• Artykuły
  • Forum
  • Ciekawostki
  • Encyklopedia
  • Liczby zespolone



    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5] [6]
    Przeczytaj także...
    Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń o geometrii euklidesowej. Jest ona naturalnym elementem modeli świata rzeczywistego (łac. geometria = mierzenie ziemi) i stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznych w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się do opisu rzeczywistości w bardzo małych, atomowych, lub bardzo wielkich, astronomicznych, wielkościach. Jednowymiarowa przestrzeń euklidesowa nazywana jest prostą euklidesową, zaś dwuwymiarowa – płaszczyzną euklidesową. Przestrzenie te nazywa się również przestrzeniami afinicznymi euklidesowymi w odróżnieniu od przestrzeni liniowych euklidesowych, znanych szerzej jako przestrzenie unitarne.Liczby dualne – wyrażenia postaci z = a + b ϵ {displaystyle z=a+bepsilon } , gdzie a , b ∈ R {displaystyle a,bin mathbb {R} } oraz ϵ 2 = 0 {displaystyle epsilon ^{2}=0} ( ϵ {displaystyle epsilon } jest nilpotentem).
    Płaszczyzna zespolona[edytuj kod]
     Osobny artykuł: płaszczyzna zespolona.
    Płaszczyzna zespolona

    Liczbom zespolonym można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie wektory na płaszczyźnie, podobnie jak utożsamia się wektory na prostej z liczbami rzeczywistymi (w obu przypadkach można utożsamiać również same punkty, gdyż wspomniane wektory zaczepia się w początku układów współrzędnych).

    Girolamo Cardano, Geronimo Cardano, Gerolamo Cardano, Hieronymus Cardanus, (ur. 24 września 1501 w Pawii, zm. 21 września 1576 w Rzymie) – włoski matematyk, astrolog i lekarz epoki renesansu.Macierz sąsiedztwa (multi)grafu G {displaystyle G} – macierz kwadratowa, w której aij oznacza liczbę krawędzi pomiędzy wierzchołkami i {displaystyle i} i j {displaystyle j} . W przypadku grafów prostych macierz sąsiedztwa jest macierzą zerojedynkową z zerami na głównej przekątnej. Dla grafów nieskierowanych macierz sąsiedztwa jest z definicji symetryczna.

    Każdej więc liczbie zespolonej można przyporządkować wektor i odwrotnie. Działania dodawania i mnożenia w liczbach zespolonych odpowiadają następującym działaniom na wektorach:

    Moc zbioru – własność zbioru, która opisuje jego liczebność. Nieformalnie, moc zbioru jest tym większa im większy jest zbiór. Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów – zbiory A i B są równoliczne, gdy każdy element zbioru A można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru B, innymi słowy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i "na") między zbiorami A i B. Zbiory równoliczne mają tę samą moc. Moce zbiorów są konkretnymi obiektami matematycznymi, nazywanymi liczbami kardynalnymi.Teoria grafów to dział matematyki i informatyki zajmujący się badaniem własności grafów. Informatyka rozwija także algorytmy wyznaczające pewne właściwości grafów. Algorytmy te stosuje się do rozwiązywania wielu zadań praktycznych, często w dziedzinach na pozór nie związanych z grafami.
  • ,
  • .
  • Tak określoną płaszczyznę określa się mianem płaszczyzny zespolonej. Interpretacja ta, dla której w specjalny sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jej autorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyzną Arganda. Inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa.

    Przekształcenie liniowe – w algebrze liniowej funkcja między przestrzeniami liniowymi (nad ustalonym ciałem) zachowująca ich strukturę; z punktu widzenia algebry jest to zatem homomorfizm (a z punktu widzenia teorii kategorii – morfizm kategorii) przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru z ustalonymi bazami do opisu przekształceń liniowych między nimi stosuje się zwykle macierze (zob. wybór baz).Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby. Przykładowo Parser nie mógł rozpoznać (Nie można zapisać obrazu z wzorem w systemie plików.): 5

    Moduł[edytuj kod]

     Osobny artykuł: moduł liczby zespolonej.

    Zauważmy, iż długość wektora jest równa z twierdzenia Pitagorasa . Dla liczby moduł definiujemy jako . Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej spełniając przy tym definicję normy.

    Linia prosta lub prosta – jedno z podstawowych pojęć geometrii, szczególny przypadek nieograniczonej z obydwu stron krzywej o nieskończonym promieniu krzywizny w każdym punkcie.Liczba algebraiczna to liczba rzeczywista (ogólniej zespolona), która jest pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych (a więc i całkowitych).

    Argument[edytuj kod]

     Osobny artykuł: argument liczby zespolonej.

    Niech oznacza kąt, który wektor tworzy z prostą , oznaczmy go przez . Jest to tzw. argument. Widać, iż i . Liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć tylko jeden moduł.

    Wielomian – wyrażenie algebraiczne złożone ze zmiennych i stałych połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i podnoszenia do potęgi o stałym wykładniku naturalnym.Mechanika kwantowa (teoria kwantów) – teoria praw ruchu obiektów świata mikroskopowego. Poszerza zakres mechaniki na odległości czasoprzestrzenne i energie, dla których przewidywania mechaniki klasycznej nie sprawdzały się. Opisuje przede wszystkim obiekty o bardzo małych masach i rozmiarach - np. atom, cząstki elementarne itp. Jej granicą dla średnich rozmiarów lub średnich energii czy pędów jest mechanika klasyczna.

    Argument liczby spełniający nierówność (czasami też równoważnie ) oznacza się przez i nazywa argumentem głównym (wartością główną argumentu). W ten sposób jest już funkcją na jeden z powyższych zbiorów nieokreśloną jedynie dla . Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz dla ujemnych.

    Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebry – twierdzenie algebry i analizy zespolonej mówiące, że każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek (w ciele liczb zespolonych). Innymi słowy, ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Konsekwencją zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta jest następujące twierdzenie (często zwane również zasadniczym twierdzeniem algebry):Porządek leksykograficzny – porządek w zbiorze ciągów X ∗ {displaystyle X^{*}} pewnego zbioru X {displaystyle X} indukowany przez porządek ≼ {displaystyle preccurlyeq } w zbiorze X {displaystyle X} .

    Postać trygonometryczna[edytuj kod]

     Osobny artykuł: współrzędne biegunowe.

    Liczba zespolona może być zatem wyrażona przez długość jej wektora (moduł) oraz jego kąt skierowany (argument): .

    Powyższą postać liczby zespolonej nazywa się postacią trygonometryczną (z powodu użycia funkcji trygonometrycznych), biegunową (jest przedstawieniem liczby zespolonej we współrzędnych biegunowych) lub geometryczną (prowadzi do geometrycznej interpretacji liczb zespolonych na płaszczyźnie). Warto zauważyć, że postać algebraiczna odpowiada współrzędnym prostokątnym.

    Układ współrzędnych biegunowych (układ współrzędnych polarnych) - układ współrzędnych na płaszczyźnie wyznaczony przez pewien punkt O zwany biegunem oraz półprostą OS o początku w punkcie O zwaną osią biegunową.Elektrotechnika (inżynieria elektryczna) - dziedzina techniki i nauki, która zajmuje się zagadnieniami związanymi z wytwarzaniem, przetwarzaniem (przekształcaniem), przesyłaniem, rozdziałem, magazynowaniem i użytkowaniem energii elektrycznej.

    Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są równe, tj. oraz są równe, gdy

    Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów.Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

    oraz (istotne tylko dla )

    Przestrzeń liniowa lub wektorowa – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych "wektorami"), które mogą być, nieformalnie rzecz ujmując, skalowane i dodawane. Formalnie jest to zbiór z określonymi dwoma działaniami: dodawaniem elementów tej przestrzeni (wektorów) i mnożeniem przez elementy ustalonego ciała, które związane są ze sobą poniższymi aksjomatami. Przestrzenie liniowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej i analizy funkcjonalnej. Znajdują zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, naukach ścisłych i inżynierii.Analiza zespolona – dziedzina matematyki, w szczególności analizy matematycznej, obejmująca swą tematyką teorię funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej i zespolonej, jednej i wielu zmiennych – w tym bardzo rozbudowane teorie funkcji analitycznych, funkcji eliptycznych czy odwzorowań konforemnych. Ma zastosowania w teorii liczb, teorii fraktali, matematyce stosowanej, teorii przestrzeni Hilberta a także w pewnych dziedzinach fizyki.
    .

    Wzory pozwalające na przejście od postaci trygonometrycznej do algebraicznej są oczywiste: .

    Przejście odwrotne jest nieco bardziej skomplikowane:

    Ciało uporządkowane – ciało K, w którym wyróżniony jest zbiór D elementów dodatnich o następujących własnościach:Aksjomaty i konstrukcje liczb – metody ścisłego definiowania liczb używane w matematyce. Aksjomaty liczb to warunki, jakie muszą spełniać pewne obiekty oraz działania na nich, aby mogły być uznane za liczby danego rodzaju (np. liczby naturalne, liczby wymierne itp.). Konstrukcje liczb są algebrami, tak utworzonymi, aby spełniały właściwe danym liczbom aksjomaty.
    , .

    Powyższy wzór ma wiele przypadków, jednakże w wielu językach programowania istnieje wariant funkcji arcus tangens, często nazywany arctan2 lub atan2, który przetwarza je wewnętrznie. Wzór korzystający z funkcji arcus cosinus wymaga mniejszej liczby przypadków:

    Sedeniony (symbol S {displaystyle mathbb {S} } ) – rodzina liczb hiperzespolonych.Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. W niektórych innych aksjomatyzacjach geometrii, na przykład w geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.
    .

    Mnożenie[edytuj kod]

    Warto zwrócić uwagę na mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej, niech

    Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyzny, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.Porządek zupełny – własność porządków częściowych postulująca istnienie kresów. W literaturze matematycznej istnieje kilka definicji tego pojęcia różniących się szczegółami technicznymi zależnymi od kontekstu matematycznego.

    Wówczas iloczyn

    Równanie sześcienne lub trzeciego stopnia – równanie algebraiczne postaci a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , {displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,} gdzie a ≠ 0. {displaystyle a eq 0.} Każde równanie sześcienne o współczynnikach rzeczywistych ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.
    .

    Stosując odpowiednie tożsamości trygonometryczne otrzymujemy ostatecznie

    Zastosowanie liczb zespolonych - umożliwia uproszczoną analizę obwodów elektrycznych prądu przemiennego. Możliwe jest to dzięki algebralizacji równań różniczkowo-całkowych poprzez odwzorowanie przebiegów prądu i napięcia w postaci funkcji symbolicznej. Stwarza to możliwość analizy obwodu prądu przemiennego z wykorzystaniem metod używanych podczas analizy obwodów prądu stałego, a więc metody potencjałów węzłowych, metody prądów oczkowych, twierdzenia Thevenina-Nortona itd.Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) to liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako { a + b i : a , b ∈ Z ∧ i 2 = − 1 } {displaystyle {a+bi:a,bin mathbb {Z} wedge i^{2}=-1}} .
    ,

    co oznacza, że iloczyn dwóch liczb zespolonych posiada moduł będący iloczynem modułów mnożników oraz argument równy sumie argumentów mnożonych liczb.

    Ciało algebraicznie domknięte F {displaystyle F} to takie ciało, w którym każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej ma pierwiastek w F {displaystyle F} .Funkcje trygonometryczne (etym.) – funkcje matematyczne wyrażające między innymi stosunki między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych.

    Mnożenie przez można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt .

    Wzór de Moivre’a[edytuj kod]

     Osobny artykuł: wzór de Moivre’a.

    Potęgowanie za pomocą mnożenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej prowadzi do obliczenia wartości wyrażenia dla danego wykładnika przy warunku . Mimo że można korzystać z własności trójkąta Pascala, to porządkowanie tego wyrażenia może okazać się czasochłonne. Zwykle działanie to łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej.

    Całka oznaczona – w matematyce, w zależności od kontekstu, synonim nazwy "całka Riemanna" albo ogólniej: określenie odnoszące się do tych pojęć całki, dla których zachodzi pewna wersja wzoru Newtona-Leibniza, jak na przykład:Liczby podwójne – wyrażenia postaci Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {displaystyle a+bjmath } , gdzie a , b ∈ R {displaystyle a,bin mathbb {R} } , Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {displaystyle jmath otin mathbb{R}} oraz Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {displaystyle jmath^2 = 1} .

    Rozpatrzmy . Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór

    Odejmowanie – jedno z czterech podstawowych działań arytmetycznych, działanie odwrotne do dodawania. Odejmowane obiekty to odpowiednio odjemna i odjemnik, wynik zaś nazywany jest różnicą.Inwolucja – w matematyce funkcja, która ma funkcję odwrotną równą jej samej. Równoważnie jest to taka funkcja, która złożona sama ze sobą jest tożsamością.
    .

    Powyższy wzór jest również pomocny przy obliczaniu -tej potęgi funkcji i – należy wówczas obliczyć przy .

    W matematyce, termin indukcja matematyczna używany jest na określenie szczególnej metody dowodzenia twierdzeń (w najbardziej typowych przypadkach o liczbach naturalnych), ale także jest on używany na oznaczenie konstrukcji pewnych obiektów.Układ współrzędnych kartezjańskich (prostokątny) – prostoliniowy układ współrzędnych o parach prostopadłych osi. Nazwa pojęcia pochodzi od łacińskiego nazwiska francuskiego matematyka i filozofa Kartezjusza (wł. René Descartes), który wprowadził te idee w 1637 w traktacie La Géométrie, (wcześniej układ taki stosował, choć nie rozpropagował go, Pierre de Fermat).

    Pierwiastkowanie[edytuj kod]

     Osobny artykuł: pierwiastkowanie.

    Istnieje wersja wzoru de Moivre’a dla wykładników wymiernych. Każda niezerowa liczba zespolona ma dokładnie różnych pierwiastków -tego stopnia, które wyrażają się wzorem

    Wektor (z łac. [now.], „niosący; ten, który niesie; nośnik”, od vehere, „nieść”; via, „droga”) – istotny w matematyce elementarnej, inżynierii i fizyce obiekt mający moduł (zwany też – zdaniem niektórych niepoprawnie - długością lub wartością), kierunek wraz ze zwrotem (określającym orientację wzdłuż danego kierunku).Kąt skierowany – para uporządkowanych półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego.

    gdzie oraz

    Funkcja ciągła – funkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.Mnożenie – działanie dwuargumentowe będące jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy to czynniki (określane również jako mnożna i mnożnik), a jego wynik to iloczyn. Może być ono traktowane jako zapis wielokrotnego dodawania elementu do siebie.

    Postać wykładnicza[edytuj kod]

    Rzeczywiste funkcje , , oraz zmiennej rzeczywistej można rozwinąć na szeregi Maclaurina:

    Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który:<|||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| |||||||||| - |||||||||| |||||||||| ||||||||||>
    ,

    które są zbieżne dla każdego . Ponieważ w tych wzorach występują jedynie działania dodawania, mnożenia, dzielenia i podnoszenia do potęgi o wykładniku naturalnym, które są dobrze zdefiniowane dla liczb zespolonych, to wzory te mogą posłużyć jako definicje zespolonych funkcji zmiennej zespolonej. Mianowicie definiuje się funkcje:

    Ciała globalne – skończone rozszerzenia ciała liczb wymiernych (zwane ciałami liczb algebraicznych) oraz ciała F q ( t ) {displaystyle mathbb {F} _{q}(t)} funkcji wymiernych jednej zmiennej nad ciałami q {displaystyle q} -elementowymi (zwane globalnymi cialami funkcyjnymi).Działanie dwuargumentowe a. binarne – w algebrze działanie algebraiczne o argumentowości równej 2, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom inny; wszystkie elementy mogą pochodzić z innych zbiorów.
    , ,

    Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego , gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d'Alemberta i kryterium Cauchy'ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych.

    Baza przestrzeni topologicznej – dla danej przestrzeni topologicznej X, rodzina otwartych podzbiorów przestrzeni X o tej własności, że każdy zbiór otwarty w X można przedstawić w postaci sumy pewnej podrodziny zawartej w bazie. Każda przestrzeń topologiczna ma bazę – jeżeli τ jest topologią w zbiorze X, to jest ona również (trywialnie) jej bazą. Obrazowo, baza przestrzeni topologicznej to taka rodzina zbiorów otwartych, że każdy niepusty i otwarty podzbiór tej przestrzeni można wysumować przy pomocy pewnych (być może nieskończenie wielu) elementów bazy. W praktyce matematycznej związanej z badaniem własności konkretnych przestrzeni topologicznych, istotnym zagadnieniem jest pytanie o minimalną moc bazy przestrzeni (zob. ciężar przestrzeni poniżej). Tak zdefiniowane pojęcie nosi też czasem nazwę bazy otwartej (zob. też baza domknięta poniżej). Pojęcia pokrewne pojęciu bazy przestrzeni topologicznej to, na przykład, π-baza, podbaza czy pseudobaza.Argument liczby zespolonej – miara kąta skierowanego między wektorem reprezentującym liczbę zespoloną z {displaystyle z} na płaszczyźnie zespolonej, a osią rzeczywistą. Oznaczenie: arg ⁡ ( z ) {displaystyle arg(z)} .

    Korzystając z pojęcia iloczynu Cauchy'ego szeregów można udowodnić, że: dla każdych .

    Z definicji oraz własności szeregów wynikają następujące wzory:

    Charakterystyka – dla danego pierścienia z jedynką najmniejsza liczba elementów neutralnych mnożenia pierścienia (tzw. jedynek), które należy do siebie dodać, aby uzyskać element neutralny dodawania (tzn. zero); mówi się, że pierścień ma charakterystykę zero, jeżeli taka liczba nie istnieje. Innymi słowy jest to najmniejsza dodatnia liczba całkowita n , {displaystyle n,} która spełniaTechnika kolorowania dziedziny w matematyce – sposób prezentacji wykresu funkcji zmiennej zespolonej. Polega on na przypisaniu kolorów z koła barw do płaszczyzny zespolonej. Możliwe są różne przekształcenia lecz w praktyce stosuje się dwa:
    dla dowolnego .

    W szczególności: , dla dowolnego .

    Funkcja (łac. functio, -onis, „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. Oznacza się ją na ogół f, g, h itd.Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą określany nazwiskiem Leonharda Eulera.

    Zatem każda liczba zespolona różna od zera ma następujące przedstawienie: , które nazywamy postacią wykładniczą liczby zespolonej.

    Pierwiastki zespolone w postaci wykładniczej wyrażają się wzorami:

    Równania Cauchy’ego-Riemanna – w analizie zespolonej, dziale matematyki, dwa równania różniczkowe cząstkowe noszące nazwiska Augustina Cauchy’ego i Bernharda Riemanna będące warunkami koniecznym i dostatecznym na to, aby funkcja różniczkowalna była holomorficzna w zbiorze otwartym.Funkcja „na” a. surjekcja pisane też czasami jako suriekcja – funkcja przyjmująca jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny, tj. której obraz jest równy przeciwdziedzinie.
    dla .

    Korzystając z parzystości kosinusa i nieparzystości sinusa można też wyprowadzić następujące wzory na funkcje trygonometryczne:

    Język programowania – zbiór zasad określających, kiedy ciąg symboli tworzy program komputerowy oraz jakie obliczenia opisuje.Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) − funkcja wzajemnie jednoznaczna z jednego obiektu matematycznego w drugi, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.
    .
    Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) – funkcja będąca jednocześnie funkcją różnowartościową i "na". Innymi słowy, bijekcja to funkcja (relacja) taka, że każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny.Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące bezpośrednim uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.


    Podstrony: [1] 2 [3] [4] [5] [6]



    w oparciu o Wikipedię (licencja GFDL, CC-BY-SA 3.0, autorzy, historia, edycja)

    Warto wiedzieć że... beta

    Kwaterniony – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej jak i stosowanej, zobacz sekcję Zastosowania.
    Język polski (polszczyzna) – język naturalny należący do grupy zachodniosłowiańskich (do których należą również czeski, słowacki, kaszubski, dolnołużycki, górnołużycki i wymarły połabski), stanowiących część rodziny indoeuropejskiej.
    Przestrzeń lokalnie zwarta – przestrzeń topologiczna, która lokalnie wygląda jak przestrzeń zwarta. Ściśle mówiąc, przestrzeń topologiczna ( X , τ ) {displaystyle (X, au )} jest lokalnie zwarta jeśli każdy punkt x ∈ X {displaystyle xin X} ma bazę otoczeń złożoną ze zbiorów warunkowo zwartych.
    Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.
    Funkcja holomorficzna – główny obiekt badań analizy zespolonej; funkcja zdefiniowana na otwartym podzbiorze płaszczyzny liczb zespolonych C {displaystyle mathbb {C} } o wartościach w C {displaystyle mathbb {C} } , która jest różniczkowalna w sensie zespolonym w każdym punkcie tego podzbioru.
    Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei, zm. 18 września 1783 w Petersburgu) – szwajcarski matematyk i fizyk; był pionierem w wielu obszarach obu tych nauk. Większą część życia spędził w Rosji i Prusach. Jest uważany za jednego z najbardziej produktywnych matematyków w historii.
    Lew Pontriagin (ros. Лев Семёнович Понтрягин) (ur. 3 września 1908 w Moskwie, zm. 3 maja 1988) – matematyk rosyjski.

    Reklama

    Czas generowania strony: 0.181 sek.