• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Macierz unitarna



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Symetria unitarna – rodzaj symetrii związany z grupą macierzy unitarnych. Grupę macierzy unitarnych o rozmiarze n × n {displaystyle n imes n} nazywamy grupą unitarną rzędu n {displaystyle n} i oznaczamy symbolem U ( n ) {displaystyle mathrm {U} (n),} .Macierz jednostkowa (identycznościowa, tożsamościowa) – macierz kwadratowa, której współczynniki są określone wzorami:

    Macierz unitarnamacierz kwadratowa o elementach zespolonych spełniająca własność:

    Okrąg jednostkowy – okrąg o promieniu jednostkowym, tzn. równym 1. Często, szczególnie w trygonometrii, „okrąg jednostkowy” oznacza okrąg o promieniu 1 i środku w początku, tzn. punkcie ( 0 , 0 ) {displaystyle (0,0),} , układu współrzędnych kartezjańskich płaszczyzny euklidesowej. Często oznacza się go symbolem S 1 {displaystyle mathrm {S} ^{1}} ; jego uogólnieniem na wyższe wymiary jest sfera jednostkowa.Macierz Cabibbo-Kobayashiego-Maskawy (także niepopr. macierz Cabibbo-Kobayashi-Maskawa, skr. macierz CKM) – w Modelu Standardowym fizyki cząstek elementarnych macierz łącząca stany własne kwarków ze względu na oddziaływanie słabe ze stanami własnymi masy. Dla trzech generacji kwarków

    gdzie:

    Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.
    jest macierzą jednostkową wymiaru jest sprzężeniem hermitowskim macierzy

    Zauważmy, że własność ta oznacza, iż macierz posiada macierz odwrotną równą sprzężeniu hermitowskiemu jej samej, czyli:

    Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.Macierz S (macierz rozpraszania, od ang. scattering matrix) jest centralnym elementem w mechanice kwantowej w obrazie oddziaływań (będącym obok obrazu Heisenberga i obrazu Schroedingera trzecim obrazem mechaniki kwantowej) bardzo istotnym dla optyki kwantowej. Opisuje ona w jaki sposób zachodzi rozpraszanie cząstek: podstawiając funkcje falowe cząstek rozpraszanych otrzymujemy funkcje falowe cząstek rozproszonych:

    Szczególnym przypadkiem macierzy unitarnej jest macierz ortogonalna, mająca wyłącznie rzeczywiste elementy. Macierze unitarne mają wyjątkowe znaczenie w mechanice kwantowej.

    MathWorld – encyklopedia matematyczna online, sponsorowana przez Wolfram Research, twórcę i producenta programu Mathematica; współsponsorem jest National Science Foundation (National Science Digital Library).Macierze γ, macierze Diraca - zbiór czterech macierzy { γ 0 , γ 1 , γ 2 , γ 3 } {displaystyle left{gamma ^{0},gamma ^{1},gamma ^{2},gamma ^{3} ight}} będących bazą przestrzeni macierzy kwadratowych 4x4 nad ciałem liczb zespolonych M 4 × 4 ( C ) {displaystyle M_{4 imes 4}(mathbb {C} )} , stosowanych w relatywistycznej mechanice kwantowej.

    Macierze unitarne są szczególnym przypadkiem macierzy normalnych.

    Macierz unitarna wymiaru można sparametryzować za pomocą parametrów rzeczywistych (por. Parametryzacje macierzy unitarnych poniżej).

    Izometria (gr. isos – równy, métron – miara; także przekształcenie izometryczne, izomorfizm izometryczny) – funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi istnieje izometria (są izometryczne) nazywne są przystającymi.Macierz ortogonalna – macierz przekształcenia ortogonalnego przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej względem bazy ortonormalnej tej przestrzeni.

    Własności macierzy unitarnej[ | edytuj kod]

    Dla macierzy słuszne są następujące stwierdzenia:

    Eksponenta macierzy jest funkcją macierzową zdefiniowaną dla macierzy kwadratowych analogicznie jak klasyczna funkcja wykładnicza. Eksponentą macierzy rzeczywistej lub zespolonej n×n jest macierz n×n, oznaczana jako e albo exp(X), zadana przez szereg potęgowyMacierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.
  • Dla dowolnych wektorów zespolonych and mnożenie przez zachowuje ich iloczyn wewnętrzny, tzn.
  • można zdiagonalizować, co oznacza, że jest macierzą podobną do macierzy diagonalnej (jest to konsekwencją twierdzenia spektralnego); dlatego można rozłożyć do postaci
  • gdzie jest unitarna, zaś jest diagonalna i unitarna.
  • Wyznacznik macierzy unitarnej jest liczbą zespoloną o module równym 1:
  • Wektory własne macierzy są ortogonalne.
  • może być zapisana w postaci gdzie oznacza eksponentę macierzy, jest jednostką urojoną, zaś jest macierzą hermitowską.
  • Równoważne warunki[ | edytuj kod]

    Jeżeli jest zespoloną macierzą kwadratową to następujące warunki są równoważne:

    Twierdzenie spektralne – wspólna nazwa twierdzeń w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej uogólniających twierdzenie teorii macierzy mówiące, żeMacierz hermitowska (albo samosprzężona) - macierz kwadratowa A = ( a i j ) {displaystyle A=(a_{ij})} równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu, tj. macierz spełniająca warunek
    1. jest unitarna.
    2. jest unitarna.
    3. macierz odwrotna do jest równa macierzy hermitowsko sprzężonej do tj.
    4. Kolumny tworzą bazę ortonormalną w ze względu na iloczyn wewnętrzny.
    5. Wiersze tworzą bazę ortonormalną w ze względu na iloczyn wewnętrzny.
    6. jest izometrią ze względu na zwykła normę.
    7. jest macierzą normalną z wartościami własnymi leżącymi na okręgu jednostkowym.
    Macierz odwrotna – element odwrotny w pierścieniu macierzy kwadratowych. Uogólnieniem pojęcia macierzy odwrotnej jest tzw. uogólniona macierz odwrotna.Grupa SU(2) (specjalna grupa unitarna rzędu 2) – grupa macierzy wymiaru 2x2 nad ciałem liczb zespolonych spełniających warunki:


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5]




    Warto wiedzieć że... beta

    Macierz diagonalna – macierz, zwykle kwadratowa, której wszystkie współczynniki leżące poza główną przekątną (główną diagonalą) są zerowe. Inaczej mówiąc jest to macierz górno- i dolnotrójkątna jednocześnie.
    Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) – w matematyce, przestrzeń liniowa wyposażona dodatkowo w iloczyn skalarny będący uogólnieniem standardowego iloczynu skalarnego. Przestrzenie unitarne można traktować jako naturalne odpowiedniki przestrzeni euklidesowych, w których możliwe jest zdefiniowanie (bądź uogólnienie) takich pojęć jak kąt, długość wektora (dokładniej norma elementu przestrzeni unitarnej) czy wreszcie ortogonalności elementów. Przestrzenie unitarne, zupełne ze względu na metrykę generowaną przez normę (zależną od iloczynu skalarnego), nazywane są przestrzeniami Hilberta i studiowane są w analizie funkcjonalnej. W związku z tym przestrzenie unitarne nazywane są czasem prehilbertowskimi.
    Macierz – w matematyce układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.
    Sprzężenie hermitowskie macierzy – złożenie operacji transpozycji i sprzężenia zespolonego macierzy zespolonych. Dokładniej, sprzężenie hermitowskie to odwzorowanie dane wzorem
    Macierzami Pauliego nazywamy zbiór zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzonych przez Wolfganga Pauliego w związku z pojęciem spinu w mechanice kwantowej dlatego można się spotkać też z nazwami "Spinowe macierze Pauliego" lub "Macierze spinowe Pauliego".
    Iloczyn skalarny – w matematyce pewna forma dwuliniowa na danej przestrzeni liniowej, tj. dwuargumentowa funkcja o szczególnych własnościach przyporządkowująca dwóm wektorom danej przestrzeni liniowej wartość skalarną. Czasami spotyka się również nazwę iloczyn wewnętrzny, który zwykle odnosi się jednak do ogólnych iloczynów skalarnych wprowadzanych w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych nazywanych wtedy przestrzeniami unitarnymi; przestrzenie afiniczne z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzeniami euklidesowymi.
    Baza ortonormalna – zbiór wektorów E {displaystyle {mathcal {E}}} w przestrzeni unitarnej H {displaystyle H} z iloczynem skalarnym ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {displaystyle langle cdot ,cdot angle } o następujących własnościach:

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.042 sek.