l
  • Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Temat nie został wyczerpany?
    Zapraszamy na Forum Naukowy.pl
    Jeśli posiadasz konto w serwisie Facebook rejestracja jest praktycznie automatyczna.
    Wystarczy kilka kliknięć.

    Minor macierzy

    Przeczytaj także...
    Podciąg – element konstrukcyjny w postaci belki, stanowiący najczęściej podporę dla stropu, dla innych belek nośnych, ścian oraz słupów. Przenosi od nich obciążenie i przekazuje na inne elementy nośne, np. ściany nośne lub słupy. Spełnia taką samą funkcję, jak ściana nośna pod stropem, ma jednak zastosowanie, gdy ta ściana jest niepożądaną przegrodą.Rząd macierzy (o elementach z pewnego ciała) - maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy.
    Rząd macierzy (o elementach z pewnego ciała) - maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy.

    Minorwyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn. Minor główny to minor, w którym przy wykreślaniu pozostawiono wiersze i kolumny o równych indeksach, z kolei wiodący minor główny to minor główny, w którym wykreślono kolejno ostatnie wiersze i kolumny.

    Sprzężenie hermitowskie macierzy – złożenie operacji transpozycji i sprzężenia zespolonego macierzy zespolonych. Dokładniej, sprzężenie hermitowskie to odwzorowanie dane wzoremZbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

    Przykład[ | edytuj kod]

    Niech dana będzie macierz A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 3 & 4 \end{bmatrix}

    typu 3 \times 4 nad ciałem liczb rzeczywistych.

    Wykreślając drugi wiersz oraz drugą i trzecią kolumnę, a więc pozostawiając elementy na przecięciu wierszy o indeksach ze zbioru I = \{1, 3\} oraz kolumn o indeksach ze zbioru J = \{1,4\} otrzymuje się minor równy \begin{vmatrix} 1 & \Box & \Box & 2 \\ \Box & \Box & \Box & \Box \\ 7 & \Box & \Box & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 7 = 4 - 14 = -10.

    Powyższy minor nie jest główny, ponieważ I \ne J. Minorem głównym macierzy A jest na przykład minor

    Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.
    \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 8

    utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach 2 oraz 3.

    Wiodącymi minorami głównymi macierzy A po kolei rosnącym porządku stopni: \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1, \quad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3, \quad \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -55.

    Definicja[ | edytuj kod]

    Dla danej macierzy A typu m \times n minorem stopnia k, gdzie k \leqslant \min(m, n) nazywa się wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia k otrzymanej z macierzy A poprzez wykreślenie m-k wierszy i n-k kolumn.

    Ściślej operacja wykreślania polega na wskazaniu pewnego podciągu indeksów I wierszy o długości k oraz podciągu indeksów J kolumn o długości k z dziedziny macierzy, czyli iloczynu kartezjańskiego \{1, \dots, m\} \times \{1, \dots, n\}. Tak wybrany zbiór indeksów I = \{i_1, \dots, i_k\} \times \{j_1, \dots, j_k\} służy następnie obliczeniu wyznacznika macierzy A(I \times J).

    Jeżeli I = J mają po k elementów, co oznacza, iż wykreślono wiersze i kolumny o tych samych indeksach pozostawiając ich k w obu przypadkach, to taki minor nazywa się minorem głównym stopnia k. Minor główny stopnia k, z którego wykreślono ostatnie m-k wierszy i n-k kolumn, a więc tak, by I = J = \{1, 2, \dots, k\}, nazywa się wiodącym minorem głównym stopnia k.

    Niekiedy minorami głównymi nazywa się wiodące minory główne zaniedbując te pierwsze.

    Niekiedy minory macierzy oznacza się: (A_i) , (A^a) , (A_iA_j) = -(A_jA_i) , (A^aA^b) = -(A^bA^a) , (A_iA_jA_k) , (A^aA^bA^c) , itd. , gdzie (A_i) są kolumnami, (A^a) wierszami macierzy (A^a_i) , a (A_iA_j) jest iloczynem mieszanym.

    Własności[ | edytuj kod]

  • Z definicji (własności) wyznacznika wynika, iż minorami stopnia 1 danej macierzy są jej elementy, minorami głównymi stopnia 1 są elementy z głównej przekątnej macierzy, zaś wiodącym minorem głównym stopnia 1 jest element o indeksie 1, 1.
  • Z definicji (własności) rzędu macierzy wynika, że dla macierzy rzędu r > 0 nad pewnym ciałem istnieje co najmniej jeden niezerowy minor stopnia r, zaś każdy minor stopnia wyższego od r tej macierzy jest równy zeru (a więc rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy).
  • Kryterium Sylvestera: macierz hermitowska (w przypadku zespolonym; w przypadku rzeczywistym: symetryczna) A jest
  • dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wszystkie wiodące minory główne są dodatnie;
  • ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy wiodące minory główne parzystego stopnia są dodatnie, a nieparzystego – ujemne.
  • Dla danej macierzy m \times n można wybrać \tbinom{n}{k}\tbinom{m}{k} minorów stopnia k (gdzie \tbinom{\cdot}{\cdot} oznacza symbol Newtona).
  • Macierz typu m \times n ma \min(m, n) wiodących minorów głównych, zaś macierz kwadratowa stopnia n ma ich dokładnie n.
  • Zobacz też[ | edytuj kod]

  • rozwinięcie Laplace'a
  • dopełnienie algebraiczne



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)


    Reklama

    tt