych funkcji, konstrukcję rachunku różniczkowego całkowicie analogicznego do rachunku różniczkowego zwyczajnego funkcji zmiennych rzeczywistych. Pojęcie nosi nazwisko Wilhelma Wirtingera, który wprowadził je w 1927 roku.

gdzie

Pochodna kowariantna[ | edytuj kod]

 Osobny artykuł: pochodna kowariantna.

Użycie iloczynu tensorowego, w tym przypadku iloczynu diadycznego, w miejsce iloczynu skalarnego dla dywergencji i iloczynu wektorowego dla rotacji opisuje pochodną kowariantną; dokładniej: jeśli jest trójwymiarowym polem wektorowym, to jest tensorem drugiego rzędu odpowiadającym pochodnej kowariantnej którą można przedstawić za pomocą macierzy równoważnej macierzy Jacobiego pola wektorowego Notację tę stosuje się również do opisu zmiany pola wektorowego przy małym przemieszczeniu mianowicie

Podstrony: 1 [2] [3] [4]




Reklama