• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Mechanika klasyczna



    Podstrony: [1] 2 [3]
    Przeczytaj także...
    Cząsteczka (molekuła) – neutralna elektrycznie grupa dwóch lub więcej atomów utrzymywanych razem kowalencyjnym wiązaniem chemicznym. Cząsteczki różnią się od cząstek (np. jonów) brakiem ładunku elektrycznego. Jednakże, w fizyce kwantowej, chemii organicznej i biochemii pojęcie cząsteczka jest zwyczajowo używane do określania jonów wieloatomowych.Galaktyka (z gr. γαλα – mleko) – duży, grawitacyjnie związany układ gwiazd, pyłu i gazu międzygwiazdowego oraz niewidocznej ciemnej materii. Typowa galaktyka zawiera od 10do 10 gwiazd orbitujących wokół wspólnego środka masy.
    Podsumowanie[]

    Chociaż mechanika klasyczna jest z grubsza zgodna z innymi „klasycznymi” teoriami, takimi jak klasyczna elektrodynamika i termodynamika, to pewne sprzeczności odkryte pod koniec XIX wieku są wyjaśniane przez współczesną fizykę. Przykładowo klasyczna elektrodynamika mówi, że prędkość światła jest stała dla wszystkich obserwatorów – jest to sprzeczne z mechaniką klasyczną, w wyniku czego powstała ogólna teoria względności.

    Szczególna teoria względności (STW) – teoria fizyczna stworzona przez Alberta Einsteina w 1905 roku. Zmieniła ona sposób pojmowania czasu i przestrzeni opisane wcześniej w newtonowskiej mechanice klasycznej. Teoria pozwoliła usunąć trudności interpretacyjne i sprzeczności pojawiające się na styku mechaniki (zwanej obecnie klasyczną) i elektromagnetyzmu po ogłoszeniu przez Jamesa Clerka Maxwella teorii elektromagnetyzmu.Atom – podstawowy składnik materii. Składa się z małego dodatnio naładowanego jądra o dużej gęstości i otaczającej go chmury elektronowej o ujemnym ładunku elektrycznym.

    W mechanice klasycznej można wydzielić poddziedziny:

  • kinematyka – opisująca ruch jako zagadnienie geometryczne,
  • statyka – zajmująca się ciałami nie poruszającymi się i warunkami pozostania ciał w spoczynku (równowadze),
  • dynamika – opisująca ruch ciał oraz zmiany ruchu ciał pod wpływem oddziaływań.
  • Opis ruchu[]

    Podstawowym pojęciem wprowadzanym w mechanice klasycznej jest punkt materialny, który jest obiektem o zaniedbywalnie małych rozmiarach oraz posiadający masę. Ruch punktu materialnego jest scharakteryzowany przez kilka parametrów liczbowych (lub wektorów): jego położenie, masę i siłę działającą na niego. Każdy z tych parametrów zostanie opisany poniżej.

    Zasada zachowania energii – empiryczne prawo fizyki, stwierdzające, że w układzie izolowanym suma wszystkich rodzajów energii układu jest stała (nie zmienia się w czasie). W konsekwencji, energia w układzie izolowanym nie może być ani utworzona, ani zniszczona, może jedynie zmienić się forma energii. Tak np. podczas spalania wodoru w tlenie energia chemiczna zmienia się w energię cieplną.Chaos deterministyczny - w matematyce i fizyce, własność równań lub układów równań, polegająca na dużej wrażliwości rozwiązań na dowolnie małe zaburzenie parametrów. Dotyczy to zwykle nieliniowych równań różniczkowych i różnicowych, opisujących układy dynamiczne.

    W rzeczywistości obiekty, które opisuje mechanika klasyczna zawsze mają niezerowy rozmiar. Prawdziwy punkt materialny, np. elektron prawidłowo jest opisywany przez mechanikę kwantową. Obiekt o niezerowym rozmiarze ma bardziej skomplikowane zachowanie niż hipotetyczny punkt materialny, ponieważ jego wewnętrzny układ może ulec zmianie – np. podczas lotu piłka może obracać się wokół własnej osi, zmieniając w wyniku tego swój ruch. Jakkolwiek, będziemy w stanie użyć naszych rezultatów dla punktu materialnego aby studiować takie obiekty traktując je jako zbiorowy obiekt, zbudowany z oddziałujących na siebie punktów materialnych. Można pokazać, że takie zbiorowe obiekty zachowują się jak punkt materialny. W omawianym przykładzie piłkę traktujemy jako punkt materialny.

    Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.Tarcie (pojęcie fizyczne, jeden z oporów ruchu) to całość zjawisk fizycznych towarzyszących przemieszczaniu się względem siebie dwóch ciał fizycznych (tarcie zewnętrzne) lub elementów tego samego ciała (tarcie wewnętrzne) i powodujących rozpraszanie energii podczas ruchu.

    Położenie i wielkości pochodne[]

    Położenie punktu materialnego jest określane względem wybranego punktu odniesienia (O) znajdującego w przestrzeni. Wybrany punkt wraz z innymi ciałami z nim związanymi nazywamy układem odniesienia. Punktowi materialnemu w konkretnym układzie współrzędnych (opisanym przez wektory jednostkowe i=1,2,3) przyporządkowujemy współrzędne

    Statyka – drugi po kinetyce dział dynamiki (będącej działem mechaniki), zajmujący się równowagą układów sił działających na ciało pozostające w spoczynku lub poruszające się ruchem jednostajnym i prostoliniowym. W przeciwieństwie do kinetyki, statyka zajmuje się zrównoważonymi układami, w których nie powstają siły bezwładności.Gradient – w analizie matematycznej, a dokładniej rachunku wektorowym, pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach, przy czym moduł (długość) każdej wartości wektorowej jest równy szybkości wzrostu. Wektor przeciwny do gradientu nazywa się często antygradientem.

    Wprowadza się pojęcie „ciało fizyczne” lub krótko „ciało” oznaczające dowolny obiekt będący punktem materialnym lub złożony z punktów materialnych.

    Układ odniesienia (fizyka) – punkt lub układ punktów w przestrzeni, względem którego określa się położenie lub zmianę położenia (ruch) danego ciała. Wybrany punkt często wskazuje się poprzez wskazanie ciała, z którym związany jest układ współrzędnych.<|||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| - |||||||||| |||||||||| ||||||||||>,

    Położenie ciała definiowane jest jako wektor ciało nie musi być nieruchome, więc położenie zmienia się w czasie (jest funkcją czasu (t)).

    Prędkość opisuje szybkość zmiany położenia w czasie, jest definiowana jako pochodna położenia po czasie (oznaczana również przez kropkę)

    Energia gr. ενεργεια (energeia) – skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca stan układu fizycznego (materii) jako jego zdolność do wykonania pracy.Ogólna teoria względności (OTW) – popularna nazwa teorii grawitacji formułowanej przez Alberta Einsteina w latach 1907–1915, a opublikowanej w roku 1916.
    .

    Prędkość też zazwyczaj nie jest stała dlatego do opisu jej zmian wprowadza się przyspieszenie, czyli szybkość zmiany prędkości, jest zdefiniowana

    Twierdzenie Noether – twierdzenie udowodnione przez Emmy Noether, mające fundamentalne znaczenie w fizyce. Dotyczy związku zasad zachowania z odpowiednimi symetriami ciągłymi.Zasada nieoznaczoności (zasada nieoznaczoności Heisenberga lub zasada nieokreśloności) − reguła, która mówi, że istnieją takie pary wielkości, których nie da się jednocześnie zmierzyć z dowolną dokładnością. O wielkościach takich mówi się, że nie komutują. Akt pomiaru jednej wielkości wpływa na układ tak, że część informacji o drugiej wielkości jest tracona. Zasada nieoznaczoności nie wynika z niedoskonałości metod ani instrumentów pomiaru, lecz z samej natury rzeczywistości.
    .

    Zmiana wektora przyspieszenia może dotyczyć zmiany jego wartości lub kierunku bądź obydwu.

    Sir Isaac Newton (ur. 25 grudnia 1642/4 stycznia 1643 w Woolsthorpe-by-Colsterworth, zm. 20 marca 1726/31 marca 1727 w Kensington) – angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.Philosophiae naturalis principia mathematica (pol. Podstawy matematyczne filozofii przyrody) – dzieło Isaaca Newtona, w którym przedstawił prawo powszechnego ciążenia, a także prawa ruchu leżące u podstaw mechaniki klasycznej. Newton wyprowadził prawa Keplera dla ruchu planet (sformułowane na podstawie obserwacji astronomicznych).

    Pojęcie siły i druga zasada dynamiki Newtona[]

    Druga zasada dynamiki Newtona wiąże zmianę masy i prędkości punktu materialnego z siłą. Jeżeli m jest masą v prędkością punktu materialnego, a F jest sumą wektorową sił przyłożonych do niego, to druga zasada dynamiki Newtona głosi, że szybkość zmiany pędu ciała jest równa sile działającej na to ciało, co można wyrazić wzorem:

    Planeta (późnołac. planeta, od gr. πλανήτ- planét-, πλανής planés, nowogr. πλανήτης planétes; dosł. „wędrowiec” od πλανάσθαι planásthai, wędrować) – zgodnie z definicją Międzynarodowej Unii Astronomicznej – obiekt astronomiczny okrążający gwiazdę lub pozostałości gwiezdne, w którego wnętrzu nie zachodzą reakcje termojądrowe, wystarczająco duży, aby uzyskać prawie kulisty kształt oraz osiągnąć dominację w przestrzeni wokół swojej orbity. W odróżnieniu od gwiazd, świecących światłem własnym, planety świecą światłem odbitym.Pęd w mechanice – wektorowa wielkość fizyczna opisująca mechanikę, a więc ruch i oddziaływania obiektu fizycznego. Pęd mogą mieć wszystkie formy materii, np. ciała o niezerowej masie spoczynkowej, pole elektromagnetyczne, pole grawitacyjne.
    .

    Wartość jest nazywana pędem i jest ważnym pojęciem mechaniki klasycznej.

    Elektrodynamika - dział fizyki zajmujący się badaniem zachowania się ciał obdarzonych ładunkiem elektrycznym, w szczególności:Stan kwantowy — informacja o układzie kwantowym pozwalająca przewidzieć prawdopodobieństwa wyników wszystkich pomiarów, jakie można na tym układzie wykonać. Stan kwantowy jest jednym z podstawowych pojęć mechaniki kwantowej.

    Kiedy masa m jest stała w czasie, druga zasada dynamiki Newtona może zostać zapisane w prostszej formie:

    gdzie: a – przyspieszenie, zdefiniowane powyżej.

    Nie zawsze masa jest niezależna od czasu, np. masa rakiety na paliwo chemiczne zmniejsza się w miarę zużywania się paliwa. W takiej sytuacji powyższe równanie jest niepoprawne, zatem do opisu powinna być zastosowana pełna forma drugiego prawa Newtona.

    Dynamiczne równanie ruchu (różniczkowe równanie ruchu) – równanie różniczkowe, określające szybkość zmian pewnych wielkości fizycznych (np. prędkości, położenia) jako funkcję aktualnego stanu układu. Przez równanie ruchu najczęściej rozumiemy drugą zasadę dynamiki Newtona, zapisaną w postaci równania różniczkowego. W ogólności równanie ruchu dla pojedynczej cząstki można zapisać jako:Funkcjonał – w matematyce to przekształcenie z przestrzeni wektorowej w ciało skalarne, nad którym rozpięta jest ta przestrzeń. Jest to funkcja, której argumentami są wektory, a wartościami skalary. Często tą przestrzenią jest przestrzeń funkcji - wtedy argumentem funkcjonału jest funkcja. Dlatego czasem uważany jest za funkcję funkcji.

    Druga zasada dynamiki Newtona wymaga podania siły F, która jest miarą oddziaływań naszego ciała z innymi ciałami. Np. typowa siła oporu ruchu piłki w powietrzu jest funkcją prędkości i wielkości piłki.

    Gdzie: λ – dodatnia stała zależna od wielkości i kształtu ciała. – minus oznacza, że siła ma przeciwny zwrot do zwrotu prędkości (jest zawsze siłą hamującą).

    Siła jest zachowawcza, jeśli praca przez nią wykonana na drodze o początku A i końcu B zależy tylko od położenia punktów A i B, nie zależy zaś od przebiegu drogi, czyli od toru ruchu. Praca ta nie zależy wówczas również od prędkości przemieszczania ciała.Punkt materialny (masa punktowa) – ciało fizyczne obdarzone masą, ale mające nieskończenie małe rozmiary (będące punktem).

    Gdy tylko znane są siły działające na punkt materialny w postaci fuknkcji czasu, położenia i prędkości, możemy podstawić je do drugiego prawa Newtona otrzymując równanie różniczkowe, które jest nazwane dynamicznym równaniem ruchu

    Dla przykładu, załóżmy że tarcie jest jedyną siłą działającą na punkt materialny. Wtedy równanie ruchu przybiera postać:

    <|||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| - |||||||||| |||||||||| ||||||||||>Mikroskop elektronowy — mikroskop wykorzystujący do obrazowania wiązkę elektronów. Mikroskop elektronowy pozwala badać strukturę materii na poziomie atomowym. Im większa energia elektronów tym krótsza ich fala i większa rozdzielczość mikroskopu.
    .

    Równanie to można scałkować otrzymując

    Termodynamika – nauka o energii, dział fizyki zajmujący się badaniem energetycznych efektów wszelkich przemian fizycznych i chemicznych, które wpływają na zmiany energii wewnętrznej analizowanych układów. Wbrew rozpowszechnionym sądom termodynamika nie zajmuje się wyłącznie przemianami cieplnymi, lecz także efektami energetycznymi reakcji chemicznych, przemian z udziałem jonów, przemianami fazowymi, a nawet przemianami jądrowymi i energią elektryczną.Praca – skalarna wielkość fizyczna, miara ilości energii przekazywanej między układami fizycznymi w procesach mechanicznych, elektrycznych, termodynamicznych i innych.

    gdzie v0 jest prędkością początkową, czyli prędkością ciała w momencie początkowym (t =0). Z równania tego wynika, że prędkość tego punktu materialnego zmniejsza się eksponencjalnie do zera w miarę upływu czasu. To wyrażenie może być następnie wycałkowane w celu otrzymania kinematycznego równania ruchu.

    Kinematyka (gr. kínēma "ruch") – dział fizyki zajmujący się badaniem geometrycznych właściwości ruchu ciał bez uwzględniania ich cech fizycznych (np. masy) i działających na nie sił. W zależności od właściwości badanych obiektów dzieli się na: kinematykę punktu materialnego i bryły sztywnej oraz kinematykę ośrodków ciągłych (odkształcalnego ciała stałego, cieczy i gazów).Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – w klasycznej mechanice teoretycznej funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisującą układ fizyczny.

    Cząstka swobodna[]

    Przy braku działania sił zewnętrznych cząstka porusza się swobodnie. Jej ruch opisany jest prostym równaniem różniczkowym

    Równanie to jest niezmiennicze przy transformacji układu współrzędnych

    Fizyka (z stgr. φύσις physis – "natura") – nauka przyrodnicza zajmująca się badaniem właściwości i przemian materii i energii oraz oddziaływań między nimi. Do opisu zjawisk fizycznych używają wielkości fizycznych, wyrażonych za pomocą pojęć matematycznych, takich jak liczba, wektor, tensor. Tworząc hipotezy i teorie fizyki, budują relacje pomiędzy wielkościami fizycznymi.Cząstka elementarna – w fizyce, cząstka, będąca podstawowym budulcem, czyli najmniejszym i nieposiadającym wewnętrznej struktury. Niemniej pojęcie to ze względów historycznych ma trochę inne znaczenie.

    Właściwe transformacje Galileusza to:

    Dynamika – dział mechaniki zajmujący się ruchem ciał materialnych pod działaniem sił. Głównym zadaniem dynamiki jest opis ruchu ciał pod działaniem samych sił. Do tego służą trzy rodzaje dynamicznych równań ruchu. W zależności od tego, jakim modelem mechanicznym dynamika się zajmuje, wyróżniamy dynamikę punktu materialnego, bryły sztywnej, dynamikę płynów itp.Zasady dynamiki Newtona – trzy zasady leżące u podstaw mechaniki klasycznej sformułowane przez Isaaca Newtona i opublikowane w Philosophiae Naturalis Principia Mathematica w 1687 roku. Zasady dynamiki określają związki między ruchem ciała a siłami działającymi na nie, dlatego zwane są też prawami ruchu.

    tworzących grupę Galileusza. Są one symetrią równania Newtona dla cząstki swobodnej.

    Grupa transformacji Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciągłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania (np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji właściwej generowanej przez v.

    Z transformacji Galileusza wynika prawo składania prędkości. Oznaczmy z właściwej transformacji Galileusza różniczkując otrzymujemy

    Formalizm Lagrange’a[]

    Równania ruchu Newtona można wyprowadzić w formalizmie Lagrange’a z zasady ekstremum funkcjonału nazywanego całką działania . Funkcjonał ten zdefiniowany jest poprzez funkcje Lagrange’a

    Warunek na ekstremum tego funkcjonału (δS=0) generuje równania Eulera – Lagrange’a

    Na równania te można spojrzeć jak na równania Newtona, kojarząc pęd jako

    a siłę jako

    Otrzymamy dokładną postać równania Newtona gdy zdefiniujemy funkcje Lagrange’a jako

    Szczególną grupą są siły zachowawcze – mogą być one wyrażane jako gradient funkcji skalarnej, zwanej energią potencjalną i oznaczaną U:

    lub

    Niezwykle ważną w zastosowaniach cechą formalizmu Lagrange’a jest niezmienniczość równania Eulera-Lagrange’a względem wyboru układu współrzędnych. Fakt ten nie jest prawdziwy dla sformułowania Newtona, którego forma ma miejsce tylko we współrzędnych kartezjańskich. Niezmienniczość równania Eulera-Lagrange’a umożliwia dobór współrzędnych dopasowanych do symetrii badanego układu mechanicznego lub jego więzów. Redukuje się w ten sposób liczbę stopni swobody problemu lub eliminuje z obliczeń konieczność rozważania sił więzów.

    Energia układu fizycznego[]

    Siła F przyłożona do punktu materialnego, którego przesunięcie wynosi δr wykonuje pracę, praca wykonana przez siłę jest wielkością skalarną opisaną wzorem: .

    Zakładając, że masa punktu materialnego jest stała i δWtotal jest całkowitą pracą wykonaną na punkcie materialnym, którą otrzymujemy poprzez sumowanie prac wykonanych przez każdą siłę przyłożoną do punktu. Na podstawie drugiego prawa Newtona możemy pokazać, że

    gdzie T jest energią kinetyczną. Dla punktu materialnego jest zdefiniowana: .

    Dla obiektów złożonych z wielu punktów mat., energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznych poszczególnych punktów mat. Zatem .

    Ten rezultat znany jako zachowanie energii mechanicznej, a stan w którym całkowita energia

    jest stała w czasie nazywamy układem zachowawczym. Prawo to jest często używane, ponieważ wiele spotykanych sił to siły zachowawcze (ważnym wyjątkiem jest siła tarcia i oporu). Idea zachowania energii mechanicznej została rozszerzona na inne przypadki oddziaływań w wyniku czego utworzono pojęcie energia, a zasada zachowania energii jest najważniejszą zasadą zachowania w fizyce.

    Formalizm Hamiltona[]

    Energię układu fizycznego wyrazić można poprzez położenie i pęd { }. Zbiór takich par definiuje przestrzeń fazową. Punkt w przestrzeni fazowej w pełni określa układ fizyczny, nazywamy go stanem układu w mechanice klasycznej (patrz stan kwantowy w mechanice kwantowej). Energię jako funkcję położenia i pędu nazywamy funkcją Hamiltona lub hamiltonianem. Definiujemy ją jako

    Dla cząstek w polu potencjału U

    Równania Lagrange’a można zastąpić układem dwóch równań (równania Hamiltona) pierwszego rzędu

    Definiując nawiasy Poissona

    zmianę dowolnej wielkości fizycznej F(x, p) z czasem można przedstawić jako

    Jeżeli wielkość fizyczna F jawnie nie zależy od czasu

    to będzie zachowana (jest stałą ruchu), gdy

    będzie komutowała z hamiltonianem. Mówimy, że dwie wielkości A, B komutują, gdy [A, B]=0.

    Przykładem wielkości niekomutujących jest pęd i położenie

    W mechanice kwantowej oznaczać to będzie niemożność jednoczesnego pomiaru tych wielkości (zasada nieoznaczoności).

    Podstrony: [1] 2 [3]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Reklama