• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Metoda wyczerpywania

    Przeczytaj także...
    Teoria miary (zwana też teorią miary i całki) - dział analizy matematycznej zajmujący się własnościami ogólnie rozumianych miar zbiorów. Teoria miary bada σ-algebry, funkcje mierzalne oraz całki.Figura geometryczna – w geometrii inna nazwa podzbioru danej przestrzeni, zwykle przestrzeni euklidesowej, afinicznej lub rzutowej.
    Granica – pojęcie używane w matematyce określające zachowania funkcji, a w szczególności ciągu, gdy ich argumenty "zbliżają się" do pewnej wartości lub nieskończoności. Granice używane są w rachunku różniczkowo-całkowym i innych działach analizy matematyczej do definiowania pochodnych i ciągłości.
    Archimedes korzystał z metody wyczerpywania do obliczeń powierzchni koła

    Metoda wyczerpywania (łac. methodus exhaustionibus) – metoda obliczania pola powierzchni figury geometrycznej za pomocą wpisania w nią ciągu wzajemnie rozłącznych wielokątów o znanej powierzchni, których suma pól zbliża się do powierzchni badanej figury.  

    Eudoksos z Knidos gr. Εὔδοξος ὁ Κνίδιος Eudoksos ho Knidios (ur. ok. 408 p.n.e. w Knidos, zm. ok. 355 p.n.e. tamże) – grecki astronom, matematyk, filozof i geograf pochodzący z Karii (dzisiejsza Azja Mniejsza).Całka – ogólne określenie wielu różnych, choć powiązanych ze sobą pojęć analizy matematycznej. W artykule rachunek różniczkowy i całkowy podana jest historia ewolucji znaczenia samego słowa całka. Najczęściej przez "całkę" rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną (rozróżnia się je zwykle z kontekstu).

    Zastosowanie metody wyczerpywania wymaga zazwyczaj zastosowania rodzaju dowodu nie wprost (łac. reductio ad absurdum). Polega on na tym, że pole powierzchni części figury znajduje się za pomocą porównania z polem powierzchni innej części drogą kolejnych przybliżeń (aż do momentu, w którym różnica między oboma polami staje się pomijalna). Następnie należy założyć, że powierzchnia sprawdzanej figury jest większa niż suma powierzchni wpisanych figur i dowieść błędności takiego założenia, a następnie dowieść błędności założenia przeciwnego, że pole badanej figury jest mniejsze niż suma pól figur wpisanych.

    Uniwersytet w St Andrews (ang. University of St Andrews) – najstarszy szkocki uniwersytet (trzeci, po Oxford i Cambridge, w Wielkiej Brytanii). Został założony między 1410 i 1413 rokiem.Evangelista Torricelli (ur. 15 października 1608 w Faenzy, zm. 25 października 1647 we Florencji) – włoski fizyk i matematyk.

    Choć rozwój rachunku różniczkowego wyparł metodę z użycia, pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie w matematycznej teorii miary, np. przy obliczaniu miary Lebesgue'a oraz całki Lebesgue'a.

    Historia[]

    Grégoire de Saint-Vincent

    Na pomysł na obliczanie powierzchni figury za pomocą ciągu wpisanych figur o znanej powierzchni wpadł w V wieku p.n.e. Antyfont, który zauważył, że podwajając kolejno liczbę boków wielokąta wpisanego w okrąg można przybliżyć się do sprawdzenia pola powierzchni samego okręgu, nie jest jednak jasne czy sam dobrze rozumiał swoje odkrycie. Kilka dekad później Eudoksos z Knidos dopracował tę metodę i z jej pomocą poprawnie obliczał pola i objętości. W starożytności stosowali ją także Euklides i Archimedes, który opisał ją w swoich pismach i wykorzystywał w codziennej pracy do obliczania objętości i pól brył i figur. Niezależnie od nich, w III wieku n.e. chiński matematyk Liu Hui wykorzystał ją do obliczenia pola powierzchni koła. Współczesną nazwę nadał jej w 1647 Grégoire de Saint-Vincent w swoim dziele Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum.

    Liu Hui (chiń. upr.: 刘徽; chiń. trad.: 劉徽; pinyin: Liú Huī; ur. ok. 220, zm. ok. 280) - chiński matematyk, w pracy opublikowanej w 264 roku metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby pi na 3,14159.Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi (obliczeniowymi) i algebraicznymi. Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań, które opisują badane figury. Przedmiotem badań geometrii analitycznej jest zasadniczo przestrzeń euklidesowa i własności jej podzbiorów, choć wiele wyników można uogólnić na dowolne, skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe.

    Metoda wyczerpywania uważana jest za prekursora rachunku różniczkowego i teorii granic. Rozwój geometrii analitycznej i zintegrowanego rachunku całkowego pomiędzy XVII a XIX wiekiem wyparł tę metodę z użycia.

    Podejście alternatywne wobec metody wyczerpywania reprezentuje zasada Cavalieriego, którą ostatecznie Gilles de Roberval, Evangelista Torricelli, John Wallis, Gottfried Wilhelm Leibniz i inni myśliciele przekształcili w rachunek różniczkowy liczb nieskończenie małych.

    Zobacz też[]

  • Wzór trapezów
  • Przypisy

    1. MichałM. Heller MichałM., Uchwycić przemijanie, wyd. 2 popr., Społeczny Instytut Wydawniczy Znak, 2010, s. 83, ISBN 8324013385, OCLC 833576851 [dostęp 2015-12-09].
    2. Antiphon the Sophist, [w:] J JJ.J. O'Connor J JJ.J., E FE.F. Robertson E FE.F., MacTutor History of Mathematics archive, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, 2015 [dostęp 2015-12-09].
    3. MaciejM. Kandulski MaciejM., Zarys historii matematyki: od czasów najdawniejszych do średniowiecza, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza, 1983, s. 16-17, 22, OCLC 21702875 [dostęp 2015-12-09].
    4. LiuL. Dun LiuL., A comparison of Archimedes' and Liu Hui's studies of circles, [w:] FanF. Dainian, Robert S.R.S. Cohen (red.), Chinese Studies in the History and Philosophy of Science and Technology, KathleenK. Dugan, JiangJ. Mingshan (tłum.), Dordrtecht, Boston, London: Kluwer, 1996, s. 279, ISBN 0-7923-3463-9 [dostęp 2015-12-09] (ang.).
    Michał Kazimierz Heller (ur. 12 marca 1936 w Tarnowie) – polski prezbiter katolicki, teolog, profesor nauk filozoficznych specjalizujący się w filozofii przyrody, fizyce, kosmologii relatywistycznej oraz relacji nauka-wiara.Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) – miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Antyfont (także Antyfon), (prawdopodobnie ur. 480 p.n.e., zm. 411 p.n.e.) – grecki retor, filozof, logograf, sofista o przekonaniach zbliżonych do Hippiaszowych.
    Całka Lebesgue’a – konstrukcja matematyczna rozszerzająca pojęcie całki Riemanna na szerszą klasę funkcji, wprowadzona w 1902 r. przez francuskiego matematyka Henriego Lebesgue’a. Rozszerzenie dotyczy także dziedziny, na której mogą być określone funkcje podcałkowe.
    Euklides z Aleksandrii (gr. Εὐκλείδης, Eukleides, ur. ok. 365 r. p.n.e., zm. ok. 300 r. p.n.e.) – matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii.
    Pojęcia Chiny używa się w odniesieniu do krainy historycznej, obejmując wówczas całokształt chińskiej historii i kultury (zobacz: historia Chin), lub w węższym znaczeniu, w odniesieniu do Chińskiej Republiki Ludowej.
    Grégoire de Saint-Vincent (ur. 8 września 1584 w Brugii, zm. 27 stycznia 1667 w Gandawie, znany także jako Gregorius a Sancto Vincentio) – flamandzki uczony i jezuita. Interesował i zajmował się głównie matematyką.
    Rachunek różniczkowy i całkowy – dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji zmiennej rzeczywistej lub zespolonej w oparciu o podstawowe dla tej dyscypliny matematycznej pojęcia pochodnych i całek.
    Dowód nie wprost (dowód apagogiczny, dowód sokratejski, łac. reductio ad absurdum - sprowadzenie do sprzeczności), to forma dowodu logicznego, w którym z założenia o nieprawdziwości tezy wyprowadza się sprzeczność ze zdaniem prawdziwym (założenie nieprawdziwości twierdzenia prowadzi do sprzeczności), co pozwala przyjąć że zaprzeczenie tezy jest fałszywe, a sama teza prawdziwa. Inaczej sposób dowodzenia twierdzeń przez wykazanie sprzeczności między zaprzeczeniem dowodzonej tezy a przyjętymi założeniami.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.042 sek.