Metryka Kerra

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Metryka Kerra – ścisłe, stacjonarne i osiowosymetryczne rozwiązanie równania Einsteina ogólnej teorii względności w próżni opisujące geometrię czasoprzestrzeni wokół obracającego się ważkiego ciała. Zostało ono znalezione w 1963 przez Roya P. Kerra, nowozelandzkiego matematyka.

Andrzej Mariusz Trautman (ur. 4 stycznia 1933 w Warszawie) – profesor zwyczajny, doktor habilitowany, inżynier fizyki teoretycznej, członek rzeczywisty PAN, polski fizyk mający znaczący wkład do teorii grawitacji, a w szczególności do ogólnej teorii względności, profesor Uniwersytetu Warszawskiego, członek PZPR. Elipsoida obrotowa – powierzchnia lub bryła powstała na skutek obrotu elipsy wokół jej osi symetrii. W przypadku Ziemi osią tą jest mała oś elipsy, czyli oś ziemska.

Zgodnie z tą metryką obracające się ważkie ciało powinno wykazywać efekt Lense-Thirringa przewidujący, że materia w pobliżu masywnego wirującego obiektu musi się również obracać. Obrót taki nie jest spowodowany przez jakąkolwiek działającą na takie ciała siłą, lecz krzywizną czasoprzestrzeni. Metryka Kerra jest uogólnieniem metryki Schwarzschilda, opisującej geometrię czasoprzestrzeni wokół doskonale sferycznego, nieruchomego i obojętnego elektrycznie ciała. Innym tego typu rozwiązaniem jest odkryta w latach 1916–1918 metryka Reissnera-Nordströma. Metryka ta opisuje geometrię czasoprzestrzeni wokół nieruchomego, sferycznego, ale naładowanego elektrycznie ciała. W 1965 zostało odkryte najogólniejsze spośród tych trzech rozwiązań. Jest to metryka Kerra-Newmana, opisująca geometrię czasoprzestrzeni wokół obracającego się, naładowanego elektrycznie ciała. Relacje między tymi czterema metrykami są przedstawione w poniższej tabelce.

Przyszłość - w liniowej koncepcji czasu jest to część linii czasu, która dopiero ma się wydarzyć. Część czasoprzestrzeni, w której zawarte są wszystkie zdarzenia, które jeszcze nie miały miejsca, ale się wydarzą.Zasada zachowania energii – empiryczne prawo fizyki, stwierdzające, że w układzie izolowanym suma wszystkich rodzajów energii układu jest stała (nie zmienia się w czasie). W konsekwencji, energia w układzie izolowanym nie może być ani utworzona, ani zniszczona, może jedynie zmienić się forma energii. Tak np. podczas spalania wodoru w tlenie energia chemiczna zmienia się w energię cieplną.

Metryka Kerra modeluje obiekty astronomiczne posiadające spin i będące źródłem pola grawitacyjnego to znaczy ciała scharakteryzowane przez moment pędu oraz masę. W szczególności na przykład gwiazdy neutronowe i wirujące czarne dziury. Ciała te mają kilka różnych szczególnych powierzchni, na których metryka ma osobliwości.

Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.Ergoobszar, zwany też ergosferą – to obszar dookoła wirującej czarnej dziury, znajdujący się na zewnątrz sfery wyznaczonej przez horyzont zdarzeń w rozwiązaniu Kerra, gdzie wartość grawitacji staje się nieskończona. Im szybszy obrót wokół własnej osi, tym dalej znajduje się ergoobszar od horyzontu. Gdy rotacja czarnej dziury znika, wówczas znika również ergosfera i właściwym jest opis Schwarzschilda.

Spis treści

  • 1 Historia odkrycia metryki Kerra
  • 2 Czasoprzestrzeń Kerra
  • 2.1 Twierdzenie Kerra
  • 2.2 Twierdzenie 1
  • 2.3 Twierdzenie 2
  • 2.4 Twierdzenie Robinsona
  • 2.5 Twierdzenie Hawkinga
  • 2.6 Definicja czasoprzestrzeni Kerra
  • 3 Różne postacie metryki Kerra
  • 3.1 Współrzędne kartezjańskie Kerra-Schilda
  • 3.2 Współrzędne Boyera-Lindquista
  • 4 Własności geometrii czasoprzestrzeni Kerra
  • 5 Horyzont zdarzeń
  • 5.1 Zasada kosmicznego cenzora
  • 5.2 Powierzchnia horyzontu zdarzeń
  • 6 Osobliwość czasoprzestrzeni Kerra
  • 7 Ergosfera
  • 7.1 Granica stacjonarna jako zewnętrzna powierzchnia ergosfery
  • 8 Powierzchnia przesunięcia ku czerwieni
  • 9 Proces Penrose’a
  • 10 Relacje między powierzchniami
  • 10.1 Charakterystyki czasoprzestrzeni Kerra
  • 10.2 Powierzchnie czasoprzestrzeni Kerra dla różnych parametrów
  • 11 Regularność rozwiązań Kerra
  • 11.1 Uwaga
  • 12 Struktura rozmaitości
  • 13 Zobacz też
  • 14 Przypisy
  • 15 Bibliografia
  • Historia odkrycia metryki Kerra[ | edytuj kod]

    W 1954 roku A.Z. Pietrow wprowadza klasyfikację wszystkich możliwych symetrii tensora Weyla dla każdego zdarzenia w rozmaitości Lorentza. W 1956 F. Pirani analizuje promieniowanie grawitacyjne. Klasyfikacja Pietrowa stanowi podstawę jego artykułu na temat teorii promieniowania grawitacyjnego. Rok później A. Trautman przedstawił pracę na temat własności tensora Weyla dla promieniowania grawitacyjnego.

    Powierzchnia to dwuwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Także potoczne określenie pola powierzchni (np. mówiąc o "powierzchni w km²" mamy na myśli właśnie pole powierzchni).Odległość Minkowskiego – w matematyce uogólniona miara odległości między punktami przestrzeni euklidesowej; niekiedy nazywa się także odległością Lm. Można o niej myśleć jako o uogólnieniu odległości euklidesowej (L2), miejskiej (L1, w teorii informacji znanej jako odległość Hamminga) oraz Czebyszewa (L∞, tzn. Lm w granicy przy m → ∞).

    W 1962 J. Goldberg i R.K. Sachs pokazują, że jeśli tensor metryczny rozmaitości spełnia równanie Einsteina, to tensor krzywizny konforemnej utworzony z jest „algebraicznie specjalny”. Obecnie wiadome jest, że wiele czasoprzestrzeni (jak na przykład czasoprzestrzenie Schwarzschilda, K. Gödla, Kerra oraz fale o czołach płaskich i sferycznych) należy do tej klasy. Dla danej metryki na rozmaitości Lorentza można obliczyć tensor Weyla Jeśli tensor Weyla jest algebraicznie specjalny w punkcie to istnieje zbiór kryteriów określający typ Pietrowa w kryteria te znalezione są przez L. Bela w 1962. W 1962 I. Robinson i A. Trautman pokazują, że dla każdej przestrzeni Einsteina z zerową kongruencją bez ścinania istnieją współrzędne dla których metryka jest:

    Fale grawitacyjne w ogólnej teorii względności – przemieszczająca się z prędkością światła zmarszczka w czasoprzestrzeni. W mechanice nierelatywistycznej fala ta objawia się jako rozchodzące się drgania pola grawitacyjnego. Źródłem fal grawitacyjnych jest ciało poruszające się z przyspieszeniem. Do uzyskania obserwowalnych efektów ciało musi mieć bardzo duże przyspieszenie i ogromną masę. Obiekt emitujący fale traci energię, która unoszona jest w postaci promieniowania. Kwantem promieniowania grawitacyjnego jest grawiton, hipotetyczna cząstka.Analiza zespolona – dziedzina matematyki, w szczególności analizy matematycznej, obejmująca swą tematyką teorię funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej i zespolonej, jednej i wielu zmiennych – w tym bardzo rozbudowane teorie funkcji analitycznych, funkcji eliptycznych czy odwzorowań konforemnych. Ma zastosowania w teorii liczb, teorii fraktali, matematyce stosowanej, teorii przestrzeni Hilberta a także w pewnych dziedzinach fizyki.

    gdzie:

    Przeszłość - w liniowej koncepcji czasu, jest to część linii czasu, która już się wydarzyła. Część czasoprzestrzeni, w której zawarte są wszystkie zdarzenia, które już miały miejsce.Spin – moment własny pędu cząstki w układzie, w którym nie wykonuje ruchu postępowego. Własny oznacza tu taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma odpowiedni dla siebie spin. Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np. jądra atomów) mają również swój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych.
    jest funkcją – parametr afiniczny.

    Jedynym pozostającym równaniem jest:

    Prędkość kątowa w fizyce – wielkość wektorowa opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu). Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.Próżnia – w rozumieniu tradycyjnym pojęcie równoważne pustej przestrzeni. We współczesnej fizyce, technice oraz rozumieniu potocznym pojęcie próżni ma zupełnie odmienne konotacje.

    W 1962 R. Kerr bada strukturę równań Einsteina, stosując metodę tetrad i form rózniczkowych, zapisuje on równania krzywizny, stosując zespolone zerowe tetrady i samodualne biwektory, następnie bada warunki ich całkowania. W 1963 Kerr decyduje się na szukanie wszystkich obracających się algebraicznie specjalnych czasoprzestrzeni. Takie rozwiązanie równań Einsteina zostaje znalezione przez niego w 1963.

    Biała dziura – hipotetyczne przeciwieństwo czarnej dziury. Według teorii biała dziura miałaby być obszarem, gdzie zarówno energia, jak i materia wypływają z osobliwości. Dotychczasowe badania nie potwierdziły istnienia białych dziur, choć niektórzy badacze uważają, że powstanie Wszechświata, czyli Wielki Wybuch mógł być w istocie przykładem takiego zjawiska.Ogólna teoria względności (OTW) – popularna nazwa teorii grawitacji formułowanej przez Alberta Einsteina w latach 1907–1915, a opublikowanej w roku 1916.

    Czasoprzestrzeń Kerra[ | edytuj kod]

    Niech będzie pewną metryką taką, że:

    Zachodzi następujące

    arXiv (duże X w nazwie reprezentuje grecką literę χ (chi), nazwę należy więc czytać ‘archiv’) – elektroniczne archiwum naukowych preprintów. Gromadzi artykuły z następujących dziedzin: fizyki z astronomią, matematyki, informatyki, statystyki i biologii (quantitative biology) i matematyki finansowej. Archiwum powstało w roku 1991 w Los Alamos National Laboratory, początkowo dostępne było pod adresem xxx.lanl.gov. Obecnie funkcjonuje przy Uniwersytecie Cornella. Twierdzenie Noether – twierdzenie udowodnione przez Emmy Noether, mające fundamentalne znaczenie w fizyce. Dotyczy związku zasad zachowania z odpowiednimi symetriami ciągłymi.

    Twierdzenie Kerra[ | edytuj kod]

    Jeśli jest stacjonarną, algebraicznie specjalną metryką, lub ogólniej rozwiązaniem następujących równań:

    gdzie:

    Czarna dziura – obszar czasoprzestrzeni, którego, z uwagi na wpływ grawitacji, nic, łącznie ze światłem, nie może opuścić. Zgodnie z ogólną teorią względności, do jej powstania niezbędne jest nagromadzenie dostatecznie dużej masy w odpowiednio małej objętości. Czarną dziurę otacza matematycznie zdefiniowana powierzchnia nazywana horyzontem zdarzeń, która wyznacza granicę bez powrotu. Nazywa się ją "czarną", ponieważ pochłania całkowicie światło trafiające w horyzont, nie odbijając niczego, zupełnie jak ciało doskonale czarne w termodynamice. Mechanika kwantowa przewiduje, że czarne dziury emitują promieniowanie jak ciało doskonale czarne o niezerowej temperaturze. Temperatura ta jest odwrotnie proporcjonalna do masy czarnej dziury, co sprawia, że bardzo trudno je zaobserwować w wypadku czarnych dziur o masie gwiazdowej bądź większych.Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki. W dalszej części pojęcie to będzie omawiane głównie w kontekście przestrzeni liniowych nad ciałem z uogólnieniami na końcu artykułu.
    funkcje analityczne, funkcje pochodnych parametr, funkcja masy, szczególne rozwiązanie równań

    wtedy również taką metryką jest

    Forma różniczkowa (krótko k-forma) – rodzaj funkcji związanej z rachunkiem różniczkowym i całkowym na rozmaitościach. Podstawą rachunku form różniczkowych jest tzw. lemat Poincarego. Rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany w fizyce do całkowania takich pojęć jak praca, strumień pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzącego przez powierzchnię, potencjały pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia.Elipsoida – powierzchnia, której wszystkie przekroje płaskie są elipsami. Czasem tym słowem oznacza się też bryłę, ograniczoną tą powierzchnią. Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida obrotowa, powierzchnia ograniczona powstała przez obrót elipsy wokół własnej osi symetrii.

    przy czym dowolna stała,

    Sir Roger Penrose (ur. 8 sierpnia 1931 w Colchester w Anglii) – angielski fizyk i matematyk. Jest synem lekarza, genetyka i matematyka Lionela Penrose’a oraz bratem matematyka Olivera Penrose’a i szachisty Jonathana Penrose’a.Ładunek elektryczny ciała (lub układu ciał) – fundamentalna właściwość materii przejawiająca się w oddziaływaniu elektromagnetycznym ciał obdarzonych tym ładunkiem. Ciała obdarzone ładunkiem mają zdolność wytwarzania pola elektromagnetycznego oraz oddziaływania z tym polem. Oddziaływanie ładunku z polem elektromagnetycznym jest określone przez siłę Lorentza i jest jednym z oddziaływań podstawowych.

    Twierdzenie 1[ | edytuj kod]

    Niech pole Killinga i geodezyjna z wektorem stycznym (afiniczny wektor) który spełnia Wtedy jest stałe wzdłuż

    Czasoprzestrzeń – zbiór zdarzeń zlokalizowanych w przestrzeni i czasie, wyposażony w strukturę afiniczną i metryczną o określonej postaci, w zależności od analizowanego modelu fizycznej czasoprzestrzeni.Przyczynowość - kategoria filozoficzna oznaczająca jedną z form powszechnej i koniecznej zależności zjawisk, które mają miejsce w otaczającej nas, obiektywnej rzeczywistości.

    Twierdzenie 2[ | edytuj kod]

    Jeżeli funkcje są stałe wzdłuż kongruencji to istnieje funkcja taka, że:

    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Georg Friedrich Bernhard Riemann (ur. 17 września 1826 w Breselenz w ówczesnym państwie Hanower, zm. 20 lipca 1866 w miejscowości Selasca, w pobliżu Verbanii na jeziorem Maggiore we Włoszech) - matematyk niemiecki, od 1857 profesor uniwersytetu w Getyndze.

    przy czym granica jest brana wzdłuż kongruencji.

    Przestrzeń – zbiór, w którym określone są rozmaite relacje i działania pomiędzy jego elementami. Synonim pojęcia struktury matematycznej używany dla oddania pewnych intuicji matematycznych oraz w celu skrócenia wypowiedzi.Słaba i silna hipoteza kosmicznej cenzury to dwa matematyczne przypuszczenia dotyczące struktury osobliwości powstających w ogólnej teorii względności.

    Twierdzenie Robinsona[ | edytuj kod]

    Stacjonarne, osiowosymetryczne, asymptotycznie płaskie rozwiązania równań Einsteina w próżni, które zawierają gładki, wypukły horyzont, oraz nie posiadają żadnej osobliwości na zewnątrz horyzontu, są jednoznacznie określone przez masę i moment pędu przy czym .

    Pole grawitacyjne – pole wytwarzane przez obiekty posiadające masę. Określa wielkość i kierunek siły grawitacyjnej działającej na znajdujące się w nim inne obiekty posiadające masę. Podstawową teorią opisującą pole grawitacyjne i jego związek z cechami przestrzeni jest ogólna teoria względności (OTW), stworzona przez Alberta Einsteina. Prawo grawitacji sformułował angielski uczony Izaak Newton. Pole opisuje się poprzez podanie natężenia pola grawitacyjnego γ, czyli siły F działającej na masę jednostkową m, lub potencjału grawitacyjnego. Obrazem pola grawitacyjnego są linie pola lub powierzchnie ekwipotencjalne. Kierunek i zwrot linii pola jest zgodny z kierunkiem i zwrotem sił działających na masę punktową.Tensor metryczny jest to symetryczny tensor drugiego rzędu (dwuwymiarowy) opisujący związek danego układu współrzędnych z układem kartezjańskim. Jest on podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej (oraz elektrodynamiki, teorii względności i innych teorii których językiem jest geometria różniczkowa), jego podstawowym zastosowaniem jest występowanie w iloczynie skalarnym dwóch wektorów (obowiązuje konwencja sumacyjna):

    Twierdzenie Hawkinga[ | edytuj kod]

    Jeśli czasoprzestrzeń jest stacjonarna, lecz nie statyczna w sąsiedztwie oraz wtedy wektor Killinga, typu czasowego w nieskończoności, staje się typu przestrzennego blisko horyzontu zdarzeń.

    Przesunięcie ku czerwieni, poczerwienienie, redshift – zjawisko obserwowane w astronomii polegające na tym, że linie widmowe promieniowania elektromagnetycznego docierające z niektórych gwiazd lub galaktyk są przesunięte w stronę większych długości fali (mniejszych częstotliwości).Symetria – rodzaj symetrii, której podlegają przestrzeń, pola kwantowe, równania pola, lagranżjany, hamiltoniany itp. Symetrie są obecnie podstawowym narzędziem fizyki: z ich istnienia można wywnioskować zasady zachowania (twierdzenie Noether) oraz wszystkie własności cząstek elementarnych, takie jak ładunki, masy i oddziaływania, w których uczestniczą. Jeżeli jakiejś własności nie można wyprowadzić z zasad symetrii, tylko trzeba ją postulować arbitralnie, to teorię taką uznajemy za niekompletną.

    Definicja czasoprzestrzeni Kerra[ | edytuj kod]

    Czasoprzestrzeń asymptotycznie płaska, stacjonarna, osiowosymetryczna i TP-niezmiennicza nazywa się czasoprzestrzenią Kerra.

    Czasoprzestrzeń Kerra posiada tensor Killinga taki, że:

    Istnienie tego tensora ułatwia obliczanie orbit w czasoprzestrzeni Kerra.

    Horyzont zdarzeń − w teorii względności sfera otaczająca czarną dziurę lub tunel czasoprzestrzenny, oddzielająca obserwatora zdarzenia od zdarzeń, o których nie może on nigdy otrzymać żadnych informacji. Innymi słowy, jest to granica w czasoprzestrzeni, po przekroczeniu której prędkość ucieczki dla dowolnego obiektu i fali przekracza prędkość światła. I żaden obiekt, nawet światło emitowane z wnętrza horyzontu, nie jest w stanie opuścić tego obszaru. Wszystko, co przenika przez horyzont zdarzeń od strony obserwatora, znika.Gwiazda neutronowa – gwiazda zdegenerowana powstała w wyniku ewolucji gwiazd o dużych masach (~ 8–10 mas Słońca). Powstają podczas wybuchu supernowej (supernowe typu II lub Ib) lub kolapsu białego karła (supernowa typu Ia) w układach podwójnych. Materia składająca się na gwiazdy neutronowe jest niezwykle gęsta, przy średnicy 10–15 km gwiazdy tego typu mają masę od 1,4 do 2,5 mas Słońca. Łyżeczka materii neutronowej ma masę ok. 6 miliardów ton .


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6] [7]




    Warto wiedzieć że... beta

    Moment bezwładności – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności odgrywa prawie taką samą rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego, opisując relacje między momentem pędu, energią kinetyczną a prędkością kątową jak masa między pędem, energią kinetyczną a prędkością. Moment bezwładności zależy od osi obrotu ciała, a w ogólnym przypadku jest tensorem.
    DOI (ang. digital object identifier – cyfrowy identyfikator dokumentu elektronicznego) – identyfikator dokumentu elektronicznego, który w odróżnieniu od identyfikatorów URL nie zależy od fizycznej lokalizacji dokumentu, lecz jest do niego na stałe przypisany.
    W naukach matematycznych, parametrem nazywamy niewiadomą łączącą funkcję ze zmiennymi, w przypadku gdy relację tę trudno jest wyrazić równaniem. Innymi słowy jest to litera występująca w formule matematycznej, pełniąca w niej rolę współczynnika liczbowego.
    Naga osobliwość (naga czarna dziura) – w ogólnej teorii względności grawitacyjna osobliwość bez horyzontu zdarzeń. W czarnej dziurze, istnieje region wokół osobliwości (horyzont zdarzeń), po przekroczeniu którego siły grawitacyjne osobliwości są tak duże, że nawet światło nie może z niego uciec. W związku z czym osobliwość nie może być bezpośrednio obserwowana. Naga osobliwość, natomiast, jest obserwowalna z zewnątrz.
    Homeomorfizm – jedno z fundamentalnych pojęć topologii. Intuicyjnie - przekształcenie, które dowolnie ściska, rozciąga, wygina lub skręca figurę, nie robi jednak w niej dziur, nie rozrywa jej ani nie skleja jej fragmentów. Inaczej mówiąc, przekształcenie to na ogół zmienia pierwotny kształt i rozmiar figury, zawsze jednak zachowuje potocznie rozumianą ciągłość i spoistość.
    Ciało niebieskie – każdy naturalny obiekt fizyczny oraz układ powiązanych ze sobą obiektów lub ich struktur, występujący w przestrzeni kosmicznej poza granicą atmosfery ziemskiej. Ciało niebieskie jest przedmiotem zainteresowania astronomii.
    Topologia algebraiczna – dział matematyki, który zajmuje się badaniem przestrzeni topologicznych przy użyciu metod o charakterze algebraicznym.

    Reklama