• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Liniowa niezależność



    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5]
    Przeczytaj także...
    Mnożenie przez skalar − jedno z działań dwuargumentowych definiujących przestrzeń liniową w algebrze liniowej (lub ogólniej: moduł w algebrze ogólnej). Mnożenia wektora przez skalar dającego w wyniku wektor nie należy mylić z iloczynem skalarnym (nazywanym niekiedy iloczynem wewnętrznym) dwóch wektorów dającym w wyniku skalar.Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.
    Definicja[]

    Podzbiór przestrzeni liniowej nazywa się liniowo niezależnym, jeżeli dla każdego skończonego podzbioru różnych wektorów ze zbioru i każdego układu skalarów zachodzi wynikanie:

    Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).Rząd macierzy (o elementach z pewnego ciała) - maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów tworzących kolumny danej macierzy.
    Jeśli   ,   to   dla

    Symbol w poprzedniku powyższej implikacji oznacza wektor zerowy, a nie liczbę zero.

    Zero (zapisywane jako 0) – element neutralny dodawania; najmniejsza nieujemna liczba. To, czy zero jest uznawane za liczbę naturalną, jest kwestią umowy – czasem włącza się, a czasem wyklucza się je z tego zbioru. Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną.Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

    Implikację z definicji można w kontrapozycji przedstawić następująco: Jeśli nie wszystkie skalary są zerowe, to

    Ogólniej, niech oznacza przestrzeń liniową nad ciałem i niech będzie zbiorem indeksowanym elementów przestrzeni . Zbiór jest liniowo niezależny, jeżeli dla każdego niepustego, skończonego podzbioru w zbiorze elementów zachodzi implikacja:

    Operacje elementarne – w algebrze liniowej blisko powiązane ze sobą przekształcenia układów równań liniowych i macierzy.Rząd – w teorii grup pojęcie oddające intuicję „rozmiaru” (w sensie „rzędu wielkości”) danej grupy i ułatwiające przy tym opis jej podgrup; w szczególności rzędem elementu nazywa się rząd („rozmiar”) najmniejszej (pod)grupy zawierającej ten element.
    Jeśli   ,   to   dla

    Zbiór wektorów, który nie jest liniowo niezależny, nazywa liniowo zależnym.

    Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.Ranga grupy abelowej – w algebrze, uogólnienie pojęcia rangi grupy abelowej wolnej na dowolne grupy abelowe; można ją postrzegać jako najmniejszą liczbę elementów generujących daną grupę abelową. Ranga grupy abelowej wyznacza rozmiar największej grupy abelowej wolnej zawartej w tej grupie. Jeżeli grupa jest beztorsyjna, to rangę można traktować analogicznie do wymiaru przestrzeni liniowej: jest to w istocie wymiar najmniejszej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych, w której można zanurzyć daną grupę abelową.

    Oznacza to, że podzbiór przestrzeni liniowej jest liniowo zależny, jeżeli istnieje skończona liczba różnych wektorów ze zbioru oraz skalary nie wszystkie zerowe, takie że

    Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność).Matroid to obiekt stanowiący uogólnienie przestrzeni liniowej wraz z istniejącym w niej pojęciem niezależności liniowej. Matroidy bada się głównie w takich działach matematyki, jak algebra, geometria czy matematyka dyskretna. Pojęcie to zostało wprowadzone w 1935 roku przez angielskiego matematyka Hasslera Whitneya.

    Zbiór jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi reprezentacjami wektora zerowego jako kombinacji liniowej elementów tego zbioru są rozwiązania trywialne.

    Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.Rodzina indeksowana – w matematyce uogólnienie pojęcia rodziny zbiorów analogiczne do uogólnienia zbioru przez ciągi. Rodzinę indeksowaną zbiorów definiuje się określając wpierw ogólniejsze pojęcie rodziny indeksowanej elementów.

    Równoważnie, zbiór jest zależny, jeżeli pewien jego element należy do powłoki liniowej reszty zbioru, tzn. pewien jego element jest kombinacją liniową pozostałej części rodziny.

    Interpretacja geometryczna[]

    Wyjaśnieniu pojęcia liniowej niezależności może przysłużyć się przykład geograficzny. Osoba opisująca położenie pewnego miejsca może stwierdzić: „znajduje się ono 5 km na północ i 6 km na wschód stąd”. Informacja ta wystarczy do opisania położenia, ponieważ układ współrzędnych geograficznych może być postrzegany jako dwuwymiarowa przestrzeń liniowa (ignorując wzniesienie). Osoba ta może dodać: „miejsce leży 7,81 km na północny wschód stąd”. Choć jest to stwierdzenie prawdziwe, to nie jest ono niezbędne.

    Metoda eliminacji Gaussa – w algebrze liniowej algorytm rozwiązywania układów równań liniowych, obliczania rzędu macierzy, obliczania macierzy odwrotnej oraz obliczania wartości wyznacznika, wykorzystujący operacje elementarne; jego nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa.Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.

    W powyższym przykładzie wektory „5 km na północ” oraz „6 km na wschód” są liniowo niezależne. Oznacza to, że wektor północny nie może być opisany za pomocą wektora wschodniego i na odwrót. Trzeci wektor „7,81 km na północny wschód” jest kombinacją liniową pozostałych dwóch, co czyni ten zbiór wektorów liniowo zależnym, tzn. jeden z tych trzech wektorów jest zbędny.

    Skalar – w algebrze (liniowej) element ustalonego ciała nad którym zbudowany jest dowolny moduł (przestrzeń liniowa).Kombinacja liniowa – jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej i powiązanych z nią działów matematyki. W dalszej części pojęcie to będzie omawiane głównie w kontekście przestrzeni liniowych nad ciałem z uogólnieniami na końcu artykułu.

    Jeżeli nie zaniedbywać wzniesienia, to niezbędne staje się dodanie trzeciego wektora do zbioru liniowo niezależnego. W ogólności potrzeba liniowo niezależnych wektorów do opisania dowolnego położenia w -wymiarowej przestrzeni.

    Wrońskian – wyznacznik znajdujący zastosowanie w rachunku różniczkowym i równaniach różniczkowych, opracowany przez polskiego matematyka Józefa Hoene-Wrońskiego, nazwany tak na jego cześć.Dziedzina całkowitości – niezerowy pierścień przemienny z jedynką bez (właściwych) dzielników zera. Pierścienie te są uogólnieniem pierścienia liczb całkowitych i stanowią one naturalny kontekst do badania podzielności ze względu na dość regularne reguły przeprowadzania rachunków; najistotniejszą ich własnością jest tzw. prawo skracania.

    Korzystając z równoważnego sformułowania liniowej niezależności można powiedzieć, że po wykonaniu (istotnego, niezerowego) ruchu z początku (przestrzeni) opisanego przy pomocy wektorów liniowo niezależnych (poprzez co najwyżej jednokrotne złożenie, czyli dodanie, każdego z nich) powrót do niego jest niemożliwy – osiągnięcie go wymaga braku ruchu w jakimkolwiek kierunku, co oznacza, że cały ruch może być opisany wyłącznie przez wektor zerowy.

    Przestrzeń rzutowa - obiekt zainteresowania geometrii rzutowej. Jest to modyfikacja pojęcia przestrzeni geometrycznej, gdzie każde dwie proste leżące na jednej płaszczyźnie posiadają punkt wspólny.Grupa trywialna – w teorii grup grupa składająca się wyłącznie z jednego elementu; tego rodzaju grupy są najmniejszymi w sensie liczebności (tj. rzędu) możliwymi grupami.

    Własności[]

    Układ zawierający wektor zerowy bądź zawierający dany wektor dwukrotnie jest liniowo zależny.

    Dowolny podukład liniowo niezależnego układu wektorów jest liniowo niezależny.

    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – niepusty podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni.

    Układ powstały z układu poprzez skończoną liczbę operacji elementarnych, tzn.

    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.Macierz Grama – w algebrze liniowej macierz związana z układem wektorów danej przestrzeni unitarnej, ułatwiająca opis tej przestrzeni; nosi ona nazwisko duńskiego matematyka Jørgena Pedersena Grama.
  • pomnożenia przez niezerowy skalar dowolnego z wektora układu,
  • dodania dowolnego wektora układu do innego,
  • zmiany porządku wektorów w układzie,
  • jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy liniowo niezależny był układ

    Wektor zerowy – wektor przestrzeni liniowej pełniący rolę elementu neutralnego dodawania wektorów; zapisywany zwykle symbolem zera, 0 , {displaystyle scriptstyle 0,} często dodatkowo wyróżnionym, np. wytłuszczeniem 0 , {displaystyle scriptstyle mathbf {0} ,} czy strzałką 0 → . {displaystyle scriptstyle {vec {0}}.} Przestrzeń zerowa (trywialna) to najmniejsza w sensie zawierania przestrzeń liniowa – zawiera ona wyłącznie wektor zerowy, którego istnienie w dowolnej przestrzeni liniowej postulowane jest w jej aksjomatach. Przeciwobraz wektora zerowego (przestrzeni zerowej) w przekształceniu liniowym nazywa się jądrem tego przekształcenia.Pierścień liczb całkowitych – zbiór liczb całkowitych tworzących strukturę algebraiczną Z {displaystyle mathbb {Z} } z operacjami dodawania, brania liczby przeciwnej i mnożenia. Stanowią one pierścień przemienny, którego są prawzorem poprzez fakt spełniania tylko tych równań, które zachodzą dla wszystkich pierścieni przemiennych z jedynką; istotnie, jest to początkowy pierścień przemienny, a nawet pierścień początkowy.

    Zbiór wektorów, który jest liniowo niezależny i rozpina pewną przestrzeń liniową, stanowi bazę tej przestrzeni.

    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Zbiór generatorów grupy – w teorii grup podzbiór, który nie zawiera się w żadnej podgrupie właściwej danej grupy. Równoważnie zbiór generatorów grupy to podzbiór grupy, którego każdy element można przedstawić jako kombinację (względem operacji grupowej) skończenie wielu elementów tego podzbioru i ich elementów odwrotnych (w notacji addytywnej odpowiada to kombinacji liniowej).
    Grupa cykliczna – grupa, której wszystkie elementy można wyrazić za pomocą potęg pewnego jej elementu. Równoważnie jest to grupa generowana przez jeden z jej elementów (elementów które generują tę grupę może być wiele).
    Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych, czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków), czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.
    Grupa przemienna (abelowa) – grupa, w której działanie jest przemienne. Zwyczajowo, w przypadku grup przemiennych stosuje się zapis addytywny.
    Część wspólna zbiorów A i B (przekrój, iloczyn mnogościowy, przecięcie zbiorów) – zbiór, który zawiera te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.
    Niezmiennik (inwariant) – cecha lub właściwość, która jest stała (nie zmienia się) w trakcie przekształceń, procesów przemiany, itp.
    Podgrupa – w teorii grup zbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.049 sek.