• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  •                  Informacje o badaniu         Biorę udział       Nie obchodzi mnie to 

    Minor macierzy

    Przeczytaj także...
    Rząd macierzy (o elementach z pewnego ciała) - maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy.Rząd macierzy (o elementach z pewnego ciała) - maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy.
    Sprzężenie hermitowskie macierzy – złożenie operacji transpozycji i sprzężenia zespolonego macierzy zespolonych. Dokładniej, sprzężenie hermitowskie to odwzorowanie dane wzorem

    Minorwyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn. Minor główny to minor, w którym przy wykreślaniu pozostawiono wiersze i kolumny o równych indeksach, z kolei wiodący minor główny to minor główny, w którym wykreślono kolejno ostatnie wiersze i kolumny.

    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Podciąg – ciąg powstały poprzez wybranie pewnej liczby (być może nieskończonej) wyrazów ciągu wyjściowego. Odpowiednikiem podciągów dla ciągów uogólnionych są subtelniejsze ciągi uogólnione.

    Przykład[]

    Niech dana będzie macierz A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 3 & 4 \end{bmatrix}

    typu 3 \times 4 nad ciałem liczb rzeczywistych.

    Wykreślając drugi wiersz oraz drugą i trzecią kolumnę, a więc pozostawiając elementy na przecięciu wierszy o indeksach ze zbioru I = \{1, 3\} oraz kolumn o indeksach ze zbioru J = \{1,4\} otrzymuje się minor równy \begin{vmatrix} 1 & \Box & \Box & 2 \\ \Box & \Box & \Box & \Box \\ 7 & \Box & \Box & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 7 = 4 - 14 = -10.

    Powyższy minor nie jest główny, ponieważ I \ne J. Minorem głównym macierzy A jest na przykład minor

    Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.
    \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 8

    utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach 2 oraz 3.

    Wiodącymi minorami głównymi macierzy A po kolei rosnącym porządku stopni: \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1, \quad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3, \quad \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -55.

    Definicja[]

    Dla danej macierzy A typu m \times n minorem stopnia k, gdzie k \leqslant \min(m, n) nazywa się wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia k otrzymanej z macierzy A poprzez wykreślenie m-k wierszy i n-k kolumn.

    Ściślej operacja wykreślania polega na wskazaniu pewnego podciągu indeksów I wierszy o długości k oraz podciągu indeksów J kolumn o długości k z dziedziny macierzy, czyli iloczynu kartezjańskiego \{1, \dots, m\} \times \{1, \dots, n\}. Tak wybrany zbiór indeksów I = \{i_1, \dots, i_k\} \times \{j_1, \dots, j_k\} służy następnie obliczeniu wyznacznika macierzy A(I \times J).

    Jeżeli I = J mają po k elementów, co oznacza, iż wykreślono wiersze i kolumny o tych samych indeksach pozostawiając ich k w obu przypadkach, to taki minor nazywa się minorem głównym stopnia k. Minor główny stopnia k, z którego wykreślono ostatnie m-k wierszy i n-k kolumn, a więc tak, by I = J = \{1, 2, \dots, k\}, nazywa się wiodącym minorem głównym stopnia k.

    Niekiedy minorami głównymi nazywa się wiodące minory główne zaniedbując te pierwsze.

    Niekiedy minory macierzy oznacza się: (A_i) , (A^a) , (A_iA_j) = -(A_jA_i) , (A^aA^b) = -(A^bA^a) , (A_iA_jA_k) , (A^aA^bA^c) , itd. , gdzie (A_i) są kolumnami, (A^a) wierszami macierzy (A^a_i) , a (A_iA_j) jest iloczynem mieszanym.

    Własności[]

  • Z definicji (własności) wyznacznika wynika, iż minorami stopnia 1 danej macierzy są jej elementy, minorami głównymi stopnia 1 są elementy z głównej przekątnej macierzy, zaś wiodącym minorem głównym stopnia 1 jest element o indeksie 1, 1.
  • Z definicji (własności) rzędu macierzy wynika, że dla macierzy rzędu r > 0 nad pewnym ciałem istnieje co najmniej jeden niezerowy minor stopnia r, zaś każdy minor stopnia wyższego od r tej macierzy jest równy zeru (a więc rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy).
  • Kryterium Sylvestera: macierz hermitowska (w przypadku zespolonym; w przypadku rzeczywistym: symetryczna) A jest
  • dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wszystkie wiodące minory główne są dodatnie;
  • ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy wiodące minory główne parzystego stopnia są dodatnie, a nieparzystego – ujemne.
  • Dla danej macierzy m \times n można wybrać \tbinom{n}{k}\tbinom{m}{k} minorów stopnia k (gdzie \tbinom{\cdot}{\cdot} oznacza symbol Newtona).
  • Macierz typu m \times n ma \min(m, n) wiodących minorów głównych, zaś macierz kwadratowa stopnia n ma ich dokładnie n.
  • Zobacz też[]

  • rozwinięcie Laplace'a
  • dopełnienie algebraiczne



  • w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama