Interwał czasoprzestrzenny[ | edytuj kod]

Jednym z niezmienników transformacji Lorentza jest interwał czasoprzestrzenny, czyli odległość między dwoma zdarzeniami w czasoprzestrzeni. Wyraża się on wzorem d S 2 = ( c Δ t ) 2 − ( Δ x ) 2 − ( Δ y ) 2 − ( Δ z ) 2 {\displaystyle dS^{2}=\left(c\Delta t\right)^{2}-\left(\Delta x\right)^{2}-\left(\Delta y\right)^{2}-\left(\Delta z\right)^{2}}

gdzie:

Δ t {\displaystyle \Delta t} - różnica między czasami zajścia zdarzeń

Δ x ,   Δ y ,   Δ z {\displaystyle \Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z} - odległościami przestrzenne między zdarzeniami wzdłuż osi X, Y, Z

Dowód

Wzory transformacyjne Lorentza

W fizyce pole – przestrzenny rozkład pewnej wielkości fizycznej. Inaczej mówiąc – w przestrzeni określone jest pewne pole, jeżeli każdemu punktowi przestrzeni przypisano pewną wielkość.Inaczej tensor energii-pędu jest tensorem wymiaru 4x4, będącym w ogólnej teorii względności źródłem zakrzywienia czasoprzestrzeni odczuwanego jako grawitacja. Każda jego składowa określa strumień czteropędu przez (trójwymiarową) hiperpowierzchnię przecinającą czterowymiarową czasoprzestrzeń fizyczną. Aby obliczyć składową [a,b] tego tensora w danym punkcie, bierzemy średnią (całkę) składowej a wektora czteropędu i dzielimy przez element hiperpowierzchni prostopadłej do wektora bazowego odpowiadającego wymiarowi b. Element [0,0] tego tensora to zwyczajna gęstość masy, składowe [0,a], gdzie 1 ≤ a ≤ 3 to gęstość pędu (średnia wartość pędu w jakimś obszarze, dzielona przez objętość tego obszaru), a część [a,b], gdzie a i b przyjmują wartości 1 do 3, to znany z techniki tensor napięć. Składowe diagonalne tego tensora to ciśnienie, a pozadiagonalne, to tzw. napięcie (albo naprężenie).

x ′ = γ ( x − v t ) {\displaystyle x'=\gamma (x-vt)} t ′ = γ ( − v ⋅ x c 2 + t ) {\displaystyle t'=\gamma \left(-{\frac {v\cdot x}{c^{2}}}+t\right)}

można zapisać w postaci

Czasoprzestrzeń – zbiór zdarzeń zlokalizowanych w przestrzeni i czasie, wyposażony w strukturę afiniczną i metryczną o określonej postaci, w zależności od analizowanego modelu fizycznej czasoprzestrzeni.Tensor metryczny jest to symetryczny tensor drugiego rzędu (dwuwymiarowy) opisujący związek danego układu współrzędnych z układem kartezjańskim. Jest on podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej (oraz elektrodynamiki, teorii względności i innych teorii których językiem jest geometria różniczkowa), jego podstawowym zastosowaniem jest występowanie w iloczynie skalarnym dwóch wektorów (obowiązuje konwencja sumacyjna):

{ Δ x ′ = γ ( Δ x − v Δ t ) Δ t ′ = γ ( − v Δ x c 2 + Δ t ) {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&\Delta {x}'=\gamma (\Delta x-v\Delta t)\\&\Delta {t}'=\gamma \left(-{\frac {v\Delta x}{c^{2}}}+\Delta t\right)\\\end{aligned}}\right.}

Podnosząc obie strony do kwadratu i mnożąc drugie równanie przez c² otrzymamy

Układ inercjalny (inaczej inercyjny) – układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku). Istnienie takiego układu jest postulowane przez pierwszą zasadę dynamiki Newtona. Zgodnie z zasadą względności Galileusza wszystkie inercjalne układy odniesienia są równouprawnione i wszystkie prawa mechaniki i fizyki są w nich identyczne.Transformacja Lorentza (przekształcenie Lorentza) – przekształcenie liniowe przestrzeni Minkowskiego umożliwiające obliczenie wielkości fizycznych w pewnym układzie odniesienia, jeśli znane są te wielkości w układzie poruszającym się względem pierwszego. Przekształceniu temu podlegają np. współrzędne w czasoprzestrzeni, energia i pęd, prędkość (zarówno wartość, jak i kierunek), pole elektryczne i magnetyczne. Wzory transformacyjne zostały wyprowadzone przez Lorentza w oparciu o założenie, że prędkość światła jest stała i niezależna od prędkości układu. Bardziej ogólną transformacją czasoprzestrzeni jest transformacja Poincarego.

{ ( Δ x ′ ) 2 = γ 2 [ ( Δ x ) 2 − 2 v Δ x Δ t + v 2 ( Δ t ) 2 ] c 2 ( Δ t ′ ) 2 = γ 2 [ v 2 ( Δ x ) 2 c 2 − 2 v Δ x Δ t + c 2 ( Δ t ) 2 ] {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&\left(\Delta {x}'\right)^{2}=\gamma ^{2}\left[\left(\Delta x\right)^{2}-2v\Delta x\Delta t+v^{2}\left(\Delta t\right)^{2}\right]\\&c^{2}(\Delta {t}')^{2}=\gamma ^{2}\left[{\frac {v^{2}\left(\Delta x\right)^{2}}{c^{2}}}-2v\Delta x\Delta t+c^{2}\left(\Delta t\right)^{2}\right]\\\end{aligned}}\right.}

a po odjęciu stronami

Czas własny – w teorii względności czas wskazywany przez zegar poruszający się z ciałem; zależy zarówno od prędkości, z jaką porusza się zegar, jak i od tego, w jakim polu grawitacyjnym znajduje się zegar.Definicja intuicyjna: Tensor – uogólnienie pojęcia wektora; wielkość, której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych.

( Δ x ′ ) 2 − c 2 ( Δ t ′ ) 2 = γ 2 [ ( Δ x ) 2 ( 1 − v 2 c 2 ) − c 2 ( Δ t ) 2 ( 1 − v 2 c 2 ) ] {\displaystyle \left(\Delta {x}'\right)^{2}-c^{2}(\Delta {t}')^{2}=\gamma ^{2}\left[\left(\Delta x\right)^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-c^{2}\left(\Delta t\right)^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\right]} ( Δ x ′ ) 2 − c 2 ( Δ t ′ ) 2 = γ 2 [ ( Δ x ) 2 1 γ 2 − c 2 ( Δ t ) 2 1 γ 2 ] ( Δ x ′ ) 2 − c 2 ( Δ t ′ ) 2 = ( Δ x ) 2 − c 2 ( Δ t ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\Delta {x}'\right)^{2}-c^{2}(\Delta {t}')^{2}=\gamma ^{2}\left[\left(\Delta x\right)^{2}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}-c^{2}\left(\Delta t\right)^{2}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}\right]\\&\left(\Delta {x}'\right)^{2}-c^{2}(\Delta {t}')^{2}=\left(\Delta x\right)^{2}-c^{2}\left(\Delta t\right)^{2}\\\end{aligned}}}

Długość 4-wektora energii-pędu[ | edytuj kod]

Czterowektor energii-pędu jest dany wyrażeniem p μ = ( E c , p → ) {\displaystyle p^{\mu }={\Big (}{\frac {E}{c}},{\vec {p}}{\Big )}}

Długość tego 4-wektora wynosi | | p | | 2 = p μ p μ = E 2 − p 2 c 2 = ( m c 2 ) 2 {\displaystyle ||p||^{2}=p^{\mu }p_{\mu }=E^{2}-p^{2}c^{2}=(mc^{2})^{2}}

- długość ta jest równa wielkości masy spoczynkowej ciała mnożonej przez kwadrat prędkości światła - wartość ta nie zależy od tego, w jakim układzie określa się ją, gdyż a) masa spoczynkowa jest wielkością charakteryzującą cząstkę, np. elektoron ma inną masę spoczynkową niż proton itp. b) prędkość światła jest identyczna w każdym układzie odniesienia (zgodnie z postulatem Einsteina).