• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Mnożenie przez skalar

    Przeczytaj także...
    Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo Parser nie mógł rozpoznać (Nie można zapisać obrazu z wzorem w systemie plików.): 5
    Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.
    Ilustracja mnożenia wektora przez skalar (w ciele charakterystyki różnej od 2).

    Mnożenie przez skalar − jedno z działań dwuargumentowych definiujących przestrzeń liniową w algebrze liniowej (lub ogólniej: moduł w algebrze ogólnej). Mnożenia wektora przez skalar dającego w wyniku wektor nie należy mylić z iloczynem skalarnym (nazywanym niekiedy iloczynem wewnętrznym) dwóch wektorów dającym w wyniku skalar.

    Rozdzielność działań jest własnością pierścienia (a więc i ciała) określającą powiązanie dwóch operatorów: addytywnego (nazywanego zwykle dodawaniem) i multiplikatywnego (zwykle mnożenie).Algebra nad ciałem a. algebra liniowa – w algebrze liniowej przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień (niekoniecznie łączny).

    Intuicją geometryczną stojącą za tym działaniem jest mnożenie wektora rzeczywistej przestrzeni euklidesowej przez dodatnią liczbę rzeczywistą, które polega na pomnożeniu długości tego wektora przez tę liczbę. Słowo „skalar” urobiono od czynności: skalar służy do skalowania, czyli „rozciągania” czy „ściskania” (tzn. jednokładnościowego przekształcania wektorów o wartość bezwzględną skalara z zachowaniem zwrotu, tzn. porządku, gdy jest on dodatni i odwróceniu w przeciwnym przypadku). W ogólności jednak interpretacja ta może być zwodnicza, np. w ciałach skończonych, które nie są uporządkowane liniowo (przez brak porządku w ciele nie można mówić o „powiększaniu” lub „zmniejszaniu” długości wektorów).

    Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.Ciało uporządkowane – ciało K, w którym wyróżniony jest zbiór D elementów dodatnich o następujących własnościach:

    Definicja[]

     Osobne artykuły: przestrzeń liniowaciało.

    Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem elementy przestrzeni nazywane będą wektorami (i oznaczane pismem pogrubionym), a elementy ciała nazywane będą skalarami (i oznaczane pismem pochyłym). Działanie mnożenia wektora z przez skalar z definiuje się jako funkcję która przekształca parę skalar-wektor w wektor zgodnie z poniższymi aksjomatami:

    Półpierścień – struktura algebraiczna podobna do pierścienia, która jednak nie musi być grupą względem dodawania. Oznacza to, że elementy półpierścienia nie muszą mieć elementu przeciwnego do siebie.Działanie lub operacja – w matematyce i logice przyporządkowanie jednemu lub większej liczbie elementów nazywanych argumentami lub operandami elementu nazywanego wynikiem. Badaniem działań w ogólności zajmuje się dział nazywany algebrą uniwersalną, zbiory z choć jednym określonym na nim działaniem algebraicznym nazywa się algebrami ogólnymi (często krótko: algebrami), samą rodzinę działań określa się nazwą „sygnatura”.
  • lewo- i prawostronna rozdzielność względem dodawania wektorów,
  • łączność,
  • zgodność z elementem neutralnym mnożenia z ciała („zachowanie zwrotu”),
  • Własności, przykłady, uogólnienia[]

    Z powyższych aksjomatów wynikają m.in. następujące własności:

    Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:
  • zgodność elementów neutralnych ciała i przestrzeni liniowej (zob. wektor zerowy),
  • zgodność elementów przeciwnych przestrzeni liniowej i ciała („zmiana zwrotu”),
  • W szczególnym przypadku za można wziąć samo i przyjąć jako mnożenie przez skalar mnożenie z ciała. Jeśli jest przestrzenią współrzędnych to mnożenie przez skalar jest określone po współrzędnych. Macierze ustalonego typu tworzą przestrzeń liniową z ich dodawaniem i mnożeniem przez skalar, zob. mnożenie macierzy przez skalar. Jeśli oznacza ciało liczb zespolonych, to mnożenie przez skalar jest złożeniem jednokładności o współczynniku równym modułowi i obrotu wektora o kąt równy argumentowi tego skalara (zob. płaszczyzna zespolona).

    Skalar – w algebrze (liniowej) element ustalonego ciała nad którym zbudowany jest dowolny moduł (przestrzeń liniowa).Sanskryt (dewanagari: संस्कृतम् saṃskṛtam; sa.msk.rtaa bhaa.saa, od sa.m+k.r: zestawiać, składać; bhaa.saa: język; język uporządkowany, w przeciwieństwie do języków naturalnych prakrytów, tzn. ludowych o nieuporządkowanej gramatyce) – język literacki starożytnych, średniowiecznych i wczesnonowożytnych Indii. Należy do indoaryjskiej gałęzi indoirańskiej grupy rodziny języków indoeuropejskich. Pomimo powszechnego w Europie przekonania, iż jest językiem martwym, jak łacina, zasadniczo nim nie jest, gdyż nie tylko jest jeszcze stale używany w ceremoniach religijnych hinduizmu, ale także istnieją niewielkie grupy osób deklarujące go jako ich jedyny język ojczysty (według spisów ludności z 1999 roku – ok. 3000 osób na 900 mln ludności Indii). Czynione są też próby rewitalizacji tego języka poprzez tworzenie sanskryckich neologizmów na określenie współczesnych terminów, np. technicznych (np. telewizja, sanskr. duuradarshana). Jest też uznawany od 1949 roku za jeden z 13 konstytucyjnych języków Republiki Indii (obecnie 23 – 2008 r.). Dlatego właściwsze jest określenie go jako język wegetujący niż jako martwy.

    W ogólności mnożenie przez skalar można postrzegać jako zewnętrzne działanie dwuargumentowe lub działanie ciała na przestrzeni liniowej. Wychodząc z tego punktu widzenia można uogólnić ideę skalowania: jeśli jest pierścieniem przemiennym; wówczas konstrukcję analogiczną do przestrzeni liniowej nazywa się modułem nad Założenia dotyczące struktury na zbiorze skalarów można dalej osłabiać: może być półpierścieniem (przemiennym), lecz wtedy nie można mówić o elementach przeciwnych; jeśli jest strukturą nieprzemienną, to należy zwracać uwagę na kolejność mnożonych elementów.

    Przestrzeń współrzędnych – w algebrze liniowej prototypowy model przestrzeni liniowej skończonego wymiaru nad ustalonym ciałem; definiuje się ją jako przestrzeń produktową danego ciała nad skończonym zbiorem indeksów, w szczególności każde ciało można postrzegać jako jednowymiarową przestrzeń współrzędnych z działaniem mnożenia z ciała jako mnożenia przez skalar.Wektor (z łac. [now.], „niosący; ten, który niesie; nośnik”, od vehere, „nieść”; via, „droga”) – istotny w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce obiekt mający moduł (zwany też – zdaniem niektórych niepoprawnie - długością lub wartością), kierunek wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku).

    Struktury algebraiczne, w których zdefiniowano pewien rodzaj mnożenia przez skalar, to m.in. algebry nad ciałem, algebry nad pierścieniem, pierścienie grupowe, czy algebry grupowe (tj. przestrzenie liniowe i moduły wolne z mnożeniem elementów; być może przemiennym). Wiele z powyższych przypadków obejmuje pojęcie grupy z operatorami

    Kąt (płaski) w geometrii euklidesowej – każda z dwóch części (tj. podzbiorów) płaszczyzny zawartych między dwiema półprostymi (wraz z nimi), nazwanymi ramionami, o wspólnym początku, zwanym wierzchołkiem. Czyli jest to część wspólna dwóch półpłaszczyzn wyznaczonych przez dwie nierównoległe proste, wraz z ich brzegami nazywanymi ramionami; ich punkt przecięcia to wierzchołek).Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki, powstały już w starożytności. Zajmuje się on algebrami ogólnymi i relacjami. Algebra elementarna zajmuje się takimi działaniami jak dodawanie i mnożenie; wprowadza pojęcie zmiennej i wielomianu razem z jego rozkładem na czynniki (faktoryzacją) i znajdowaniem ich pierwiastków, choć algebra jest działem bardziej ogólnym (patrz podział algebry).

    Przypisy

    1. łac. scalar, od późnołac. scala, „schody, drabina”, od łac. scalae, l.mn. „schody, szczeble, drabina”; spokr. z łac. scandere, „wspinać się” i dalej ze średnioirl. sceinnid, „wyskakuje” oraz sans. skandati, „skacze”



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.
    Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną z {displaystyle z} na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: arg ⁡ ( z ) {displaystyle arg(z)} .
    Charakterystyka – dla danego pierścienia z jedynką najmniejsza liczba elementów neutralnych mnożenia pierścienia (tzw. jedynek), które należy do siebie dodać, aby uzyskać element neutralny dodawania (tzn. zero); mówi się, że pierścień ma charakterystykę zero, jeżeli taka liczba nie istnieje. Innymi słowy jest to najmniejsza dodatnia liczba całkowita n , {displaystyle n,} która spełnia
    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.
    Jednokładność, homotetia (gr. homo+thetos=położony) o środku r {displaystyle r} i niezerowej skali k {displaystyle k} - odwzorowanie geometryczne prostej, płaszczyzny lub przestrzeni określone następująco:
    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.
    Wektor zerowy – wektor przestrzeni liniowej pełniący rolę elementu neutralnego dodawania wektorów; zapisywany zwykle symbolem zera, 0 , {displaystyle scriptstyle 0,} często dodatkowo wyróżnionym, np. wytłuszczeniem 0 , {displaystyle scriptstyle mathbf {0} ,} czy strzałką 0 → . {displaystyle scriptstyle {vec {0}}.} Przestrzeń zerowa (trywialna) to najmniejsza w sensie zawierania przestrzeń liniowa – zawiera ona wyłącznie wektor zerowy, którego istnienie w dowolnej przestrzeni liniowej postulowane jest w jej aksjomatach. Przeciwobraz wektora zerowego (przestrzeni zerowej) w przekształceniu liniowym nazywa się jądrem tego przekształcenia.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.054 sek.