Linia pierwiastkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Linia pierwiastkowa – linia, która po wykreśleniu na płaszczyźnie obrazuje miejsca położenia (na płaszczyźnie zmiennej zespolonej s) pierwiastków równania charakterystycznego układu zamkniętego. Wykres taki otrzymuje się przyjmując za zmienną jeden z parametrów układu otwartego. Zwykle jest to wzmocnienie układu (współczynnik wzmocnienia). Metodę wykorzystującą takie wykresy do badania zachowania się pierwiastków układu (tzw. metoda linii pierwiastkowych, ang. root locus analysis) wprowadził do teorii sterowania Walter Richard Evans.

Układ zamknięty (ang. closed-loop system) – układ sterowania, w którym przebieg sygnału następuje w dwóch kierunkach. Od wejścia do wyjścia przebiega sygnał realizujący wzajemne oddziaływanie elementów, natomiast od wyjścia do wejścia przebiega sygnał sprzężenia zwrotnego.Układ otwarty (ang. open-loop system) – układ automatyki, w którym sygnał wejściowy nie zależy od aktualnej wartości sygnału wyjściowego, ponieważ nie występuje sprzężenie zwrotne, a wynika jedynie z wewnętrznego stanu obiektu. Przebieg sygnału następuje tylko w jednym kierunku, od wejścia do wyjścia. Innymi słowy w układzie nie ma połączenia między wyjściem a wejściem układu.

Jeśli układ regulacji przedstawi się następującym schematem:

Root-locus-example-diagram.png

to transmitancję układu zamkniętego można wyrazić zależnością:

Bieguny układu zamkniętego są wówczas pierwiastkami równania charakterystycznego określonego wzorem

North American Aviation, Inc. – amerykańska wytwórnia lotnicza założona w 1928 przez Clemanta Keysa. W 1967 połączyła się z firmą Rockwell-Standard Corporation tworząc North American Rockwell Corporation. Przez prawie 40 lat istnienia firma zaprojektowała wiele znanych konstrukcji lotniczych takich jak: T-6 Texan, P-51 Mustang, B-25 Mitchell czy F-86 Sabre.Przeregulowanie – jeden z parametrów określających jakość dynamiczną odpowiedzi skokowej otwartego lub zamkniętego układu regulacji. Może występować w wyniku niekorzystnych warunków lub złych nastaw regulatora. Zbyt duże przeregulowanie może doprowadzić w niektórych przypadkach nawet do zniszczenia układu.

Zasadnicza własność takiego równania to fakt, że pierwiastki można znaleźć wszędzie tam gdzie:

Historia automatyki może być podzielona na następujące okresy: wczesny okres (do 1900 roku), okres przedklasyczny (1900–1940), okres klasyczny (1935–1960) i okres nowoczesny (po 1955 roku). Urządzenia zawierające mechanizmy sterujące zdarzało się ludziom konstruować nawet w bardzo odległych czasach. Potrzeba konstruowania takich rozwiązań nasiliła się ogromnie wraz z nadejściem rewolucji przemysłowej i dalszym rozwojem techniki na początku XX wieku. Początkowo były to projekty wykonywane głównie w oparciu o doświadczenie i intuicję inżynierską z czasem jednak decydującego znaczenia nabrały analizy teoretyczne, które, choć zapoczątkowano już w XIX wieku, były wcześniej szerzej nieznane. Z czasem wypracowano szereg klasycznych metod projektowania układów regulacji, które od około 1960 roku były uzupełniane i częściowo wypierane przez nowoczesną teorię sterowania. Nieocenioną podporą matematycznej teorii stała się rozwijająca się równolegle technika komputerowa, na początku analogowa, a następnie cyfrowa.Charakterystyka skokowa (odpowiedź skokowa) – w teorii sterowania: jedna z charakterystyk czasowych, wraz z charakterystyką impulsową (inną charakterystyką czasową) oraz charakterystykami częstotliwościowymi stanowi podstawowy opis działania układu regulacji.

Mamy więc:

a pierwiastki mogą być położone w miejscach określonych dwoma warunkami: warunkiem argumentu (dzięki któremu określić można kształt linii pierwiastkowej) i warunkiem fazy (przydatnego przy przeskalowywaniu, czyli szukaniu miejsc pierwiastka na linii dla różnych wartości ): ( to liczby nieparzyste przy )

Posługując się samą definicją trudno jest określić kształt linii pierwiastkowych dlatego w praktyce stosuje się odpowiednie reguły.

Rys historyczny[ | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Historia automatyki.

Walter Richard Evans, pracując dla North American Aviation, w 1948 roku przedstawił swoją metodę opartą na analizie pierwiastków układu, która pozwalała dla pętli sprzężenia zwrotnego na bezpośrednie określenie położenia biegunów na płaszczyźnie s. Od końca lat 40. do początków lat 50. XX wieku, w pełni rozwinięto metody związane z położeniem pierwiastków na płaszczyźnie. W następstwie, w latach 50., większość prac projektowych związanych ze sterowaniem, wykonywano kierując uwagę na płaszczyznę s, starając się dla pętli sprzężenia zwrotnego osiągnąć pożądane charakterystyki skokowe (odpowiedni czas narastania, procent przeregulowania itd.).

Metody częstotliwościowe i związane z położeniem pierwiastków stanowią rdzeń klasycznej teorii sterowania. W latach 70. XX wieku wykonano wiele prac mających na celu rozszerzenie klasycznych metod dziedziny częstotliwości i metod analizy położenia pierwiastków na układy wielowymiarowe.





Reklama