• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Operator Hamiltona



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Równanie Pauliego – zaproponowane przez Wolfganga Pauliego uogólnienie równania Schrödingera na przypadek cząstki o spinie 1/2. Polega na dodaniu do hamiltonianu dodatkowej energii potencjalnej oddziaływania magnetycznego spinowego momentu dipolowego z polem magnetycznym:W mechanice kwantowej pęd jest opisywany przez obserwablę - operator pędu. Przejście od pędu do operatora pędu jest nazywane pierwszym kwantowaniem. Matematycznie, operator pędu jest nieograniczonym operatorem samosprzężonym na ośrodkowej przestrzeni Hilberta.

    Operator Hamiltona (hamiltonian, operator energii) – operator definiowany w mechanice kwantowej, będący odpowiednikiem funkcji Hamiltona (hamiltonianu) mechaniki klasycznej.

    Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.Przestrzeń Hilberta – w analizie funkcjonalnej rzeczywista lub zespolona przestrzeń unitarna (tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym), zupełna ze względu na indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego tej przestrzeni metrykę. Jako unormowana i zupełna, każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, a przez to przestrzenią Frécheta, a stąd lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie te noszą nazwisko Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku; są one podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).

    Operator Hamiltona działa na wektory stanu układu kwantowego, tworzące przestrzeń Hilberta i reprezentujące wszystkie możliwe stany układu fizycznego.

    Operator Hamiltona ma fundamentalne znaczenie w mechanice kwantowej, gdyż stanowi np. podstawowy składnik równania Schrödingera, gdzie jego działanie na wektor stanu układu jest równe pochodnej czasowej tego wektora (z dokładnością do stałej ), tj.

    Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.Wodór (H, łac. hydrogenium) – pierwiastek chemiczny o liczbie atomowej 1, niemetal z bloku s układu okresowego. Jego izotop, prot, jest najprostszym możliwym atomem, zbudowanym z jednego protonu i jednego elektronu.

    gdzie:

    Operator unitarny - w analizie funkcjonalnej, operator normalny którego złożenie z jego operatorem sprzężonym jest identycznością.Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca stan układu fizycznego (materii) jako jego zdolność do wykonania pracy.
  • stała Plancka podzielona przez
  • jednostka urojona.
  • Postać operatora Hamiltona zależy od

    Proton, p (z gr. πρῶτον – "pierwsze") − trwała cząstka subatomowa z grupy barionów o ładunku +1 i masie spoczynkowej równej ok. 1 u.Pole elektromagnetyczne – pole fizyczne, stan przestrzeni, w której na obiekt fizyczny mający ładunek elektryczny działają siły o naturze elektromagnetycznej. Pole elektromagnetyczne jest układem dwóch pól: pola elektrycznego i pola magnetycznego. Pola te są wzajemnie związane, a postrzeganie ich zależy też od obserwatora, wzajemną relację pól opisują równania Maxwella. Własności pola elektromagnetycznego, jego oddziaływanie z materią bada dział fizyki zwany elektrodynamiką. W mechanice kwantowej pole elektromagnetyczne jest postrzegane jako wirtualne fotony.

    (1) rodzaju opisywanego układu

    (2) rodzaju pól fizycznych, działających na układ (np. cząstka swobodna, cząstka w polu grawitacyjnym, elektrycznym, magnetycznym); przy tym pola mogą być stacjonarne lub zmienne w czasie, mogą posiadać jakąś symetrię (np. sferyczną, walcową). Istnienie symetrii pozwala na wybór odpowiedniego układu współrzędnych do zapisu operatora Hamiltona, co później upraszcza równanie Schrödingera.

    Energia potencjalna – energia jaką ma układ ciał umieszczony w polu sił zachowawczych, wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację ciał, wychodząc od innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się jej wartość równą zero. Konfigurację odniesienia dla danego układu fizycznego dobiera się zazwyczaj w ten sposób, aby układ miał w tej konfiguracji minimum energii potencjalnej. Podobnie jak pracę, energię potencjalną mierzy się w dżulach [J].Obserwabla – w mechanice kwantowej wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie zwane obserwablami. Aby dany operator był obserwablą, jego wektory własne muszą tworzyć bazę przestrzeni Hilberta. Wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste. Podczas pomiaru danej wielkości fizycznej otrzymuje się jako wynik jedną z wartości własnych obserwabli przyporządkowanej danej wielkości fizycznej.

    Zapisanie operatora Hamiltona w jawnej postaci, w wybranej bazie przestrzeni Hilberta, właściwej dla danego układu kwantowego, pozwala znaleźć z równania Schrödingera zależność czasową wektora stanu, co stanowi podstawowe zadanie obliczeniowe mechaniki kwantowej.

    Operator Hamiltona jest jedną z obserwabli, jakie wprowadza mechanika kwantowa, czyli operatorem takim, że jego wartości własne są wielkościami, które można otrzymać w eksperymencie.

    W mechanice kwantowej wektor stanu to obiekt matematyczny opisujący stan kwantowy danego układu. Jest to wektor z przestrzeni Hilberta, której wymiar zależy od tego, od parametrów fizycznych układu (np. liczby cząstek w układzie).Stała Plancka (oznaczana przez h) jest jedną z podstawowych stałych fizycznych. Ma wymiar działania, pojawia się w większości równań mechaniki kwantowej.

    Wartości własne operatora Hamiltona przedstawiają wartości energii, jakie układ kwantowy może posiadać. Ponieważ energie wyraża się za pomocą liczb rzeczywistych, to implikuje, że operator Hamiltona musi być operatorem hermitowskim (operatorem samosprzężonym)

    Jest tak dlatego, że tylko operator hermitowski ma wartości własne będące zawsze liczbami rzeczywistymi.

    W mechanice kwantowej położenie jest opisywane przez obserwablę - operator położenia. Przejście od położenia do operatora położenia jest nazywane pierwszym kwantowaniem.Potencjał chemiczny – pochodna cząstkowa energii wewnętrznej po liczbie cząstek, przy stałej objętości i entropii układu. Oznaczany jest przez μ {displaystyle mu } lub μ i {displaystyle mu _{i}} . Może być również definiowany jako pochodna cząstkowa innej funkcji stanu: entalpii, energii swobodnej czy entalpii swobodnej po liczbie cząstek, przy czym pochodna jest obliczona przy zachowanych innych parametrach: ciśnieniu czy też temperaturze. Pojęcie to wprowadził do nauki w 1875 r J.W. Gibbs. Odgrywa ono zasadniczą rolę w termodynamice chemicznej. Jest podstawą do definicji aktywności termodynamicznej, występuje w kryteriach równowagi procesów oraz stosowane jest do opisu układów złożonych i do wyprowadzenia stałych równowagi fazowej i chemicznej.

    Każde równanie mechaniki kwantowej (np. równanie Pauliego czy równanie Diraca) można przedstawić w postaci analogicznej do równania Schrödingera, tj. takiej że z jednej strony tego równania występuje operator Hamiltona, a z drugiej operator pochodnej czasowej mnożony przez

    Operator Laplace’a (laplasjan) – operator różniczkowy drugiego rzędu, szczególnie ważny element klasy operatorów eliptycznych. Jego nazwa pochodzi od nazwiska Pierre’a Simona de Laplace’a.Sprzężenie hermitowskie macierzy – złożenie operacji transpozycji i sprzężenia zespolonego macierzy zespolonych. Dokładniej, sprzężenie hermitowskie to odwzorowanie dane wzorem

    Metoda tworzenia operatora Hamiltona[ | edytuj kod]

    Aby uzyskać postać operatora Hamiltona dla danego układu, należy napisać klasyczną funkcję Hamiltona (hamiltonian)

    Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – w klasycznej mechanice teoretycznej funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisującą układ fizyczny.Masa – jedna z podstawowych wielkości fizycznych określająca bezwładność (masa bezwładna) i oddziaływanie grawitacyjne (masa grawitacyjna) obiektów fizycznych. Jest wielkością skalarną. Potocznie rozumiana jako miara ilości materii obiektu fizycznego. W szczególnej teorii względności związana z ilością energii zawartej w obiekcie fizycznym. Najczęściej oznaczana literą m.

    gdzie:

    Równanie Schrödingera – jedno z podstawowych równań nierelatywistycznej mechaniki kwantowej (obok równania Heisenberga), sformułowane przez austriackiego fizyka Erwina Schrödingera w 1926 roku. Opisuje ono ewolucję układu kwantowego w czasie. W nierelatywistycznej mechanice kwantowej odgrywa rolę analogiczną do drugiej zasady dynamiki Newtona w mechanice klasycznej.Widmo spektroskopowe – zarejestrowany obraz promieniowania rozłożonego na poszczególne częstotliwości, długości fal lub energie. Widmo, które powstało w wyniku emisji promieniowania przez analizowaną substancję albo na skutek kontaktu z nią (przeszło przez nią lub zostało przez nią odbite), może dostarczyć szeregu cennych informacji o badanej substancji.
    – współrzędne uogólnione, – pędy uogólnione, – liczba stopni swobody układu, – czas.

    Następnie zamienia się współrzędne uogólnione i pędy na odpowiadające im operatory.

    Gemeinsame Normdatei (GND) – kartoteka wzorcowa, stanowiąca element centralnego katalogu Niemieckiej Biblioteki Narodowej (DNB), utrzymywanego wspólnie przez niemieckie i austriackie sieci biblioteczne.Równanie Diraca – podstawowe równanie w relatywistycznej mechanice kwantowej, sformułowane przez angielskiego fizyka Paula Diraca w 1928 roku. Spełnia ono taką samą rolę jak równanie Schrödingera w nierelatywistycznej mechanice kwantowej.

    Najprościej dokonuje się tego, gdy współrzędnymi uogólnionymi są współrzędne kartezjańskie Współrzędne pozostawia się bez zmian, natomiast:

    1) w przypadku cząstki swobodnej pędom przypisuje się operatory różniczkowania po sprzężonych z nimi współrzędnych

    2) w przypadku cząstki o ładunku oddziałującej z polem elektromagnetycznym opisanym potencjałem wektorowym i skalarnym dokonuje się podstawień w wyrażeniu na hamiltonian cząstki swobodnej (tzw. reguły Jordana)

    Aby otrzymać postać operatora Hamiltona w innym układzie współrzędnych wystarczy dokonać odpowiedniej transformacji operatora zapisanego w układzie kartezjańskim. Opisana metoda uzyskania operatora Hamiltona nazywa się pierwszym kwantowaniem.

    Ponieważ funkcja Hamiltona istnieje tylko dla układów oddziałujących z polem sił potencjalnych (w tym sił potencjalnych uogólnionych), więc operator Hamiltona można napisać tylko dla takich układów. Jednak wyczerpuje to wszystkie interesujące przypadki rozpatrywane w mechanice kwantowej.

    Hamiltonian pojedynczej cząstki[ | edytuj kod]

    Jeżeli cząstka o masie ma energię potencjalną zależną od jednej współrzędnej przestrzennej oraz czasu to funkcja Hamiltona jest sumą jej energii kinetycznej i energii potencjalnej

    gdzie – pęd cząstki w kierunku osi

    (Np. cząstka o masie m w polu grawitacyjnym Ziemi ma energię potencjalną gdzie – położenie cząstki nad poziomem odniesienia).

    Operator Hamiltona uzyskany z wcześniej opisanego procesu kwantowania ma postać

    gdzie:

  • – operator pędu w kierunku osi
  • – kwadrat operator pędu w kierunku osi


  • Podstrony: 1 [2] [3] [4]




    Reklama

    Czas generowania strony: 1 sek.