• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Monoid

    Przeczytaj także...
    Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.
    Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

    Monoidpółgrupa, której działanie ma element neutralny. Formalnie, monoid to algebra sygnatury gdzie jest niepustym zbiorem, natomiast

    Algebra ogólna – obiekt matematyczny będący przedmiotem badań algebry uniwersalnej. Czasami algebra uniwersalna nazywana jest algebrą ogólną, wówczas rozważane w niej obiekty nazywa się zwykle algebrami abstrakcyjnymi lub po prostu algebrami.Homomorfizm – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (czyli strukturę algebraiczną taką jak grupa, pierścień czy przestrzeń wektorowa) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.

    jest działaniem dwuargumentowym, spełniającym warunki:

    1.       ( jest elementem neutralnym),
    2.       (działanie jest łączne).

    Szczególny przypadek monoidu stanowi grupa. Wynika stąd następujące zawieranie:

    Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.Twierdzenie Cayleya – twierdzenie teorii grup autorstwa Arthura Cayleya mówiące, iż dowolna abstrakcyjna grupa jest w rzeczywistości pewną grupą przekształceń (podgrupą grupy symetrycznej) zbioru, na którym została ona określona. Pozwala ono przełożyć wszystkie wyniki dotyczące grup symetrycznych na grupy abstrakcyjne.
    klasa półgrup klasa monoidów klasa grup.

    Każdy monoid jest izomorficzny z półgrupą wszystkich endomorfizmów pewnej algebry Jest to uogólnienie twierdzenia Cayleya.

    Półgrupa – Grupoid ⟨ A , ⊙ ⟩ {displaystyle langle A,odot angle } , którego działanie ⊙ {displaystyle odot } jest łączne, czyli:Diagram przemienny – w matematyce, a szczególnie jej dziale nazywanym teorią kategorii, diagram składający się z obiektów (nazywanych również wierzchołkami) i morfizmów (znanych także jako strzałki lub krawędzie), w którym wybranie dowolnej drogi skierowanej między dwoma jego obiektami prowadzi do tego samego wyniku ze względu na składanie morfizmów. Diagramy przemienne odgrywają analogiczną rolę w teorii kategorii do równań w algebrze.

    Przykłady[ | edytuj kod]

  • Liczby naturalne (koniecznie z zerem) z działaniem dodawania: elementem neutralnym jest w tym przypadku zero.
  • Liczby naturalne (z zerem bądź bez) z działaniem mnożenia: elementem neutralnym tego monoidu jest 1 (w obu przykładach).
  • Każdej półgrupie można przyporządkować jej monoid w następujący sposób:
  • Jeśli ma element neutralny to monoidem tym jest Jeśli nie ma elementu neutralnego, to monoidem tym jest dla pewnego przy czym: dla wszystkich zachodzi dla każdego spełniona jest równość
  • Monoid wolny. – zbiór słów nad alfabetem z jako słowem pustym i jako operacją konkatenacji. Jeśli to słowami są na przykład: a przykładami konkatenacji są:
  • Własność uniwersalności monoidu wolnego. Po utożsamieniu elementów zbioru ze słowami jednoelementowymi można uznać za podzbiór monoidu wolnego
  • Uniwersalność monoidu wolnego
    przy czym podzbiór ten generuje i odwzorowanie ma następującą własność uniwersalności: dla dowolnego odwzorowania zbioru w monoid istnieje jedyny taki homomorfizm dla którego następujący diagram jest przemienny.
  • Zbiór wszystkich odwzorowań dowolnego zbioru w zbiór wraz z działaniem składania odwzorowań tworzy monoid. Jedynką jest w nim odwzorowanie identycznościowe na Półgrupę tę nazywa się często pełną półgrupą przekształceń lub półgrupą symetryczną.
  • Jeśli jest monoidem, jest półgrupą, a jest homomorfizmem na to jest monoidem.
  • Przypisy[ | edytuj kod]

    1. Milne J.S: Group Theory. s.31. [dostęp 2011-08-23].
    2. Gerard Lallement: Semigroups and Combinatorial Applications (tłum. ros.). Wyd. 1. Mиp, 1985, s. 16. (ros.)
    3. Milne, op. cit., s. 31.
    4. Milne, op. cit., s. 32.
    5. Скорняков, op. cit., s. 60.

    Bibliografia[ | edytuj kod]

  • A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups. Wyd. 1. American Mathematical Society, 1964.
  • J.S. Milne: Group Theory. [dostęp 2011-08-23].
  • Скорняков Л.А.: Элементы алгебры. Москва: Наука, 1986.
  • Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.




    Warto wiedzieć że... beta

    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.
    Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) − funkcja wzajemnie jednoznaczna z jednego obiektu matematycznego w drugi, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.
    Endomorfizm – w teorii kategorii morfizm danej struktury matematycznej w siebie. Zbiór E n d A {displaystyle scriptstyle mathrm {End} ;{mathcal {A}}} wszystkich endomorfizmów struktury A {displaystyle scriptstyle {mathcal {A}}} wraz z działaniem składania przekształceń jest monoidem (tzn. półgrupą z jedynką). W strukturach algebraicznych endomorfizmy są homomorfizmami (danej struktury w siebie).
    Element neutralny – w algebrze element struktury algebraicznej, który dla danego działania dwuargumentowego przyłożony do dowolnego elementu nie zmieni go.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.725 sek.