• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Macierz



    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6]
    Przeczytaj także...
    Mnożenie przez skalar − jedno z działań dwuargumentowych definiujących przestrzeń liniową w algebrze liniowej (lub ogólniej: moduł w algebrze ogólnej). Mnożenia wektora przez skalar dającego w wyniku wektor nie należy mylić z iloczynem skalarnym (nazywanym niekiedy iloczynem wewnętrznym) dwóch wektorów dającym w wyniku skalar.Drgania swobodne (drgania własne) – drgania ciała wywołane wychyleniem z położenia równowagi trwałej, kiedy na ciało nie działają żadne siły, poza siłami określającymi położenie równowagi i siłami dążącymi do jej przywrócenia. Amplituda drgań zależy od wielkości początkowego wychylenia (energii potencjalnej) lub od prędkości początkowej (energii kinetycznej) nadanej ciału.
    Macierz składająca się elementów rozmieszczonych w  poziomych wierszach i pionowych kolumnach: element w drugim wierszu i pierwszej kolumnie macierzy oznaczony jest symbolem (zob. Wprowadzenie i oznaczenia).

    Macierz – układ liczb, symboli lub wyrażeń zapisanych w postaci prostokątnej tablicy. Choć słowo „macierz” oznacza najczęściej macierz dwuwskaźnikową, to możliwe jest rozpatrywanie macierzy wielowskaźnikowych (zob. notacja wielowskaźnikowa). Macierze jednowskaźnikowe nazywa się często wektorami wierszowymi lub kolumnowymi, co wynika z zastosowań macierzy w algebrze liniowej. W informatyce macierze modeluje się zwykle za pomocą (najczęściej dwuwymiarowych) tablic.

    Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.Algorytm iteracyjny - algorytm, który uzyskuje wynik przez powtarzanie danej operacji początkowo określoną liczbę razy lub aż do spełnienia określonego warunku. Niektóre problemy można rozwiązać zarówno za pomocą algorytmu iteracyjnego, jak i rekurencyjnego, jak np. problem wież Hanoi.

    Macierze wprowadza się często jako sposób skondensowanego zapisu układów równań liniowych, co ma na celu wyeliminowanie powtarzających się elementów standardowej notacji układów równań tego rodzaju z wieloma niewiadomymi. Same układy pojawiają się wprost podczas algebraizacji zagadnień geometrycznych (równania liniowe parametryzujące punkty, proste, płaszczyzny itd.). Wyrosłym na tym gruncie, podstawowym przeznaczeniem macierzy jest jednak sformułowanie spójnego, a zarazem zwartego sposobu zapisu pojęć i twierdzeń algebry liniowej, a więc przede wszystkim opisu przekształceń liniowych między dwoma przestrzeniami liniowymi nad wspólnym ciałem (skończeniewymiarowych, z ustalonymi bazami), czy form dwuliniowych na przestrzeni liniowej (skończonego wymiaru z wybraną bazą). Nieomalże wszystkie inne zastosowania wynikają z tych interpretacji – macierz Jacobiego, macierz Hessego, czy gradient obecne w analizie wielowymiarowej to macierze pochodnych (przedstawiane w ustalonych bazach, zwykle standardowych); podobnie ma się rzecz z wieloma możliwościami rozkładu macierzy na iloczyn macierzy o ustalonych własnościach – odpowiadają one złożeniom odpowiednich przekształceń. Macierze bada się również niezależnie od jakichkolwiek zastosowań (rozwijając w ten sposób dostępny aparat pojęciowy); samodzielny dział matematyki im poświęcony nazywa się teorią macierzy.

    Spektroskopia – nauka o powstawaniu i interpretacji widm powstających w wyniku oddziaływań wszelkich rodzajów promieniowania na materię rozumianą jako zbiorowisko atomów i cząsteczek. Spektroskopia jest też często rozumiana jako ogólna nazwa wszelkich technik analitycznych polegających na generowaniu widm.Macierz sąsiedztwa (multi)grafu G {displaystyle G} – macierz kwadratowa, w której aij oznacza liczbę krawędzi pomiędzy wierzchołkami i {displaystyle i} i j {displaystyle j} . W przypadku grafów prostych macierz sąsiedztwa jest macierzą zerojedynkową z zerami na głównej przekątnej. Dla grafów nieskierowanych macierz sąsiedztwa jest z definicji symetryczna.

    Ponieważ macierze można traktować jak („długie”) wektory (najczęściej nad pewnym ciałem, takim jak np. liczby rzeczywiste, czy liczby zespolone), to w wielu wypadkach możliwe jest wprowadzenie przeróżnych struktur algebraicznych, czy topologicznych na różnego rodzaju przestrzeniach macierzy, co wynika stąd, iż zbiór macierzy ustalonego typu tworzy skończeniewymiarową przestrzeń liniową z działaniami na macierzach (traktowanych jak wektory, tzn. wprowadzonymi „po wskaźnikach”) – każda z tych przestrzeni ma identyczną strukturę z przestrzenią współrzędnych nad tym ciałem. Dla macierzy nad ciałami liczb rzeczywistych, czy zespolonych można przykładowo wprowadzić strukturę przestrzeni euklidesowej z jej naturalnymi strukturami, a nawet pójść krok dalej: wprowadzić strukturę algebry Liego, co w dalszym stopniu zwiększa liczbę zastosowań teorii macierzy.

    Teoria grafów to dział matematyki i informatyki zajmujący się badaniem własności grafów. Informatyka rozwija także algorytmy wyznaczające pewne właściwości grafów. Algorytmy te stosuje się do rozwiązywania wielu zadań praktycznych, często w dziedzinach na pozór nie związanych z grafami.Metoda najmniejszych kwadratów – standardowa metoda przybliżania rozwiązań układów nadokreślonych, tzn. zestawu równań, w którym jest ich więcej niż zmiennych. Nazwa „najmniejsze kwadraty” oznacza, że końcowe rozwiązanie tą metodą minimalizuje sumę kwadratów błędów przy rozwiązywaniu każdego z równań.

    W ogólności struktura algebraiczna w zbiorze współczynników umożliwiająca wprowadzenie działań algebraicznych na macierzach może być pierścieniem przemiennym, a nawet półpierścieniem; w teorii reprezentacji wykorzystuje się możliwość zanurzenia grup w przestrzeniach liniowych, a więc użycia teorii macierzy w teorii grup. Dzięki temu macierze znalazły zastosowanie również w kryptografii, rachunku prawdopodobieństwa, czy elektronice – część z nich omówiono w Uogólnieniach. Interpretacje geometryczne wykorzystywane są również w grafice komputerowej do reprezentowania przekształceń świata przedstawionego w trzech wymiarach i odwzorowywania go na dwuwymiarowym ekranie. Źródłem tych zastosowań jest możliwość zwartego przedstawienia układów równań liniowych reprezentujących wirtualne obiekty, jak i sposoby ich przekształcania oraz łatwość odczytu ich własności, rozwiązań itp.

    Rozkład prawdopodobieństwa – w najczęstszej interpretacji (rozkład zmiennej losowej) miara probabilistyczna określona na sigma-ciele podzbiorów zbioru wartości zmiennej losowej (wektora losowego), pozwalająca przypisywać prawdopodobieństwa zbiorom wartości tej zmiennej, odpowiadającym zdarzeniom losowym. Formalnie rozkład prawdopodobieństwa może być jednak rozpatrywany także bez stosowania zmiennych losowych.Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).
    W artykule zakłada się, że wszystkie macierze mają współczynniki z ustalonego ciała (liczbowego) o ile nie zaznaczono inaczej.

    Spis treści

  • 1 Wprowadzenie i oznaczenia
  • 2 Podstawowe działania
  • 3 Macierze prostokątne
  • 3.1 Układy równań liniowych
  • 3.2 Przekształcenia liniowe
  • 4 Macierze kwadratowe
  • 4.1 Wyznacznik
  • 4.2 Niezmienniczość i zagadnienie własne
  • 4.3 Symetria i określoność
  • 5 Aspekty numeryczne
  • 6 Ujęcie algebraiczne i uogólnienia
  • 6.1 Definicja
  • 6.2 Klasy macierzy a wybór bazy
  • 6.3 Rozkłady macierzy
  • 6.4 Współczynniki, algebra i grupy macierzy
  • 6.5 Macierze nieskończone i puste
  • 6.6 Tensory
  • 7 Zastosowania
  • 7.1 Teoria grafów
  • 7.2 Analiza i geometria
  • 7.3 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
  • 7.4 Symetrie i przekształcenia w fizyce
  • 7.5 Kombinacje liniowe stanów kwantowych
  • 7.6 Drgania swobodne
  • 7.7 Optyka geometryczna
  • 7.8 Elektronika
  • 8 Historia
  • 8.1 Prekursorzy
  • 8.2 Właściwe pojęcie
  • 8.3 Rozwój teorii
  • 9 Inne znaczenia terminu
  • 10 Zobacz też
  • 11 Uwagi
  • 12 Przypisy
  • 13 Bibliografia
  • 14 Linki zewnętrzne
  • Wprowadzenie i oznaczenia[ | edytuj kod]

    Kolumny macierzy
    Wiersze macierzy
    Główna przekątna macierzy

    Poziomy układ elementów znajdujących się w jednej linii nazywa się wierszem, a pionowy – kolumną macierzy. Dane wpisane w macierz nazywa się jej elementami, współczynnikami lub wyrazami; każdy element można jednoznacznie zidentyfikować, podając jego wskaźniki lub indeksy – zwykle w tej kolejności: numer wiersza i kolumny macierzy, w której stoi. Para złożona z liczby wierszy i kolumn nazywana jest typem macierzy – często liczby te oddziela się znakiem Wyrazy macierzy otacza się przeważnie nawiasami okrągłymi lub kwadratowymi (w starszych pozycjach można znaleźć podwójne kreski, co dziś może być źródłem pomyłek, np. z wartością bezwzględną wyznacznika bądź normą macierzy; zob. Ujęcie algebraiczne i uogólnienia); stąd napisy

    Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo Parser nie mógł rozpoznać (Nie można zapisać obrazu z wzorem w systemie plików.): 5Krakowian to tablica zastępująca macierz w obliczeniach ręcznych zaproponowana przez Tadeusza Banachiewicza. Ma inaczej zdefiniowane mnożenie, w krakowianach mnoży się przez siebie kolumny, dzięki temu do wykrywania błędów obliczeń można stosować sumy kontrolne. Zastosowanie krakowianów upraszcza wiele wzorów i obliczeń numerycznych.

    oznaczają te same macierze – w dalszej części artykułu stosowane będą nawiasy kwadratowe. W ten sposób powyższa macierz złożona jest z 4 wierszy i 3 kolumn, tzn. jest typu Liczba występuje w tej macierzy dwukrotnie: na przecięciu pierwszego wiersza i pierwszej kolumny oraz na przecięciu trzeciego wiersza i drugiej kolumny – innymi słowy element macierzy o wskaźnikach lub to Ostatnia (trzecia) kolumna składa się z elementów w tej właśnie kolejności.

    Rząd macierzy (o elementach z pewnego ciała) - maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy.Teoria złożoności obliczeniowej – dział teorii obliczeń, którego głównym celem jest określanie ilości zasobów potrzebnych do rozwiązania problemów obliczeniowych. Rozważanymi zasobami są takie wielkości jak czas, pamięć lub liczba procesorów.

    Nie ma ogólnie przyjętej metody oznaczania macierzy, przy czym trendy podlegały zmianom w czasie. Sposób oznaczania typu nie jest ustalony – zwykle bywa zapisywany oddzielnie (jak w tym artykule). W artykule przyjęto konwencję stosowania tych samych liter alfabetu łacińskiego na oznaczenie macierzy i jej elementów – dużych (pogrubionych, prostych) do oznaczenia macierzy i małych (pochylonych), o ile są skalarami, ze wskaźnikami w indeksie dolnym (zwykle, choć spotyka się oznaczenia ze wskaźnikami w indeksie górnym albo po jednym w każdym z indeksów; wśród innych sposobów zapisu można wymienić również notację funkcyjną, zob. Definicja) na oznaczenie jej elementów. Tak więc elementy macierzy oznaczonej literą będą zapisywane symbolicznie jako gdzie jest wskaźnikiem elementu leżącego na przecięciu -tego wiersza i -tej kolumny, lub jeśli nie wprowadza to niejasności, lub po prostu – taki element (współczynnik, wyraz) nazywa ogólnym. Macierz złożoną z elementów oznacza się, otaczając wyraz ogólny nawiasami okrągłymi, lub (jak w tym artykule) kwadratowymi, W ten sposób macierz będzie oznaczana tzn.

    Symetria – rodzaj symetrii, której podlegają przestrzeń, pola kwantowe, równania pola, lagranżjany, hamiltoniany itp. Symetrie są obecnie podstawowym narzędziem fizyki: z ich istnienia można wywnioskować zasady zachowania (twierdzenie Noether) oraz wszystkie własności cząstek elementarnych, takie jak ładunki, masy i oddziaływania, w których uczestniczą. Jeżeli jakiejś własności nie można wyprowadzić z zasad symetrii, tylko trzeba ją postulować arbitralnie, to teorię taką uznajemy za niekompletną.Teorie pól kwantowych (ang. QFT – Quantum Field Theory) – współczesne teorie fizyczne tłumaczące oddziaływania podstawowe. Są one rozwinięciem mechaniki kwantowej zapewniającym jej zgodność ze szczególną teorią względności.

    Macierz o liczbie kolumn równej liczbie wierszy nazywa się kwadratową – wspomnianą wspólną liczbę kolumn i wierszy nazywa się wtedy stopniem tej macierzy; macierze nie będące kwadratowymi nazywa się dla wyróżnienia prostokątnymi. Jeśli macierz jest kwadratowa, to ciąg elementów o równych wskaźnikach wiersza i kolumny począwszy od jeden do jej stopnia nazywa się główną przekątną (główną diagonalą lub często po prostu przekątną bądź diagonalą) macierzy kwadratowej; przekątne leżące nad lub pod główną przekątną nazywa się odpowiednio nadprzekątną lub podprzekątną macierzy; przekątną, której wiersz rośnie od pierwszego do ostatniego, a kolumna maleje od ostatniej do pierwszej nazywa czasem przeciwprzekątną lub antyprzekątną. Pojęcia te uogólnia się niekiedy na dowolne macierze prostokątne.

    Macierz jednostkowa (identycznościowa, tożsamościowa) – macierz kwadratowa, której współczynniki są określone wzorami: Kwadrat magiczny – tablica składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n różnych nie powtarzających się dodatnich liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.

    Dla macierzy

    stopnia jej główną przekątną jest ciąg elementów równych odpowiednio a antyprzekątną – ciąg złożony z elementów równych kolejno Jej nadprzekątną i podprzekątną tworzą odpowiednio pary elementów i równych kolejno oraz

    Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).Twierdzenie Cayleya–Hamiltona (nazwa od matematyków Artura Cayleya i Williama Hamiltona) mówi, że każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego.

    Podmacierz danej macierzy to dowolny układ jej elementów powstały przez „skreślenie” pewnej liczby wierszy i kolumn sam tworzący macierz; w szczególności podmacierze (kwadratowe) zawierające kolejne wiersze i kolumny o tych samych wskaźnikach, poczynając od pierwszego, nazywa się podmacierzami głównymi; innymi słowy są to podmacierze kwadratowe zawierające pewną liczbę początkowych wyrazów głównej przekątnej. Macierz klatkowa to macierz, w której wprowadzono podział elementów na grupy kolejnych wierszy i kolumn – obrazowo czyni się to, prowadząc poziome i pionowe linie między wierszami i kolumnami macierzy, dzieląc ją na podmacierze nazywane klatkami. Podział ten umożliwia traktowanie macierzy klatkowej jako macierzy, której elementami są inne macierze (klatki); podobnie macierze klatkowe można zestawiać z „pasujących” macierzy.

    Twierdzenie Kroneckera-Capellego – twierdzenie algebry liniowej dające kryterium istnienia rozwiązań układu równań liniowych i umożliwiające ich klasyfikację (która, opisana w niniejszym artykule jako „wniosek”, jest często przytaczana w samym twierdzeniu); stanowi ono uogólnienie opisu rozwiązań układu równań liniowych jednorodnych zawartego w twierdzeniu o rzędzie na przypadek niejednorodny.Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.

    Jeżeli dane są macierze: odpowiednio typów to można z nich zestawić macierz klatkową

    Macierz dołączona – w algebrze liniowej macierz pełniąca rolę podobną do macierzy odwrotnej do danej macierzy zdefiniowana jednak dla dowolnej macierzy kwadratowej (nie tylko odwracalnej).Równanie różniczkowe cząstkowe to równanie, w którym występuje niewiadoma funkcja dwóch lub więcej zmiennych oraz niektóre z jej pochodnych cząstkowych.

    Podstawowe działania[ | edytuj kod]

    Macierze i uważa się za równe, jeśli mają ten sam typ i równe odpowiadające sobie elementy, tzn. dla każdej możliwej pary zachodzi

    Forma kwadratowa albo funkcjonał kwadratowy – w algebrze liniowej szczególna forma (funkcjonał) określona na danej przestrzeni liniowej (tzn. funkcja w ciało jej skalarów), mianowicie jednorodna stopnia 2 funkcja wielomianowa drugiego stopnia.Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.
    Schematyczne przedstawienie iloczynu macierzy oraz

    Sumę macierzy i definiuje się „po współczynnikach”, tzn. za pomocą wzoru

    Macierz trójkątna to macierz kwadratowa, której wszystkie współczynniki pod główną przekątną lub wszystkie współczynniki nad tą przekątną są równe zero. Należy zauważyć, że kwadratowa macierz schodkowa jest zawsze macierzą trójkątną.Macierz Cabibbo-Kobayashiego-Maskawy (także niepopr. macierz Cabibbo-Kobayashi-Maskawa, skr. macierz CKM) – w Modelu Standardowym fizyki cząstek elementarnych macierz łącząca stany własne kwarków ze względu na oddziaływanie słabe ze stanami własnymi masy. Dla trzech generacji kwarków
    dla wszystkich

    Mnożenie przez skalar macierzy oraz liczby również definiuje się „po współczynnikach”, czyli

    Orbital molekularny (inaczej: cząsteczkowy, skrót: MO) jest funkcją, opisującą stan elektronu w cząsteczce, w ramach teorii orbitali molekularnych. Zwykle przedstawia się go jako kombinację orbitali atomowych – "zwykłych" bądź zhybrydyzowanych.Łączność – jedna z własności działań dwuargumentowych, czyli np. operatorów arytmetycznych. Pojęcie to występuje w dwóch znaczeniach.
    dla dowolnych

    Działanie mnożenia macierzy można określić na wiele sposobów, najczęściej jednak „mnożenie macierzy” oznacza tzw. iloczyn Cauchy’ego macierzy (zob. przekształcenia liniowe): dla macierzy typu oraz typu dany jest on jako taka macierz typu oznaczana dla której

    Teoria grup – dział algebry, uważany za dość autonomiczną dziedzinę matematyki (w szczególności teoria grup abelowych, czyli przemiennych), który bada własności struktur algebraicznych nazywanych grupami, czyli zbiorów z wyróżnionym łącznym dwuargumentowym działaniem wewnętrznym mającym element neutralny i w którym każdy element jest odwracalny.Metoda Elementów Skończonych albo Metoda Elementu Skończonego (MES, ang. FEM, finite-element method) – zaawansowana metoda rozwiązywania układów równań różniczkowych, opierająca się na podziale dziedziny (tzw. dyskretyzacja) na skończone elementy, dla których rozwiązanie jest przybliżane przez konkretne funkcje, i przeprowadzaniu faktycznych obliczeń tylko dla węzłów tego podziału.
    dla dowolnych

    Mnożenie to jest łączne, ale nie jest przemienne; ponadto jest ono obustronnie rozdzielne względem dodawania, a do tego zgodne z mnożeniem przez skalar.

    Jądro – dla danej struktury algebraicznej homomorficzny przeciwobraz elementu neutralnego. Dla danego homomorfizmu f {displaystyle f} jego jądro oznacza się zwykle ker  f {displaystyle {mbox{ker }}f} (od ang. kernel)Grupa – jedna ze struktur algebraicznych: zbiór niepusty, na którym określono pewne łączne działanie dwuargumentowe wewnętrzne, dla którego istnieje element odwrotny do każdego elementu oraz element neutralny. Można powiedzieć, że grupą jest monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Dział matematyki badający własności grup nazywa się teorią grup.

    Przestawienie bądź transpozycja danej macierzy tzn. zamiana jej kolumn i wierszy miejscami (z zachowaniem kolejności) pozwala na zwięzłe przedstawienie wielu jej własności; macierz transponowaną lub przestawioną względem macierzy definiuje się jako macierz

    Graf to – w uproszczeniu – zbiór wierzchołków, które mogą być połączone krawędziami, w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków (ilustracja po prawej stronie). Grafy to podstawowy obiekt rozważań teorii grafów. Za pierwszego teoretyka i badacza grafów uważa się Leonarda Eulera, który rozstrzygnął zagadnienie mostów królewieckich.Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.
    dla wszystkich

    przy czym oraz

    Macierz przekształcenia liniowego – w algebrze liniowej macierz będąca wygodnym zapisem we współrzędnych przekształcenia liniowego dwóch skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem z ustalonymi bazami. Dzięki temu, że mnożeniu macierzy oraz domnażaniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze, teoria macierzy staje się wygodnym językiem opisu przekształceń (w tym endomorfizmów) liniowych wyżej opisanych przestrzeni; jeśli nie wskazano żadnych baz, to każdą macierz o elementach z ciała można traktować jako przekształcenie liniowe między dwoma przestrzeniami współrzędnych.Ten artykuł zawiera pewne przykłady przestrzeni liniowych. W artykule „przestrzeń liniowa” znajdują się definicje używanych tutaj pojęć. Zapoznaj się również z: wymiar, baza.

    Operacjami elementarnymi na macierzy nazywa się operacje: zamiany miejscami dwóch wierszy macierzy, pomnożenia jednego z wierszy przez liczbę różną od zera oraz dodania wiersza macierzy do innego jej wiersza. Macierz elementarna to macierz powstała z macierzy jednostkowej w wyniku jednej operacji elementarnej na jej wierszach. Podobnie definiuje się operacje elementarne na kolumnach danej macierzy.

    Statystyka (niem. Statistik, „badanie faktów i osób publicznych”, z łac. [now.] statisticus, „polityczny, dot. polityki”, od status, „państwo, stan”) – nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody pozyskiwania i prezentacji, a przede wszystkim analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe.Andrzej Stanisław Mostowski (ur. 1 listopada 1913 we Lwowie, zm. 22 sierpnia 1975 w Vancouver, Kanada) – polski matematyk zajmujący się głównie podstawami matematyki, przedstawiciel warszawskiej szkoły matematycznej.


    Podstrony: 1 [2] [3] [4] [5] [6]




    Warto wiedzieć że... beta

    Wiązanie chemiczne według klasycznej definicji to każde trwałe połączenie dwóch atomów. Wiązania chemiczne powstają na skutek uwspólnienia dwóch lub większej liczby elektronów pochodzących bądź z jednego, bądź z obu łączących się atomów lub przeskoku jednego lub większej liczby elektronów z jednego atomu na drugi i utworzenia w wyniku tego tzw. pary jonowej.
    Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei
    Text mining(eksploracja tekstu) – ogólna nazwa metod eksploracji danych służących do wydobywania danych z tekstu i ich późniejszej obróbki.
    Pochodna cząstkowa – w matematyce dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.
    Przestrzeń Hilberta – w analizie funkcjonalnej rzeczywista lub zespolona przestrzeń unitarna (tj. przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych z abstrakcyjnym iloczynem skalarnym), zupełna ze względu na indukowaną (poprzez normę) z iloczynu skalarnego tej przestrzeni metrykę. Jako unormowana i zupełna, każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha, a przez to przestrzenią Frécheta, a stąd lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną. Przestrzenie te noszą nazwisko Davida Hilberta, który wprowadził je pod koniec XIX wieku; są one podstawowym narzędziem wykorzystywanym w wielu dziedzinach fizyki, m.in. w mechanice kwantowej (np. przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta).
    Carl Gustav Jakob Jacobi (ur. 10 grudnia 1804 w Poczdamie - zm. 18 lutego 1851 w Berlinie) – matematyk niemiecki. Profesor uniwersytetu w Królewcu. Członek między innymi Berlińskiej Akademii Nauk.
    Bagdad (arab. بغداد = Baghdād) – stolica Iraku; liczba mieszkańców wynosi ponad 7 mln. Położony na zachodnim brzegu Tygrysu jest jednym z największych miast na Bliskim Wschodzie.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.187 sek.