Matematyka

Euklides, grecki matematyk z III wieku p.n.e. (trzyma cyrkiel) na fragmencie obrazu Szkoła Ateńska Rafaela Santiego

Matematyka (z łac. mathematicus, od gr. μαθηματικός mathēmatikós, od μαθηματ-, μαθημα mathēmat-, mathēma, „nauka, lekcja, poznanie”, od μανθάνειν manthánein, „uczyć się, dowiedzieć”; prawd. spokr. z goc. mundon, „baczyć, uważać”) – nauka dostarczająca narzędzi do otrzymywania ścisłych wniosków z przyjętych założeń, zatem dotycząca prawidłowości rozumowania. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice, a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.

Mechanika statystyczna (lub fizyka statystyczna) to gałąź fizyki, zajmująca się układami wielu oddziałujących ciał. Specyfiką tej teorii jest jej metoda. Poszczególne ciała są bowiem opisane przez zmienne losowe. Obliczenia prowadzone w ramach mechaniki statystycznej dotyczą średnich z tych zmiennych z wykorzystaniem metod statystycznych. Fizyczną podstawą mechaniki statystycznej jest termodynamika fenomenologiczna.Mechanika płynów (ang. fluid mechanics) - dział mechaniki ośrodków ciągłych zajmujący się analizą ruchu płynów. Przez płyny rozumie się tutaj zarówno ciecze jak i gazy. Rozwiązaniem zagadnień mechaniki płynów zwykle jest określenie własności płynu (takich jak gęstość, temperatura) i własności danego przepływu (podanie pola prędkości, ciśnienia), w zależności od współrzędnych przestrzennych i czasu.

Wiele dziedzin nauki i technologii w pewnym momencie zaczyna definiować swoje pojęcia z dostatecznie dużą precyzją, aby można było stosować do nich metody matematyczne, co często zapoczątkowuje kolejny dział matematyki teoretycznej lub stosowanej. Tak stało się np. z mechaniką klasyczną, mechaniką statystyczną, ekonomią (ekonometria), lingwistyką (lingwistyka matematyczna), teorią gier, a nawet niektórymi działami politologii (teoria głosowań). Obecnie standardem w naukach eksperymentalnych jest potwierdzanie istnienia obserwowanych zależności za pomocą metod statystyki, będącej działem matematyki. Pomaga to odróżnić rzeczywiste zależności od przypadkowej zbieżności. Leonardo da Vinci stwierdził w Traktacie o malarstwie: „Żadne ludzkie badania nie mogą być nazywane prawdziwą nauką, jeśli nie mogą być zademonstrowane matematycznie”.

Teoria grafów to dział matematyki i informatyki zajmujący się badaniem własności grafów. Informatyka rozwija także algorytmy wyznaczające pewne właściwości grafów. Algorytmy te stosuje się do rozwiązywania wielu zadań praktycznych, często w dziedzinach na pozór nie związanych z grafami.Rozkład prawdopodobieństwa – w najczęstszej interpretacji (rozkład zmiennej losowej) miara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.

Matematyka teoretyczna, nazywana czasami matematyką czystą, jest często rozwijana bez wyraźnego związku z konkretnymi zastosowaniami. W tej odmianie jest ona przez niektórych matematyków uważana za formę sztuki. Jednak niektóre działy matematyki teoretycznej znalazły swoje praktyczne zastosowanie, kiedy okazało się, że potrzebuje ich nowoczesna fizyka lub informatyka. Szkolne rozumienie matematyki jako nauki wyłącznie o liczbach i pojęciach geometrycznych zdezaktualizowało się już w XIX wieku wraz z postępami algebry i teorii mnogości.

Algebra Boole’a – algebra ogólna stosowana w matematyce, informatyce teoretycznej oraz elektronice cyfrowej. Jej nazwa pochodzi od nazwiska matematyka, filozofa i logika George’a Boole’a. Teoria algebr Boole’a jest działem matematyki na pograniczu teorii częściowego porządku, algebry, logiki matematycznej i topologii.MSC 2000 (ang. Mathematics Subject Classification 2000) – hierarchiczna klasyfikacja badań naukowych w matematyce sformułowana przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne.

Spis treści

1 Definicje i wizje

2 Główne działy

2.1 Logika i podstawy

2.2 Algebra

2.3 Analiza

2.4 Geometria

2.4.1 Topologia

2.5 Matematyka dyskretna

2.6 Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa

2.7 Matematyka stosowana

2.8 Badania okołomatematyczne

3 Struktura formalna

4 Historia matematyki

5 Dydaktyka matematyki

6 Filozofia matematyki

7 Sztuka

8 Zobacz też

9 Uwagi

10 Przypisy

11 Linki zewnętrzne

Definicje i wizje

Paul Dirac stwierdził: „Matematyka jest narzędziem stworzonym specjalnie do wszelkich abstrakcyjnych koncepcji i nie ma ograniczeń dla jej potęgi w tym zakresie”.

Benjamin Peirce nazwał ją „nauką, która wyciąga właściwe wnioski”.

Henri Poincaré określił matematykę jako „sztukę nadawania takich samych nazw różnym rzeczom”. Oddaje to jedną z piękniejszych cech matematyki, zdolnej uogólniać właściwości i czynić analogie między bardzo odległymi i wydawałoby się mało ze sobą związanymi obiektami.

David Hilbert uznał, że „sztuka uprawiania matematyki zawiera się w znajdowaniu szczególnych przypadków, które zawierają w sobie zalążki uogólnień”.

Poeta William Wordsworth stwierdził: „Matematyka jest niezależnym światem stworzonym przez czystą inteligencję”.

Z czasem niektóre działy matematyki stały się odrębnymi światami, uprawianymi wyłącznie dla ich piękna, bez jakiegokolwiek związku z rzeczywistością. Henry John Stephen Smith stwierdził wprost „Czysta matematyka, oby nigdy nie była przez nikogo używana”.

Z drugiej strony Nikołaj Łobaczewski uznał, że „Nie ma gałęzi matematyki, choćby nie wiem jak abstrakcyjnej, która pewnego dnia nie zostałaby zastosowana do zjawisk realnego świata”. Wyprzedził tą wypowiedzią o pół wieku postępy fizyki, która stosuje w praktyce działy matematyki, przed jej epoką uważane za domenę czystej myśli, niezbrukanej zastosowaniami.

Immanuel Kant stwierdził: „Matematyka jest najjaskrawszym przykładem, jak czysty rozum może skutecznie rozszerzać swoją domenę bez jakiejkolwiek pomocy doświadczenia”.

Główne działy

Matematyka jest dynamiczną symbiozą dziedzin, działów czy teorii, które przenikają się oraz zależą jedne od drugich. Powstają wciąż nowe teorie, stare obumierają, a czasem znowu wracają do życia. Matematyka wymyka się klasyfikacji lub zmusza do tworzenia klasyfikacji wciąż na nowo.

Sztuka – dziedzina działalności ludzkiej uprawiana przez artystów. Nie istnieje jedna spójna, ogólnie przyjęta definicja sztuki, gdyż jej granice są redefiniowane w sposób ciągły, w każdej chwili może pojawić się dzieło, które w arbitralnie przyjętej, domkniętej definicji się nie mieści. Sztuka spełnia rozmaite funkcje, m.in. estetyczne, społeczne, dydaktyczne, terapeutyczne, jednak nie stanowią one o jej istocie.Teoria złożoności obliczeniowej – dział teorii obliczeń, którego głównym celem jest określanie ilości zasobów potrzebnych do rozwiązania problemów obliczeniowych. Rozważanymi zasobami są takie wielkości jak czas, pamięć lub liczba procesorów.

Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne prowadzi klasyfikację gałęzi matematyki, w których prowadzone są aktywne badania naukowe. Ta klasyfikacja jest uaktualniana co pewien czas, aby odzwierciedlić zmiany w zainteresowaniach matematyków – w 2016 obowiązywała jej wersja, określana jako MSC 2010 (Mathematical Subject Classification 2010) jest aktualizacją wersji MSC 2000. MSC jest używane przez wiele czasopism matematycznych oraz baz danych w rodzaju Mathematical Reviews. Klasyfikacja ta obejmuje opisane poniżej główne gałęzie matematyki, z których każda jest dalej dzielona. Łącznie zawiera ona ponad 5000 szczegółowych dziedzin matematyki i dziedzin z matematyką związanych. Każda dziedzina ma przypisany pięcioznakowy kod.

Mechanika klasyczna – dział mechaniki w fizyce opisujący ruch ciał (kinematyka), wpływ oddziaływań na ruch ciał (dynamika) oraz badaniem równowagi ciał materialnych (statyka). Mechanika klasyczna oparta jest na prawach ruchu (zasadach dynamiki) sformułowanych przez Isaaca Newtona, dlatego też jest ona nazywana „mechaniką Newtona” (Principia). Mechanika klasyczna wyjaśnia poprawnie zachowanie się większości ciał w naszym otoczeniu.Równanie całkowe – równanie funkcyjne, w którym występuje całka niewiadomej funkcji. Równania te, w zależności od tego, czy funkcja niewiadoma pojawia się ponadto sama, dzielą się na jednorodne i niejednorodne. Wyróżnia się ponadto kilka ich rodzajów na podstawie typu występujących w nim całek (ściślej granic tych całek). Funkcję szukaną często oznacza się ϕ ( x ) . {displaystyle phi (x).} Zadaniem jest znalezienie postaci funkcji na przedziale [ a , b ] . {displaystyle [a,b].}

Logika i podstawy

Podstawy matematyki definiują język matematyki, sposoby przeprowadzania dowodów matematycznych, metody budowania jej struktur i teorii oraz określają własności jej podstawowych obiektów, takich jak zbiór.

03Bxx Logika ogólna

03Cxx Teoria modeli

03Dxx Teoria obliczeń i teoria rekursji

03Exx Teoria mnogości

03Fxx Teoria dowodu, matematyka konstruktywna, metamatematyka

03Gxx Logika algebraiczna

03Hxx Niestandardowe modele

Algebra

Algebra to dział matematyki zajmujący się strukturami algebraicznymi, porządkowymi, relacjami i uogólniający rozmaite własności działań wspólne dla różnych zbiorów, w których działania takie mogą być przeprowadzane.

Programowanie liniowe – klasa problemów programowania matematycznego, w której wszystkie warunki ograniczające oraz funkcja celu mają postać liniową. Warunki ograniczające mają postać:Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

05-xx Kombinatoryka i teoria grafów

06-xx Porządki, kraty, algebry Boole’a, uporządkowane struktury algebraiczne. Często zaliczane są one do teorii mnogości, jednak MSC inaczej je klasyfikuje.

08-xx Ogólne systemy algebraiczne

11-xx Teoria liczb

12-xx Teoria ciał i wielomianów

13-xx Pierścienie i algebry przemienne

14-xx Geometria algebraiczna

15-xx Algebra liniowa i n-liniowa; teoria macierzy

16-xx Pierścienie i algebry łączne

17-xx Niełączne pierścienie i algebry

18-xx Teoria kategorii, algebra homologiczna

19-xx K-teoria

20-xx Teoria grup i jej uogólnienia

22-xx Grupy topologiczne, grupy Liego

Analiza

Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.Równanie różniczkowe zwyczajne to równanie, w którym występują stałe, funkcje niewiadome oraz pochodne funkcji niewiadomych. W równaniach różniczkowych zwyczajnych funkcje niewiadome zależą od jednej zmiennej niezależnej.

Analiza matematyczna bada pochodne, całki, miary, sumy szeregów, równania różniczkowe i inne pojęcia związane najogólniej mówiąc z przechodzeniem do granicy.

26-xx Teoria funkcji rzeczywistych

28-xx Teoria miary i całki

30-xx Funkcje zmiennej zespolonej

31-xx Teoria potencjału

32-xx Funkcje wielu zmiennych zespolonych i przestrzenie analityczne

33-xx Funkcje specjalne

34-xx Równania różniczkowe zwyczajne

35-xx Równania różniczkowe cząstkowe

37-xx Teoria układów dynamicznych i ergodyczności

39-xx Równania różnicowe i równania funkcyjne

40-xx Ciągi, szeregi

41-xx Aproksymacja

42-xx Analiza Fouriera

43-xx Abstrakcyjna analiza harmoniczna

44-xx Transformacje całkowe, rachunek operatorów

45-xx Równania całkowe

46-xx Analiza funkcjonalna

47-xx Teoria operatorów

49-xx Rachunek wariacyjny i optymalizacja

49-xx Analiza zespolona i twierdzenie podstawowe Cauchy’ego

Geometria

Teoria miary (zwana też teorią miary i całki) - dział analizy matematycznej zajmujący się własnościami ogólnie rozumianych miar zbiorów. Teoria miary bada σ-algebry, funkcje mierzalne oraz całki.Nauki przyrodnicze (w terminologii angielskiej zwane natural sciences) to mało precyzyjne określenie dziedzin nauki, które zajmują się badaniem różnych aspektów świata materialnego, ożywionego i nieożywionego, zazwyczaj z zastosowaniem aparatu matematycznego, jak również właściwej sobie metodologii.

Geometria zajmowała się kolejno przestrzeniami euklidesowymi, sferycznymi, afinicznymi i rzutowymi, hiperbolicznymi, ogólniej rozmaitościami Riemanna i w końcu stałą się dziedziną badającą dla wybranych przekształceń ich niezmienniki, od najprostszych, takich jak odległość, pole powierzchni, miara kąta, przez bardziej zaawansowane, jak krzywizna, punkt stały, czy wymiar.

Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.Zbiór rozmyty (ang. fuzzy set) – obiekt matematyczny ze zdefiniowaną funkcją przynależności (zwaną też funkcją charakterystyczną zbioru rozmytego), która przybiera wartości z przedziału [0, 1]. Teoria zbiorów rozmytych została wprowadzona przez Lotfi A. Zadeha w 1965 r. jako rozszerzenie klasycznej teorii zbiorów.

51-xx Geometria

52-xx Geometryczne pojęcie wypukłości, wielotopy, geometria dyskretna

53-xx Geometria różniczkowa

Topologia

Topologia (zwana początkowo geometria situs, „geometrią położenia” lub analysis situs, „analizą położenia”) w oryginalnym sformułowaniu jest nauką badającą te właściwości przestrzeni, które nie zmieniają się przy przekształceniach takich jak rozciąganie, skręcanie albo obroty. Do własności takich należy na przykład liczba otworów, jakie znajdują się w danej bryle geometrycznej.

Teoria układów dynamicznych - dziedzina matematyki zajmująca się układami dynamicznymi. Stanowi ona ważny w praktyce dział matematyki, przy jej pomocy opisuje się wiele procesów, na przykład dynamikę populacji biologicznych.Teoria grup – dział algebry, uważany za dość autonomiczną dziedzinę matematyki (w szczególności teoria grup abelowych, czyli przemiennych), który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami, czyli zbiorów z wyróżnionym łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym każdy element jest odwracalny.

54-xx Topologia ogólna

55-xx Topologia algebraiczna, teoria homologii, teoria homotopii

57-xx Rozmaitości topologiczne i kompleksy komórkowe, teoria węzłów

58-xx Analiza globalna, analiza na rozmaitościach

Matematyka dyskretna

Często (choć nie w MSC) wyróżnia się oddzielnie grupę dziedzin, które badają struktury nieciągłe, sprowadzające się do zbiorów przeliczalnych. Do matematyki dyskretnej zalicza się m.in. (wymienione także w odpowiednich miejscach klasyfikacji MSC)

kombinatoryka

kryptologia

logika matematyczna

programowanie liniowe

teoria gier (pewne działy)

teoria grafów

teoria informacji (elementarna jej część)

teoria liczb (po części)

teoria matroidów

teoria węzłów (częściowo)

teoria konfiguracji

geometria skończona

algorytmika

teoria złożoności

Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa

Wielokomórka (wielotop) to w geometrii uogólnienie na dowolną liczbę wymiarów pojęcia wielokąta w drugim i wielościanu w trzecim wymiarze.Funkcja zmiennej zespolonej – funkcja, której dziedziną jest podzbiór ciała liczb zespolonych (podzbiór płaszczyzny zespolonej. Nie należy mylić tego pojęcia z funkcją zespoloną, czyli funkcją przyjmującą wartości w zbiorze liczb zespolonych: najczęściej rozpatruje się funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej i zmiennej zespolonej.

Statystyka zajmuje się wnioskowaniem o całej populacji nieco różniących się obiektów (np. ludzi) na podstawie obserwacji części tej populacji (tzw. próby statystycznej).

60-xx Rachunek prawdopodobieństwa i procesy stochastyczne

62-07 Analiza danych

62-09 Metody graficzne statystyki

62Cxx Teoria decyzji

62D05 Teoria próbkowania

62Exx Rozkłady prawdopodobieństwa

62Fxx Teoria estymacji

62Gxx Statystyka nieparametryczna

62Hxx Analiza danych wielowymiarowych

62Jxx Metody liniowe statystyki

62Kxx Projektowanie eksperymentów

62Lxx Metody sekwencyjne statystyki

62Mxx Wnioskowanie z procesów stochastycznych

62Nxx Analiza przeżycia

62Pxx Zastosowania statystyki

Matematyka stosowana

Nauka – autonomiczna część kultury służąca wyjaśnieniu funkcjonowania świata, w którym żyje człowiek. Nauka jest budowana i rozwijana wyłącznie za pomocą tzw. metody naukowej lub metod naukowych nazywanych też paradygmatami nauki poprzez działalność badawczą prowadzącą do publikowania wyników naukowych dociekań. Proces publikowania i wielokrotne powtarzanie badań w celu weryfikacji ich wyników prowadzi do powstania wiedzy naukowej. Zarówno ta wiedza jak i sposoby jej gromadzenia określane są razem jako nauka.Analiza numeryczna to zbiorcza nazwa wszystkich działów matematyki, które zajmują się badaniem struktur ciągłych, to znaczy zawierających zbiory nieprzeliczalne, której głównym zadaniem jest badanie możliwości realizacji obliczeń przybliżonych, oraz analiza powstałych na skutek zaokrąglenia błędów.

Matematyka stosowana jest nauką rozwijającą aparat matematyczny na potrzeby innych nauk i techniki.

65-xx Analiza numeryczna

68-xx Informatyka matematyczna, teoria obliczeń, algorytmy, teoria złożoności

70-xx Mechanika cząstek i układów

74-xx Mechanika ciał deformowalnych

76-xx Zastosowania matematyki w mechanice płynów

78-xx Zastosowania matematyki w optyce i elektromagnetyzmie

80-xx Zastosowania matematyki w termodynamice klasycznej

81-xx Mechanika kwantowa

82-xx Mechanika statystyczna, budowa materii

83-xx Teoria względności

85-xx Zastosowania matematyki w astronomii i astrofizyce

86-xx Zastosowania matematyki w geofizyce

90-xx Badania operacyjne, programowanie matematyczne

91-xx Teoria gier, ekonomia, nauki społeczne

92-xx Biomatematyka i matematyka w innych naukach przyrodniczych

93-xx Teoria systemów, teoria sterowania

94-xx Teoria informacji, teoria sygnałów, korekcja błędów, teoria obwodów, zbiory rozmyte

97-xx Edukacja matematyczna

98-xx Geometria wykreślna

99-xx Rachunek wyrównawczy

Badania okołomatematyczne

MSC wyróżnia także dziedziny, które zajmują się samą matematyką jako przedmiotem swojego zainteresowania.

Funkcje specjalne – umowna nazwa grupy funkcji, które nie są funkcjami elementarnymi, a jednocześnie odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach nauki. Funkcje specjalne zostały szczegółowo przebadane i stablicowane, a wiele programów komputerowych może obliczać ich wartości z dowolną dokładnością. Podstawowe funkcje specjalne są rozwiązaniami równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego, o zmiennych współczynnikach. Niektóre funkcje specjalne stanowią rozwiązania równań różniczkowych nieliniowych drugiego i wyższych rzędów.Proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (liczba rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego, którego wartości są zdarzeniami losowymi, z funkcją, która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).

00-xx Badania ogólne, filozofia matematyki, rozrywka matematyczna

01-xx Historia matematyki, biografie matematyków

Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]