• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Operator liniowy ograniczony



    Podstrony: 1 [2] [3]
    Przeczytaj także...
    Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).Operator jest to inna nazwa odwzorowania liniowego zdefiniowanego na przestrzeni Hilberta. Operatory samosprzężone odpowiadają wartościom fizycznym, które mogą być mierzone.

    Operator nazywa się operatorem liniowym ograniczonym jeżeli:

  • jest operatorem liniowym,
  • i przestrzeniami unormowanymi,
  • istnieje pewna liczba nieujemna taka że dla każdego należącego do spełniony jest warunek
  • Operator ograniczony nie jest w ogólności funkcją ograniczoną; wymagałoby to by norma była mniejsza od pewnej liczby dla wszystkich wektorów tj.

    Operator liczby cząstek – w mechanice kwantowej, dla układów, w których liczba rozpatrywanych cząstek nie jest znana, operator liniowy (obserwabla) "zliczający" ich liczbę.Przestrzeń Hilberta – w analizie funkcjonalnej rzeczywista lub zespolona przestrzeń unitarna (tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym), zupełna ze względu na indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego tej przestrzeni metrykę. Jako unormowana i zupełna, każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, a przez to przestrzenią Frécheta, a stąd lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie te noszą nazwisko Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku; są one podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).

    co zachodzi jedynie, gdy operator jest funkcją ograniczoną, np.

    Jednostajna ciągłość jest własnością pewnej klasy funkcji, określonych między przestrzeniami metrycznymi. Jednostajna ciągłość funkcji pociąga ciągłość, ale na ogół nie odwrotnie.Przestrzeń Banacha – przestrzeń unormowana X (z normą ||·||), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka d dana wzorem

    Operator liniowy ograniczony jest jednak zawsze funkcją lokalnie ograniczoną, co oznacza, że dla każdego wektora istnieje otoczenie, w którym wartości operatora są liczbami skończonymi,

    gdzie należy do otoczenia wektora

    Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.Norma operatorowa – norma w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych między dwiema ustalonymi przestrzeniami unormowanymi. Jeżeli X i Y są przestrzeniami unormowanymi to wzór

    Normą operatora nazywa się najmniejszą liczbę spełniającą warunek podany w definicji tego operatora.

    Warunki równoważne[ | edytuj kod]

    Jeżeli są przestrzeniami unormowanymi, to dla operatora następujące warunki są równoważne:

    Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.Znak liczby – właściwość liczby rzeczywistej określająca jej relację względem liczby 0. Liczba może mieć jeden z trzech znaków:
    1. jest operatorem ograniczonym,
    2. jest operatorem jednostajnie ciągłym,
    3. jest operatorem ciągłym,
    4. jest operatorem ciągłym w pewnym punkcie przestrzeni (na przykład w zerze).
    Operator zwarty (operator pełnociągły) – operator liniowy między przestrzeniami Banacha przeprowadzający ograniczone podzbiory dziedziny na warunkowo zwarte podzbiory przeciwdziedziny. Innymi słowy, operator zwarty to operator mający tę własność, że domknięcie obrazu zbioru ograniczonego jest zwarte. Każdy operator zwarty jest automatycznie ograniczony.Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.


    Podstrony: 1 [2] [3]




    Reklama

    Czas generowania strony: 0.02 sek.