• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Nierówność



    Podstrony: 1 [2] [3] [4]
    Przeczytaj także...
    Funkcja wymierna – funkcja będąca ilorazem funkcji wielomianowych. Iloraz wielomianów realizujących dane funkcje wielomianowe nazywa się wyrażeniem wymiernym. Można powiedzieć, że funkcje wymierne mają się tak do funkcji wielomianowych jak liczby wymierne do liczb całkowitych.Programowanie liniowe – klasa problemów programowania matematycznego, w której wszystkie warunki ograniczające oraz funkcja celu mają postać liniową. Warunki ograniczające mają postać:

    Nierówność – relacja porządku między dwoma wyrażeniami.

    Jest to więc jedno z następujących wyrażeń logicznych (formul logicznych):

  • oznaczająca jest mniejsze od
  • oznaczająca jest większe od
  • oznaczająca jest nie większe (mniejsze lub równe) od
  • oznaczająca jest nie mniejsze (większe lub równe) od
  • Dwie pierwsze nierówności nazywane są ostrymi lub mocnymi; dwie następne nieostrymi lub słabymi. ostre są przeciwzwrotne.

    Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.W analizie harmonicznej nierówność Höldera jest fundamentalną nierównością wiążącą przestrzenie Lp. Nazwana nazwiskiem matematyka Otto Höldera, została najpierw sformułowana przez L. J. Rogersa (1888) i ponownie odkryta przez Höldera (1889).

    Często terminem nierówność określa się także negację równości czyli oznaczającą a jest różne (nie jest równe) od b.

    Wyrażenie nazywa się lewą stroną nierówności, – prawą stroną nierówności.

    Wyrażenia po obu stronach są stałymi ze zbioru liniowo uporządkowanego albo przy wartościowaniu stają się stałymi z tego zbioru.

    Formuła logiczna to określenie dozwolonego wyrażenia w wielu systemach logicznych, m.in. w rachunku kwantyfikatorów oraz w rachunku zdań.Nierówność Jensena mówi, że jeżeli f jest funkcją wypukłą określoną na przedziale P liczb rzeczywistych, to wartość tej funkcji na kombinacji wypukłej elementów przedziału P nie przekracza kombinacji wypukłej wartości funkcji w tych punktach (przy czym obie kombinacje wypukłe mają te same współczynniki). Nazwa nierówności pochodzi od nazwiska Johana Jensensa, duńskiego matematyka i inżyniera.

    Przykłady nierówności:

  • Pierwsza nierówność jest prawdziwa, druga fałszywa, trzecia może być – w zależności od wartości – prawdziwa lub fałszywa: dla jest prawdziwa, dla jest fałszywa.

    Rząd wielkości - szacunkowe określenie liczby przybliżające jej wartość częścią całkowitą jej logarytmu dziesiętnego. Zazwyczaj służy do porównywania wielkości, które charakteryzują się wielkoskalową zmiennością, np. w technice czy fizyce.Nierówność trójkąta – twierdzenie matematyczne mówiące, że dla dowolnego trójkąta miara jednego boku musi być mniejsza lub równa sumie miar dwóch pozostałych, ale większa lub równa od różnicy ich miar. W obu przypadkach równości zachodzą dla trójkątów zdegenerowanych, czyli mających postać odcinka: jeden kąt ma wówczas 180°, dwa pozostałe 0°.

    Spis treści

  • 1 Podstawowe własności
  • 2 Rozwiązywanie nierówności
  • 2.1 Nierówność liniowa
  • 2.2 Nierówność kwadratowa
  • 2.3 Nierówność algebraiczna
  • 2.4 Nierówności trygonometryczne
  • 2.5 Nierówności wykładnicze i logarytmiczne
  • 2.6 Nierówności z parametrem
  • 3 Dowodzenie nierówności
  • 3.1 Przekształcenia
  • 3.2 Redukcja do innych nierówności
  • 3.3 Użycie metod analizy matematycznej
  • 3.4 Nierówności geometryczne
  • 4 Nierówności podwójne
  • 5 Oznaczenie różnicy rzędów wielkości
  • 6 Zobacz też
  • 7 Przypisy
  • Stopień jednomianu – suma wszystkich wykładników potęg przy zmiennych niezerowego jednomianu, np. jednomian x y = x 1 y 1 {displaystyle xy=x^{1}y^{1}} jest stopnia drugiego.Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.

    Podstawowe własności[]

    Badanie nierówności sprowadza się do badania równania (lub równości) . Z tego względu nie będziemy się nią tu zajmować.

    Równanie algebraiczne – równanie w postaci W(x) = 0, gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n jednej lub wielu zmiennych (n ≥ 0). Więc równanie algebraiczne jednej zmiennej to równanie w postaciNierówność Bernoulliego – jedna z najbardziej znanych i podstawowych nierówności w matematyce. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Jakoba Bernoulliego, który wykorzystywał tę nierówność w swoich badaniach.

    Pozostałe rodzaje nierówności można rozpatrywać tylko w zbiorach, w których określono uporządkowanie elementów (tzw. zbiorach liniowo uporządkowanych). Poniżej zajmiemy się tylko nierównościami w dziedzinie liczb rzeczywistych .

    Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych – jedna z podstawowych nierówności w matematyce. Można za jej pomocą dowieść wielu innych nierówności, takich jak nierówności między średnimi, nierówność Cauchy’ego-Schwarza, nierówność Czebyszewa.Częściowy porządek (ang. partial order) – relacja zwrotna, przechodnia i antysymetryczna albo równoważnie antysymetryczny praporządek.

    Podstawowe własności nierówności:

  • Własność trychotomii dla relacji ostrych. Np.: dokładnie jedno z tych zdań jest prawdziwe: , , .
  • Spójność dla relacji słabych. Np. dla dowolnych zachodzi
  • Antysymetryczność ścisła. Np. .
  • Antysymetryczność słaba. Np. .
  • Nierówności mocne są przeciwzwrotne, tzn., że dla żadnego nie zachodzi ani .
  • Nierówności słabe są zwrotne. Np. .
  • Przechodniość dla relacji słabych i mocnych. Np. jeśli i to .
  • Do obu stron nierówności można dodać lub odjąć tę samą liczbę. jest równoważne , a także .
  • Nierówności można dodawać stronami. Jeżeli i to .
  • Obie strony nierówności można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę dodatnią. Jeżeli , to jest równoważne nierówności , a także .
  • Obie strony nierówności można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę ujemną, zmieniając znak nierówności na przeciwny. Jeżeli , to jest równoważne nierówności , a także .
  • Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny: .
  • Niech . Jeżeli jest funkcją rosnącą, to . Jeżeli jest funkcją malejącą, to . Innymi słowy, na obie strony nierówności można nałożyć funkcję monotoniczną, zmieniając znak jeżeli jest to funkcja nierosnąca. Jeżeli nie jest to funkcja ściśle monotoniczna, to mocną nierówność należy zamienić na jej słabą wersję.
  • Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Nierówność Cauchy’ego-Schwarza – podstawowa własność iloczynu skalarnego w przestrzeni unitarnej. Nierówność ta znana jest także pod wieloma innymi nazwami: Schwarza, Buniakowskiego-Schwarza lub Cauchy’ego-Buniakowskiego-Schwarza.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Twierdzenie Erdősa, nierówność Erdősa - nazwę tę nosi następujące twierdzenie geometrii elementarnej, opublikowane bez dowodu jako hipoteza w 1935 roku w czasopiśmie American Mathematical Monthly przez Paula Erdősa:
    Dowód – w matematyce wykazanie, że pewne zdanie jest prawdziwe. Dowód należy odróżnić od empirycznego lub heurystycznego rozumowania. Każdy krok dowodu musi jasno wynikać z poprzednich lub być przyjętym aksjomatem; rozumowanie nie spełniające tego warunku nie jest dowodem. Ostatni krok dowodu to udowodnione zdanie, które w ten sposób staje się twierdzeniem danej teorii. Zwyczajowo koniec dowodu oznacza się skrótem q.e.d. (quod erat demonstrandum), c.n.d. (co należało dowieść) lub podobnym.
    Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.
    Funkcja monotoniczna – funkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku zbiorów. Pojęcie powstałe pierwotnie na gruncie analizy zostało uogólnione na gruncie teorii porządku.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.072 sek.