• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Ożywienie kwantowe funkcji falowej

    Przeczytaj także...
    Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, społecznych itp. Wykres funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą dzwonową.Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.
    Kwantowy oscylator harmoniczny – układ fizyczny rozmiarów atomowych lub subatomowych (np. jon w sieci krystalicznej lub w cząsteczka gazu) wykonujący ruch drgający (oscylacyjny) pod wpływem siły proporcjonalnej do wychylenia od położenia równowagi. Właściwy opis ruchu wymaga zastosowania mechaniki kwantowej, co sprowadza się do znalezienia rozwiązań równania Schrödingera. Dowodem eksperymentalnym konieczności zastosowania mechaniki kwantowej do opisu właściwości mikroskopowych układów drgających jest np. nieciągłe widmo promieniowania emitowane przez drgające cząsteczki. Makroskopowym odpowiednikiem oscylatora kwantowego jest klasyczny oscylator harmoniczny, którym jest ciało makroskopowe o stosunkowo dużej masie, zawieszone np. na sprężynie i wykonujące drgania; do opisu jego ruchu wystarczająca jest mechanika klasyczna. Pojęcie oscylatora ma duże zastosowanie i znaczenie w wielu działach fizyki klasycznej i kwantowej.
    Pełne i dokładne ożywienie semi-Gausowskiej funkcji falowej w dwu-wymiarowej nieskończonej studni potencjału podczas ewolucji czasowej. W międzyczasie następują ożywienia ułamkowe kiedy to przeskalowany kształt początkowej funkcji falowej powiela się całkowita liczbę razy na całej powierzchni studni.

    Ożywienie kwantowe funkcji falowej lub ożywienie kwantowe (ang. Quantum revival of the wave function lub Quantum revival) – w mechanice kwantowej periodyczne w czasie powtarzanie się funkcji falowej z jej stanu początkowego podczas ewolucji czasowej albo wiele razy w przestrzeni jako wielokrotnie symetrycznie występujące i przeskalowane części w kształcie funkcji początkowej (ożywienie ułamkowe) lub dokładnie albo w przybliżeniu do jej wartości na początku ewolucji czasowej (ożywienie pełne).

    Wodór (H, łac. hydrogenium) – pierwiastek chemiczny o liczbie atomowej 1, niemetal z bloku s układu okresowego. Jego izotop, prot, jest najprostszym możliwym atomem, zbudowanym z jednego protonu i jednego elektronu.Przybliżenie Padé – metoda aproksymacji funkcji za pomocą funkcji wymiernych danego rzędu. Często daje lepszy wynik niż szereg Taylora dla tej samej liczby współczynników, kiedy funkcja posiada bieguny.

    Zjawisko ożywień jest najłatwiej obserwowalne dla funkcji falowych będących dobrze zlokalizowanymi paczkami falowymi na początku ewolucji czasowej, np. w atomie wodoru. Dla wodoru ożywienia ułamkowe ujawnia się jako wielokrotne gaussowskie garby prawdopodobieństwa zlokalizowane na kole otaczającym proton wyglądające jak oryginalna funkcja Gaussa, ale w zmniejszeniu. Pełne ożywienie jest dokładne dla nieskończonej studni potencjału, kwantowego oscylatora harmonicznego oraz dla atomu wodoru w przypadku funkcji o skończonym rozwinięciu, podczas gdy dla krótszych czasów jest przybliżone dla atomu wodoru i wielu innych układów kwantowomechanicznych.

    Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb naturalnych a1, a2,... ,an - najmniejsza liczba naturalna ze zbioru wszystkich liczb naturalnych, których dzielnikiem jest każda z liczb a1,...,an, i na przykład dla liczb 15 i 240 jest to liczba 240, a dla liczb 192 i 348 - liczba 5568. Najmniejszą wspólną wielokrotność oznacza się często symbolem NWW(a1,...,an).Paczka trojańska lub trojańska paczka falowa (ang. Trojan wave packet lub Trojan Wavepackets) – w mechanice kwantowej stan stacjonarny hamiltonianu Starka-Zeemana, który jest również pakietem falowym w układzie współrzędnych nie poruszającym się względem obserwatora. Źródło silnego promieniowania cyklotronowego o częstotliwości optycznej lub mikrofalowej.

    Ożywienie kwantowe zostało zaobserwowane doświadczalnie dla kondensatu Bosego-Einsteina w potencjale sieci optycznej.

    Przykład – dowolna obcięta funkcja układu kwantowego z energiami wymiernymi[]

    Rozważmy układ kwantowy z energiami i stanami własnymi

    Zbiór gęsty – zbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny. W przestrzeni metrycznej ( X , d ) {displaystyle (X,d)} zbiór D ⊂ X {displaystyle Dsubset X} nazywamy gęstym jeśli dla każdego x ∈ X {displaystyle xin X} i liczby ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} istnieje element q ∈ D {displaystyle qin D} taki, że d ( x , q ) < ε {displaystyle d(x,q)<varepsilon } , tzn. dowolnie blisko każdego elementu x ∈ X {displaystyle xin X} znajduje się jakiś element z D {displaystyle D} .Sieć optyczna jest formowana za pomocą interferujących wiązek laserowych, które tworzą falę stojącą. Powoduje ona powstanie efektywnego okresowego potencjału oddziaływania widzianego przez neutralne atomy na skutek istnienia tzw. zmiennopolowego efektu Starka. Atomy są chłodzone, gaz ma największą gęstość w okolicach minimów potencjału. Potencjał okresowy widziany przez neutralne atomy przypomina sieć krystaliczną metali.

    i niech energie te będą wymiernymi częściami pewnej stałej

    Kondensacja Bosego-Einsteina – efekt kwantowy zachodzący w układach podległych rozkładowi Bosego-Einsteina. Piąty stan skupienia. W temperaturach niższych od temperatury krytycznej część cząstek (bozonów) przechodzi w zerowy stan pędowy – cząstki te mają identyczny pęd. Oznacza to, że w zerowej objętości przestrzeni pędów może znajdować się niezerowa liczba cząstek. Mówimy wtedy o makroskopowym obsadzeniu stanu podstawowego. Efektem kondensacji jest kolektywne zachowanie wszystkich cząstek biorących w niej udział (w przybliżeniu wszystkie zachowują się jak jedna cząstka). Należy podkreślić, że nie chodzi tu o kondensację w zwykłym sensie w przestrzeni położeniowej – cząstki nie znajdują się w jednym miejscu, lecz o "kondensację" cząstek w przestrzeni pędów – znaczna liczba cząstek ma taki sam pęd. Rozkład przestrzenny cząstek "skondensowanych" pozostaje równomierny (jeśli nie ma pól zewnętrznych). W kondensacie Bosego-Einsteina zachodzi zjawisko nadciekłości. Kondensat opisywany jest w przybliżeniu nieliniowym równaniem Grossa-Pitajewskiego. Równanie to posiada rozwiązania solitonowe, o wielkim znaczeniu eksperymentalnym. Występują zarówno "jasne" jak i "ciemne" rozwiązania solitonowe. Przybliżenie można polepszyć stosując rachunek zaburzeń – teorię Bogoliubowa.Nadpromienista przemiania fazowa (ang. Superradiant phase transition) – w mechanice kwantowej podobna do nadprzewodnictwa i ferromagnetyzmu przemiana fazowa w układzie składającym sie z materii i kwantowego pola elektromagnetycznego, polegająca na tym, że układ przechodzi do uporządkowanego stanu nadpromienistego w którym w stanie podstawowym w odróżnieniu od normalnej próżni elektromagnetycznej istnieje znaczna gęstość uwięzionych wśród materii fotonów, a atomy pozostają na stałe w stanach silnie wzbudzonych. Oryginalnie została przewidziana w tzw. modelu Dicke w którym zakłada się, że atomy posiadają jedynie dwa poziomy energetyczne i oddziałują one z jednym modem kwantowego pola elektromagnetycznego . Przemiana ta zachodzi, kiedy siła oddziaływania atomów z polem elektromagnetycznym jest większa niż energia części nieoddziałującej układu, co podobnie jak w przypadku nadprzewodnictwa i ferromagnetyzmu prowadzi do efektywnych oddziaływań dynamicznych pomiędzy atomami typu ferromagnetycznego i spontanicznego pojawienia się uporządkowania wzbudzeń poniżej temperatury krytycznej. Znaczy to, że kolektywne przesunięcie Lamba w układzie oddziałujących z fluktuacjami próżni atomów staje się porównywalne z energiami samych atomów, a fluktuacje próżni powodują spontaniczne samowzbudzenie materii. Przemiana ta może być łatwo zrozumiana stosując transformacje Holsteina-Primakoffa do atomów dwupoziomowych. W wyniku tej transformacji atomy stają się oscylatorami harmonicznymi o częstości równej różnicy poziomów, a cały układ układem oddziałujących oscylatorów harmonicznych atomów i pola, czyli dielektrykiem Hopfielda przewidującym w stanie normalnym polarony dla fotonów, czyli polarytony. Jeśli teraz oddziaływanie z polem elektromagnetycznym jest tak silne, że układ zapada się i pojawiają się częstości urojone wtedy układ fizyczny ze stabilizującymi członami wyższych rzędów będzie podlegał podobnej do ferroelektrycznej przemianie fazowej. W modelu tym układ matematycznie równoważny jest dla jednego modu wzbudzeń paczce trojańskiej kiedy to natężenie pola elektromagnetycznego spolaryzowanego kołowo odpowiada stałej sprzęzenia elektromagnetycznego i powyżej jej wartości krytycznej przechodzi do ruchu niestabilnego (jonizacji).

    np. dla atomu wodoru , , .

    Studnia kwantowa jest to studnia potencjału powodująca ograniczenie przestrzenne cząstek w pewnym obszarze poprzez bariery potencjału. W zależności od kształtu funkcji potencjału, istnieją różne rodzaje studni kwantowych. Najczęściej jako poglądowy model rozważa się jednowymiarową studnię potencjału lub studnię o symetrii sferycznej. Przykładem studni potencjału o symetrii sferycznej jest potencjał kulombowski jądra atomowego.DOI (ang. digital object identifier – cyfrowy identyfikator dokumentu elektronicznego) – identyfikator dokumentu elektronicznego, który w odróżnieniu od identyfikatorów URL nie zależy od fizycznej lokalizacji dokumentu, lecz jest do niego na stałe przypisany.

    Wtedy obcięte (do stanów) rozwiązanie równania Schrōdingera zależnego od czasu jest dane przez

    Superożywienie (ang. Superrevival) inwersji (powrót przybliżonych ożywień do oryginalnego kształtu) w modelu Jaynesa-Cummingsa kiedy to dokładne widmo energetyczne w rezonansie wokół średniej liczby fotonów jest przybliżone wielomianem drugiego stopnia liczby kwantowej fotonu , , .

    Niech będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością wszystkich liczb , a największym wspólnym dzielnikiem wszystkich liczb wtedy dla każdego dzielenie jest liczba całkowitą, dla każdego dzielenie jest liczba całkowitą a jest całkowitą wielokrotnością kąta pełnego i

    Liczba zmiennoprzecinkowa – reprezentacja liczby rzeczywistej zapisanej za pomocą notacji naukowej. Ze względu na wygodę operowania na takich liczbach, przyjmuje się ograniczony zakres na mantysę i cechę – nazwy te mają w matematyce znaczenie podane w artykule podłoga i sufit, a w niniejszym artykule inne, powszechne w informatyce. Powoduje to, że reprezentacja liczby rzeczywistej jest tylko przybliżona, a jedna liczba zmiennoprzecinkowa może reprezentować różne liczby rzeczywiste z pewnego zakresu.Definicja intuicyjna: Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

    po czasie pełnego ożywienia .

    Dla układu kwantowego tak małego jak wodór i tak małego jak 100 jest tak duża, że może upłynąć lat, zanim ten układ odżyje w pełni.

    Równanie Schrödingera – jedno z podstawowych równań nierelatywistycznej mechaniki kwantowej (obok równania Heisenberga), sformułowane przez austriackiego fizyka Erwina Schrödingera w 1926 roku. Opisuje ono ewolucję układu kwantowego w czasie. W nierelatywistycznej mechanice kwantowej odgrywa rolę analogiczną do drugiej zasady dynamiki Newtona w mechanice klasycznej.Inwersja obsadzeń w mechanice statystycznej – stan układu, w którym liczba cząstek o energii większej jest większa niż cząsteczek o energii niższej. Inwersja obsadzeń jest wykorzystana w działaniu lasera.

    W zależności od stanu początkowego, podczas tego czasu wielokrotnie układ może być w stanie bardzo bliskim stanowi początkowemu, który eksperymentalnie będzie nierozróżnialny (przy obecnym zaawansowaniu technik eksperymentalnych) od stanu początkowego.

    Bit (w ang. kawałek, skrót od binary digit, czyli cyfra dwójkowa) – najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych stanów przyjął układ. Jednostka logiczna.Największy wspólny dzielnik – dla danych dwóch (lub więcej) liczb całkowitych największa liczba naturalna dzieląca każdą z nich. Pojęcie to ma wiele uogólnień, które przedstawiono w dalszej części artykułu.

    Uderzającą konsekwencją jest to że żaden komputer o skończonej bitowo długości słowa nie może propagować dokładnie funkcji falowej przez dowolnie długi czas. Jeśli liczba procesorowa jest n-bitową liczbą zmienooprzecinkową wtedy energia jest na przykład równa 2,34576893 = 234576893/100000000 i jest dokładnie liczbą wymierną i pełne ożywienie następuje dla dowolnej funkcji falowej dowolnego układu kwantowego po czasie która jest maksymalnym jej wykładnikiem ale nie musi to być prawdą dla wszystkich układów kwantowych lub inaczej wszystkie układy kwantowe ulegają dokładnemu i pełnemu ożywieniu numerycznie.

    Bibcode – identyfikator używany w wielu astronomicznych systemach danych do oznaczania publikacji wymienianych w bibliografii.

    W układzie fizycznym którego energie są wymierne tzn. kiedy istnieje dokładne pełne ożywienie funkcji falowej jego istnienie natychmiast udowadnia tzw. kwantowe twierdzenie Poincaré o powrocie systemu fizycznego do stanu początkowego i czas pełnego ożywienia jest równy czasowi powrotu Poincaré. Podczas kiedy liczby wymierne są zbiorem gęstym w zbiorze liczb rzeczywistych a dowolna funkcja liczby kwantowej może być przybliżona dowolnie dokładnie przez aproksymanty Padé ze współczynnikami o dowolnej dokładności dziesiątkowej w ciągu dowolnie długiego czasu każdy system kwantowy (podobnie jak klasyczny) ożywa prawie dokładnie tzn. wraca dowolnie blisko swojego stanu początkowego. Znaczy to także ze powrót Poincaré i pełne ożywienie funkcji falowej są matematycznie tym samym ale jest powszechnie przyjęte że powrót jest nazywany pełnym ożywieniem jeśli zachodzi po realistycznym i fizycznie mierzalnym czasie który możliwy jest do wyznaczenia przez realistyczny przyrząd pomiarowy a to zdarza się tylko dla bardzo specjalnego widma energetycznego które posiada podstawowy, duży odstęp energetyczny i którego energie są dowolnie całkowitymi i niekoniecznie równo rozłożonymi (jak dla oscylatory harmonicznego) wielokrotnościami.

    Przypisy

    1. J.H. Eberly, N.B. Narozhny, and J.J. Sanchez-Mondragon. Periodic spontaneous collapse and revival in a simple quantum model. „Phys. Rev. Lett.”. 44 (20), s. 1323–1326, 1980. DOI: 10.1103/PhysRevLett.44.1323. Bibcode1980PhRvL..44.1323E. 
    2. Z. Dacic Gaeta and C. R. Stroud, Jr.. Classical and quantum mechanical dynamics of quasiclassical state of a hydrogen atom. „Phys. Rev. A”. 42 (11), s. 6308–6313, 1990. DOI: 10.1103/PhysRevA.42.6308. Bibcode1990PhRvA..42.6308G. 
    3. . DOI: 10.1038/nature00968. 
    4. . DOI: 10.1038/nature09036. 
    5. P. Bocchieri, A. Loinger. Quantum Recurrence Theorem. „Phys. Rev.”. 107 (2), s. 337–338, 1957. 



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.072 sek.